【精编】数列经典名题.pdf

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1、经 典 名 题“熟读唐诗三百首，不会写诗也会吟。”你知道围棋界超一流高手李昌镐背并研究了多少棋谱吗？那么对于历年高考试题你有背并研究了多少？得到那些实用的数学思想和技巧呢？1（2000 年全国）（1）已知函数 cn其中cn 2 n3 n，且数列 cn+1pcn 为等比数列，求常数p；（2）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cna nb n，证明数列 cn不是等比数列。思路启迪：（1）如何求p？根据题中所给的条件构建关于p的方程即可。（2）如何证明 cn不是等比数列？联想到等比中项，只要证明3122ccc即可，这正是优化结论策略的灵活运用呵！解法点拨：(1)cn+1pcn为等比数列，故有点

2、评：)()(11221nnnnnnpccpccpcc。这种思路很正常！写出来就能得分，又Cn2 n3 n，。太轻松了！考试时你敢写吗？将代入，得不写就太可惜了！211)32(32nnnnp=)32(321122nnnnp)32(3211nnnnp即23)3(2)2(nnpp这种变形整理的技巧值得学习！=3)3(2)2(11nnpp3)3(2)2(11nnpp你有过这方面的经历吗？写出来！整理，得032)3)(2(61nnpp到此水落石出！解得p=2 或p=3（2）设 anbn的公比分别为p,q,p q,cn=an+bn.要想证 cn 不是等比数列，只需证3122ccc事实上，21122)(qb

3、pac解法小结：本题主要考查等比数列的概念和基本pqbaqbpa11212212性质、推理和运算能力.如何证 cn不是等比数列?)(21211131qbpabacc _根据等比数列性质，运用“由具体到抽象”的)(2211221221qpbaqbpa思维策略，只需证3122ccc即可。这正是解(2)由于 p q,pqqp222,又 a1，b1不为 0，题的思维闪光点！3122ccc对一个命题的肯定是困难的；但对一个命题的否定数列 cn 不是等比数列。并不难。你完全不必要对一个命题作全盘否定。拓展试题：这种思想你必须深沉地印在脑海中，养成条件反射，1（2002 年 全国文科）左边的 2002 年题

4、的第一问可直接从特殊性入手加以设函数Rxxxxf,12)(2判定；例如：(1)判断函数f(x)的奇偶性；f(2)=3,f(-2)=7,由于f(-2)f(2),f(-2)f(2)(2)求函数f(x)的最小值.故f(x)既不是奇函数又不是偶函数。2（2002 年 全国理科）这样否定多轻松！别担心，就这么简单！学着点！设 a 为实数，Rxaxxxf,1)(2对比文理科的差异，能悟出些什么？(1)讨论函数f(x)的奇偶性；看下面为理科试题朴实而又准确的解答过程：(2)求函数f(x)的最小值.标准解法：(1)当 a=0 时，)(1)()(2xfxxxf故此时的f(x)为偶函数。(1)的解法怎样？称得上简

5、洁明快吧！当a 0时，12)(,1)(2aafaaf你有何体会？故此时f(x)既不是奇函数又不是偶函数。(2)当xa时，(2)要注意对谁进行分类讨论？是a还是x?43)21(1)(22axaxxxf若,21a则,()(axf在上单调递减，从而点评：,()(axf在上的最小值为1)(2aaf分类讨论要求条理清楚，不重不漏；若,21a则函数)(xf在,(a上的最小值为这里讨论的是字母a而不是自变量x，)()21(,43)21(affaf且认清自变量，头脑要高度清醒，慢慢来，(2)当xa时，相信慢工出细活，我们要有充分的得分则函数43)21(1)(22axaxxxf意识，因为分数才是硬道理！当a21

6、，则函数),)(axf在上的最小值为在平时我们要舍得花大力多练题，多吃苦，)()21(,43)21(affaf且多思考，多问为什么？在考场，我们一定要当a21，则函数),)(axf在上单调递减，用最稳妥的方式得分！从而函数),)(axf在的最小值还记得下列这些题你是怎么错的吗？1)(2aaf 1。(98 年文科)设ab,解关于x的不等式：综上，当a21时，函数axf43)(的最小值是；222)1()1(xbaxxbxa当2121a时，函数1)(2axf的最小值是；2.解不等式xxx112当a21，则函数)(xf的最小值是43a。2(2001 年 全国)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行

7、生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800 万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41。()设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an与bn的表达式；()至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？解：()第 1 年投入为800 万元；(接左下)第 1 年旅游业收入为400 万元，第 2 年投入为800)511(万元；第 2 年旅游业收入为400)411(万元，；第 n 年投入为8001)511(n万元；第 n 年旅游业收入为4001)41

8、1(n万元，所以，n 年内的总投入为所以，n 年内的旅游业总收入为1)511(800)511(800800nna1)411(400)411(400400nnb)54()54(54180012n)45()45(45140012n541)54(11800n451)45(11400n)54(14000n 3 分(接右上)1)45(1600n 6 分()设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此：0nnab即0)54(14000 1)45(1600nn点评:化简得：07)45(2)54(5nn换元法和估算是值得我们学习的!设nx)54(,代入上式得52)54(n的具体解法:化为小数进行估算!02

9、752xx因为大于0,故可两边取对数得52lg)54lg(n解 此 不 等 式,得即12lg2)12lg3(104lg)108(lgnn1,52xx(舍去)-为什么?再根据3010.02lg可求得n 5即52)54(n52)54(n2.0)2.01(2.08.0nn由此得n5 再由近似公式得2.02.01n4n答:至少经过5 年旅游业的总收入才能超过总投入。下面我们放松一下,一些轻松的题目你能在快速找到入题角度吗?1在等差数列an中，S20=180，则a6+a 9+a11+a16=；2(91 年)已知 na 是等比数列,且252,0645342aaaaaaan,那么53aa的值为()A、5 B

10、、10 C、15 D、203.(92 年)已知等差数列 an的公差d0,且a 1、a 3、a 9成等比数列,则1042931aaaaaa的值是。4.(92 年)设等差数列 an 的前n项和 Sn，a 312，S120，S130。求公差d的取值范围；指出 S1、S2 S12中哪一个最大，并说明理由。变题：设 Sn为等差数列 an 的前n项和，在已知的Sn中有 S12 0,那么 Sn中最小的是()AS4 BS5 CS6 D S75.(93 年)在各项均为正数的等比数列的an 中,若a5 a6 9,则1032313logloglogaaa()A、12 B、10 C、8 D、2+log 35 6.(9

11、4 年)某种细菌在培养过程中，每20 分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过 3 小时，这种细菌由一个可以繁殖成（）A、511 个 B、512 个 C、1023 个 D、1024 个7.(2000 年春招)已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有（）A、a1a1010 B、a2a1000 C、a3a990 D、a51518.(2000年)设an是首项为1的正项数列,且(n+1)01221nnnnaanaa(n=1,2,3,)，则它的通项公式是。9.(2001 年)设an是以公比为q的等比数列,Sn是它的前n 项和.若Sn是等差数列,则q=;10.(2002 年招)若一个等差数列前

12、3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A 13 项 B12 项 C11 项 D 10 项11.(2001 年上海春招)若数列 an前 8 项的值各异,且an+8=an对于任意Nn都成立,则下列数列中可取遍an前 8 项值的数列为()A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+112.(2002 年)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长7.3。”如果“十五”期间(2001 年-2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内生

13、产总值约为()A.115000 亿元 B.120000亿元 C.127000亿元 D.135000亿元13.(1999 年上海)在等差数列 an中,满足 3a4=7a7,且a10,Sn是数列 an的前 n 项和。若 Sn取得最大值,则 n=；13.(2001年上海)设数列 an的通项an=2n7(n N)，则1521aaa=14.(2001年上海)设数列na是公比0q的等比数列，nS是它的前n项和，若7limnnS，则此数列的首项1a的取值范围是；15.(97上海)()1(),(21312111)(nfnfNnnnnnnf那么=()A.121n B.221n C.221121nn D.2211

14、21nn 16 一套共7 册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是()A1994 B1996 C 1998 D2000 17 已知一个等差数列前n 项和为 Sn，若 S130，则此数列中绝对值最小的项是()A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项 18 在单位圆中作内接正方形，再作此正方形的内切圆，然后作此内切圆的内接正方形。依此无限地作下去。记 C为所有圆的面积之和，S为所有正方形的面积之和，则SC=()A2 B C2 D2(2003 年上海)已知数列 an(n 为正整数)是首项为a1，公比为q 的等比数列。(1)求和：223122

15、021CaCaCa；334233132031CaCaCaCa；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明；(3)设 q1,Sn是等比数列 an 的前 n 项和，求：nnnnnnnnCSCSCSCSCS134231201)1(。思路启迪：(1)联想到求组合数公式可求；(2)仔细观察，分析(1)中的两个所求式的结构特征：有02C、12C、22C时，三项和21)1(qa；有03C、13C、23C、33C时，四项和31)1(qa；且02C、12C、22C前面的符号正负相间；03C、13C、23C、33C前面的符号正负相间；于是可以归纳概括出的结论为：若数列 an是首项为a1,公

16、比为 q 的等比数列,则nnnnnnnnCaCaCaCaCa134231201)1(nqan,)1(1为正整数。再对猜想加以证明。(3)求出 Sn的表达式代入所求中，即可获得解答。4(2002 年 全国)某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？思路启迪：我们应抓住题中的关键条件：“预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6，并且每年新增汽车数量相同。”这就启发我们题中构成的数列是一个等比数列。再运用不等式知识，于是问题可解。标准解法：设 2

17、001 年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为为b2万辆，b3万辆，每年新增汽车x万辆，则：b1=30，b2=b1 0.94+x；点评：对于n1，有还记得前面我们给大家介绍的用函数知识来bn+1=bn 0.94+x 解此题的过程吗？试比较其异同！xbn)94.01(94.021,注意在这里我们是求n?还是求x？)94.094.01(94.0111nnnxbb搞清楚谁是自变量？xbnn06.094.0194.01这是等比数列求和！应该记忆深刻吧！xxx94.0)06.030(06.0当8.1,006.030 xx即时，这里讨论x的目的是为求x！bn+1 bn b1=30；显然满足

18、bn 60(n=1,2,3,)当8.1,006.030 xx即时，94.0)06.030(06.0limlim1nnnnxxb为什么这里要用极限呢？06.0 x这个数列的和应满足什么特点？会联想到并且数列 bn 逐项增加，可以任意靠近06.0 x，什么？渐近线？极限值？因此，如果要求汽车保有量不超过60 万辆，既bn 60(n=1,2,3,)则6006.0 x即 x 3.6(万辆)综合的结论可知，每年新增汽车不超过3.6 万辆。5(1997 年 上海)设数列 an 的首项a1=1,前 n 项和Sn满足关系式；3t S n(2t+3)Sn-1=3t(t 0,n=2,3,4,)；(1)求证：数列

19、an是等比数列；(2)设数列 an的公比为f(t),作数列 bn,使数列b1=1，),4,3,2()1(1nbfbnn,求bn；(3)求和：b1b2 b2b3+b3b4 +b2n1b2n b2nb2n+1。基本解法：(1)由 S1=a1=1,S2=a1+a2=1+a2,得怕什么！方向是明确的。3t(1+a2)(2t+3)=3t 方法：由特殊到一般！猜想都常用，何况证明呢？可得tta3322先找 a1和 a2看看它们的比如何？于是ttaa33212得到了 a1和 a2的比，可进一步扩大战果吗？又3 t S n(2 t+3)Sn-1=3 t能看an与an-1的比如何？3 t S n-1(2 t+3

20、)Sn-2=3t 没有an与an-1，可以求出来吗？两式相减，得技巧？努力试一下，看有无发现？0)32(31nnatta于是,5,4,3,3321nttaann你瞧：猜想成功！这不挺简单的吗？因此，数列 an是一首项为1，公比为tt332的等比数列；(2)由ttttf132332)(求出f(t)应先化简，我们以前吃过这种亏吗？是那些题？1132)1(nnnbbfb冷静、沉着，不盲动，这叫老练！这叫稳重！可见，bn是一个首项为1，公差为32的等差数列。于是312)1(321nnbn(3)由312nbn，可知 b2n-1 和b2n是首项分别为和，公差均为的等比数列，于是3142nbn这在干什么？兵

21、马未动，粮草先行！高手也！你模仿过吗？b1b2 b2b3+b3b4 +b2n1b2n b2nb2n+1 庖丁解牛，他看到的不是牛！=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n-1 b2n+1)(34242nbbb2)31435(34nn)32(942nn例 7.(2001 全国)已知imn是正整数,且 1imn(I):证明:ni Ami (1+n)m说明:高考对二项式定理和杨辉三角的考查在逐步升温,充分体现新教材了的特点,另外新教材关于数学的文学性应用性和趣味性必须重视,特别是对中国数学史上的重点人物如祖冲之和他的圆周率祖暅原理杨辉三角勾股定理等等;当然外国的重要数学家和他们的发明也不容忽视。否则,你可能会在高考场上付出代价。