高中数学竞赛辅导试题指数函数与对数函数.pdf

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1、第 3 节指数函数、对数函数 指数函数y=ax与对数函数y=xalog,(1,0 aa)是互为反函数即bxbaaxlog它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。当 a1 时，两个函数在定义域内都递增；当 0a1时，两个函数在定义域内都递减。举例 1光线透过一块玻璃板，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少需要这样的玻璃板块。（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771）解析：记光线原来的强度为a，透过一块玻璃板后其强度变为109a，透过n块玻璃板后其强度变为：an)109(，则an)109(31a,即n)109(31,n(2lg3-1)-lg33lg213lgn1

2、0.4,(注意：2lg3-11，则321；若 0aa,0a0(真数)，x(0,1,故选 A。（在函数定义域内区间的“开”“闭”不影响函数的单调性，所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”）。举例 2已知命题p：xx2；命题 q：22logx1；则命题p 是命题 q 的：（）A充分不必要条件，B必要不充分条件，C充要条件D既不必要也不充分条件解析：命题 p：xx2，移项通分得：022xx，“序轴标根”得：x),2()0,2(，命题 q：22logx1 等价于：2x2,即x),2()2,(（注意：不等式22logx1与不等式：2x2log1 不等价，22logx1 等价于2|log2x1）；从

3、集合包含关系更容易看清两个命题的逻辑关系，选D。巩固 已知函数 f(x)log2(x2ax3a)在区间 2，)上递增，则实数 a的取值范围是。4函数 y=ax的值域为（0，+）。特别关注函数y=ax的值与 1 的大小，函数y=xalog的值与 0 的大小。举例 1 函数 y=121x的值域是（）（A）（-1,）（B）（-,0）（0，+）（C）（-1，+）（D）（-，-1）（0，+）解析：思路一：“逆求”：012yyx得：y0 或y-1，选 D。思路二：112x，“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若-112x0,则121x0,则121x0,综上，选D。举例 2.若 logm9logn9n1（B

4、）nm1（C）0nm1（D）0mn1解析：logm9 与 logn9 底数不同，比较大小不甚方便，注意到logm9=m9log1，则由logm9logn900log1log199nmlog9nlog9m00nm0 且 a1)在（-1，0）上有 g(x)0，则 f(x)=a1x是（）（A）在（-，0）上的增函数（B）在（-，0）上的减函数（C）在（-，-1）上的增函数（D）在（-，-1）上的减函数5函数 y=)(logxga,(1,0 aa)的值域主要取决于g(x)。如：0g(x)4,则)(log21xg-2，+），其中00 时,在2,+)上有反函数;若 f(x)在区间 2,+)上单调递增,则实数 a 的取值范围是a-4.其中正确命题的序号是_简答2、巩固-1，提高 在同一坐标系内画函数y=3-x,y=lgx,y=10 x的图象，交点为A、B，A、B 关于直线y=x 对称，得x1=3-x2；3、巩固 g(x)=x2ax3a 在区间 2，)上递增且g(x)=x2ax 3a0 在区间 2，)上恒成立，即a4 且 g(2)0 得-4a4；4、巩固 C；5、巩固