第二章一元二次方程钱霞辉.pdf

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1、星火教育科技有限公司九年级上册一元二次方程钱霞辉2015-05-30 第二章一元二次方程单元教材内容分析：1、了解方程的简单分类。2、掌握一元二次方程的一般形式，会应用多种方法解一元二次方程重点要掌握公式法和因式分解法。3、会用一元二次方程解决生活中的实际问题。单元教学目标：1、掌握一元二次方程的一般形式，会应用多种方法解一元二次方程。2、会用一元二次方程解决生活中的实际问题单元重点难点：1、掌握一元二次方程的一般形式。2、重点要掌握公式法和因式分解法解一元二次方程。3、会用一元二次方程解决生活中的实际问题课时目录第一课时21 花边有多宽（一）.3第二课时21 花边有多宽（二）.错误!未定义书

2、签。第三课时22 配方法（一）.6第四课时22 配方法（二）.8第五课时22 配方法（三）.9第六课时2.公式法 .11第七课时2.4 分解因式法.14第八课时2.5 为什么是0.618（1）.16第九课时2.5 为什么是0.618（2）.18第十课时一元二次方程的复习.20第一课时21 花边有多宽（一）教学内容：花边有多宽（一）教学目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念2、经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，掌握一元二次方程的一般形式，能够找到a、b、c。教学重点及难点：重点、一元二次方程的概念。（特别地a0）难点、一元二次方程的一般形式（a b c的含义）学情分析:对于方程见

3、得多，解得多，容易理解，但对于一元二次方程的概念要从多方理解和认识。特别是二次项的系数a 的认识。教学过程：创设情景、引入新课（阅读课本）：我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?知道黄金比为什么是0618 吗?我们来学习能解决这些问题的知识：一元二次方程讲授新课问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为 5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)18 问题二：来看一个实际问题如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯

4、子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程(x+6)2+(8-1)2102，即(x+6)2+72102由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72102三个方程都是只含有一个未知数x 的整式方程,等号

5、两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程这三个方程还都可以化为ax2+bx+c0(a、b、c 为常数，a0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫做一元二次方程注意：1一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程 (2)它只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0 时，a0 2任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a 0)的形式,其中 a0 是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了任何一个关于x 的

6、一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0a0的形式，所以我们把ax2+bx+cO(a、b、c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式,其中 ax2、bx、c 分别称为二次项、一次项和常数项，a、b 分别称为二次项系数和一次项系数注意：(1)当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式应用、深化 1把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)24(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32 0方程的二次项系数是5，一次项系数

7、是36，常数项是-32 课时小结 1、一元二次方程的概念 2、一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为常数，a0)的形式 3、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c O(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的。第二课时22 配方法（一）教学内容：配方法（一）教学目标1、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、体会转化的数学思想，用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程的过程。教学重点及难点：1、完全平方公式的特点2、平方根的性质3、配方

8、的基本要求是什么。学情分析：完全平方公式已学习过，本节的重点是要逆用它，并要熟练应用平方根的性质，实为旧知识的巩固和引申，同时要注意书写格式。教学过程一、复习：1、解下列方程：（1）x2=9 （2）(x+2)2=16 2、什么是完全平方式？其特点是什么？利用公式计算：（1）(x+6)2（2）(x12)2二、新授：1、解方程：x2+12x15=0，我们感到有困难，是否将方程转化为第1 题的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）x2+12x15=0 转化为(x+6)2=51（这是怎样变化而来的？学生思考）两边开平方，得x+6=51 x1=51 6 x2=51 6(不合实际)因此，解一元二次方

9、程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n0 时，两边开平方便可求出它的根。3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x)2（3）x2+8x+=(x+)2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。4、讲解例题：例 1：解方程：x2+8x9=0 分析：先把它变成(x+m)2=n（n0）的形式再用直接开平方法求解。解：移项，得：x2+8x=9 配方，得：x2+8x+42=9+42（两边同时加上一次项系数一半的平方）即：(x+4)2=25 开平方，得：x+4=5 即：x+4=5，或 x+

10、4=5 所以：x1=1，x2=9 5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。第三课时22 配方法（二）教学内容：配方法（二）教学目标：1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。教学重点及难点：1、用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。2、怎样把二次项系数化为1，如何配一次项系数一半的平方学情分析：完全平方公式已学习过，本节的重点仍是要逆用它，怎样把二次项系数化为1，如何配一次项系数一半的平方，要注意书写格式。教学过程一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程

11、：（1）x2+4x+3=0 （2）x24x+2=0 二、新授：1、例题讲析：例 3：解方程：3x2+8x3=0 分析：将二次项系数化为1 后，用配方法解方程。（二次项的系数怎样化为1？）解：两边都除以3，得：x2+83x1=0 移项，得：x2+83x=1 配方，得：x2+83x+(43)2=1+(43)2（方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x+43)2=(53)2即：x+43=53所以 x1=13，x2=3 2、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出

12、方程的根。3、做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间 t（s）满足关系：h=15 t5t2小球何时能达到10m 高？三、巩固：练习：P57，随堂练习：1 四、小结：用配方法解一元二次方程的步骤：（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。第四课时22 配方法（三）教学内容：配方法（三）教学目标：1、经历到方程解决实际，问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；2、进一步掌握用配方法解题的技能教学重点及难点：1、怎样列一元二次方程解方程。2、用配方法正确求解。学情分析：在熟悉了用配

13、方法解方程后，就可以加强练习，并适当用它解决生活中的实际问题。教学过程一、复习：1、配方：（1）x23x+=(x)2（2）x25x+=(x)22、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x21=2x(2)x25x+4=0 二、引入课题：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，课本第 54 页，阅读课本，并思考：三、例题分析：1、如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？(16-2x)(12-2x)=121612（2）一元二次方程的解是什么？x1=2 x2=12（3）这两个解都合

14、要求吗？为什么？x1=2 符合要求，x2=12 不符合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。2、设花园四角的扇形半径均为x m，可列怎样的一元二次方程？x2=121216（2）一元二次方程的解是什么？X1=965.5 X2 5.5（3）合符条件的解是多少？为什么？X1=5.5 3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。（1）花园为菱形？（2）花园为圆形（3）花园为三角形？（4）花园为梯形四、练习：P62 随堂练习五、小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要合符条件即可。2、设计方案时，关键是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情

15、况舍去不合题意的解。第五课时2.公式法教学内容：2.3 公式法教学目标：1、知识与技能目标：能够根据方程的各项系数，判断出方程的根的情况并能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程。2、过程与方法目标：在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。3、情感与态度目标：在自主探究与合作交流的过程中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作交流的意识和能力。教学重点及难点：重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。难点：正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解b24ac 对一元二次方程根的影响。学情

16、分析:这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力帮助学生形成积极主动的求知能力。教学过程：一、复习引入1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x27x18=0。二、新授：1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a0)解：方程两边都作以a，得 x2+ba x+ca=0 移项，得：x2+ba x=ca配方，得：x2+ba x+(b2a)2=ca+(b2a)2即：（x+b2a）2=b2 4ac4a2 a0，所以 4a20

17、 当 b24ac0 时，得x+b2a=b24ac4a2 =b24ac2a x=bb24ac2a一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)当 b24ac0 时，它的根是 x=bb24ac2a注意：当b24ac0 x=71212 1即：x1=9,x2=-2 例 2：解方程：2x2+7x=4 解：移项，得2x2+7x-4=0 这里，a=1,b=7,c=-4 b24ac=7241(-4)=810 x=78122=794即:x1=12,x2=-4 三、巩固练习：1P65 随堂练习：1、2 四、小结：（1）求根公式：x=bb24ac2a（b24ac0）（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤第六

18、课时2.4 分解因式法教学内容：2.4 分解因式法教学目标：1能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。教学重点及难点：重点：解因式法解一元二次方程。难点：用分解因式法解一元二次方程。学情分析:教学过程：一、回顾交流1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。1.5x22x10 2.10(x 1)225(x 1)100 观察比较：一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？分析小颖、小明、小亮的解法：P67 小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解

19、变形，结果丢掉一根，错误。小亮：利用“如果ab0，那么 a0 或 b0”来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零如：若(x+2)(x-3)0，那么 x+20 或x-30；反之，若x+20 或 x-3 0，则一定有(x+2)(x-3)0这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+20 或 x-3=0 二、范例学习例 1解下列方程。1.5x24x 2.x 2x(x 2)想一想你能用几种方法解方程x240，(x 1)2 250。三、随堂练习1P69 P62 1、2 2习题 2

20、.7 1、3 拓展题 分解因式法解方程：x34x20。四、课堂小结利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业用分解因式法解：（1）(2x-5)2-2x+5=0；（2）4(2x-1)29(x+4)2；（3）(x-1)(x+3)12第七课时2.5 为什么是 0.618（1）教学内容：2.5 为什么是0.618（1）教学目标：1经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一

21、般步骤。2通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。教学重点及难点：重点：掌握运用方程解决实际问题的方法。难点：建立方程模型。学情分析:教学过程：一、回顾交流 课堂小测 1、用适当的方法解一元二次方程。（1）5x(x-3)=21-7x （2）9(x-31)2=4(2x+1)2（3）2x2-5x+1=0 （4）3x2+7x+2=02、问题情境：同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？与同伴交流。如图，如果ACCBABAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？二、范例学习由ACAB=CBAC，得 AC2

22、=AB CB 设 AB=1，AC=x，则 CB=1 x x2=1(1 x)即：x2+x1=0 解这个方程，得x1=1+52 ,x2=152（不合题意，舍去）所以：黄金比ACAB=1+520.618（1）小岛 D和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2 倍，军舰在由B到 C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 海里）解：（1）连接 DF，则 DFBC，AB BC，AB=BC=200海里 AC=2 AB=2002 海里，C=45 CD=12 AC=1002 海里DF=CF，2 DF=CD DF=CF=22 CD=221002=100 海里所

23、以，小岛D和小岛 F 相距 100 海里。（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里EF=AB+BC（AB+BE）CF=（3002x）海里在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程：x2=1002+(300 2x)2整理得，3x21200 x+100000=0 解这个方程，得：x1=20010063118.4 x2=200+10063(不合题意，舍去)所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。三、随堂练习1.随堂练习 P73 1 2.探索题 某商场一月份销售额为70 万元，二月份下降10%，后改进管理，月销售额大幅度上升，四月份的销售额达112 万元，求三月、

24、四月平均每月增长的百分率。四、课堂总结列方程解应用题的关键在于找未知量与已知量之间的相等关系，正确合理地建立模型。在分析数量关系时，一般可采用一些辅助手段，如“列表法”、“译式法”、“图示法”等。第八课时2.5 为什么是 0.618（2）教学内容：2.5 为什么是0.618（2）教学目标：1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。教学重点及难点：重点：列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。难点：列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。教学过程：一、复习引入：1、黄金分割中的黄金比是多少？准确数为5 12，

25、近似数为0.618 2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？3、列方程的关键是什么？（找等量关系）4、销售利润销售价-销售成本 二、新授在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来解答。1、讲解例题：例 2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元，市场调研表明，为销售价为2900 元时，平均每天能-售出 8 台，而当销售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4 台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的定价为多少元？分析：每天的销售量（台）每台的利润（元）总利润（元）降价前8 400 3200 降价后84x50400 x(8

26、4x50)(400 x)每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000 元如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是（2900 x）元，每台冰箱的销售利润为(2900 x2500)元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得：(2900 x2500)（84x50）5000 29001502750 元所以，每台冰箱应定价为2750 元。关键：找等量关系列方程。2、做一做：某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个，调查表明这种台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10 个，为了实现平均每月20000 的销售利润，这种台灯的

27、售价应定为多少？这时应进台灯多少个？分析：每个台灯的销售利润平均每天台灯的销售量10000 元可设每个台灯涨价x 元。(40 x30)(600 10 x)10000 答案为：x110，x240 104050，40 40 80 60010 10500 6001040200 小结：1、利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系2、列一元二次方程解应用题：（1）步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。（2）关键：寻找等量关系。第九课时一元二次方程的复习教学内容：一元二次方程的复习教学目标：1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。2、能利用方程解决有关实际问

28、题，提高学生的应用能力。教学重点及难点：重点：一元二次方程的几种解法；难点：列一元二次方程解应用题。教学过程：一、复习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？它的二次项系数，一次项系数，常数项各是什么？2、一元二次方程有哪些解法？3、一元二次方程的求根公式是什么？4、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？关键是什么？二、新课讲析：1、解下列方程：（1）2(x+3)2=x(x+3)(2)x225 x+2=0 三、练习：1、解下列方程：（1）x(x-8)=0 （2）x2+12x+32=0 2、当 x 为何值时，代数式x2-13x+12=0 的值等于42?3、已知 2+3 是方程 x2-4x

29、+c=0 的一个根，求方程的另一个根及c 的值。4、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长。四、课堂小结：1、一元一次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 (a0)2、一元二次方程的解法：（1）配方法：方程两边同加上一次项系数一半的平方。（2）公式法：x=bb2 4ac2a（b24ac0）（3）分解因式法：方程一边为0，另一边分解为两个一次式的积。3、列一元一次方程解应用题：（1）步骤：a、设未知数；b、列方程；c、解方程；d、检验；e、作答。（2）关键：寻找等量关系。一元二次方程练习题一、填空1一元二次方程12

30、)3)(31(2xxx化为一般形式为：，二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。2 关于 x 的方程023)1()1(2mxmxm,当m时为一元一次方程；当m时为一元二次方程。3已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是。4.xx32x(2)；2x2(x2)。5直角三角形的两直角边是34，而斜边的长是15，那么这个三角形的面积是。6若方程02qpxx的两个根是2和 3，则qp,的值分别为。7若代数式5242xx与122x的值互为相反数，则x的值是。8方程492x与ax23的解相同，则a=。9当t时，关于x的方程032txx可用公式法求解。10若实数ba,满足022baba，则ba=。1

31、1若8)2)(baba，则ba=。12已知1322xx的值是 10，则代数式1642xx的值是。二、选择1要使分式4452xxx的植为 0，则x应该等于（）（A）4 或 1（B）4（C）1（D）4或12若12x与12x互为倒数，则实数x为（）（A）21（B）1（C）22（D）23若m是关于x的一元二次方程02mnxx的根，且m0，则nm的值为（）（A）1（B）1（C）21（D）214关于x的一元二次方程02mnxx的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（）（A）0,0 nm（B）0,0 nm（C）0,0 nm（D）0,0 nm5下列方程中，无论a取何指值，总是关于的一元二次方程的是（）（A

32、）02cbxax（B）xxax221（C）0)1()1(222xaxa（D）0312axx6某商品连续两次降价，每次都降20后的价格为m元，则原价是（）（A）22.1m元（B）1.2m元（C）28.0m元（D）0.82m元7若方程02cbxax)0(a中，cba,满足0cba和0cba，则方程的根是（）（A）1，0（B）-1，0（C）1，-1（D）无法确定8方程02x的解的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）1 或 2 9关于x的一元二次方程02kx有实数根，则（）（A）k0（B）k0（C）k 0（D）k0 10已知x、y是实数，若0 xy，则下列说法正确的是（）（A）x一定是 0（B）y

33、一定是 0（C）0 x或0y（D）0 x且0y三、解方程1.选用合适的方法解下列方程（1）)4(5)4(2xx（2）xx4)1(2（3）22)21()3(xx（4）31022xx（5）1222aaxx（6）02qpxx四、解答1、如图，在正方形ABCD中,AB 是 4 ,BEC的面积是 DEF面积的 4 倍,则 DE的长是多少？2、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092xx的一个根，求这个三角形的面积。EABDCF3、已知一元二次方程0437122mmmxxm）（有一个根为零，求m的值。4、填写下表并探索一元二次方程0962xx的解的取值范围。从表中可以看出方程解应介于和之间。5、我们

34、知道：对于任何实数x，2x0，2x+10；2)31(x0，2)31(x+210.模仿上述方法解答：求证：（1）对于任何实数x，均有：3422xx 0；（2）不论x为何实数，多项式1532xx的值总大于7422xx的值。五、列方程解应用题1、一个一元二次方程，其两根之和是5，两根之积是14，求出这两个根。x8 6 4 2 0-2 962xx2、某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。3、用 22 长的铁丝，折成一个面积是30 2的矩形，求这个矩形的长和宽。能否折成面积是32 2的矩形呢？为什么？4、某商店将进价为8 元的商品按每件10 元售出，每天可售出200 件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5 元其销售量就减少10 件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640 元？