2003年考研数学三真题及答案解析.pdf

《2003年考研数学三真题及答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2003年考研数学三真题及答案解析.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2003 数学(三)试题 第 1 页 (共 19 页)2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题：本题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)设10,cos,()0,0,xxf xxx若若 其导函数在0 x 处连续，则的取值范围是.(2)已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b.(3)设0a，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则 DdxdyxygxfI)()(=.(4)设n维向量0,),0,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a .(5)设随机变量X 和

2、Y的相关系数为 0.9,若4.0 XZ，则Y与Z的相关系数为 .(6)设总体X服从参数为 2 的指数分布，nXXX,21为来自总体X的简单随机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于.二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设()f x为不恒等于零的奇函数，且)0(f 存在，则函数xxfxg)()()(A)在0 x 处左极限不存在.(B)有跳跃间断点0 x.(C)在0 x 处右极限不存在.(D)有可去间断点0 x.(2)设可微函数(,)f x y在点),(00yx取得极小值，则

3、下列结论正确的是()(A),(0yxf在0yy 处的导数等于零.(B),(0yxf在0yy 处的导数大于零.(C),(0yxf在0yy 处的导数小于零.(D),(0yxf在0yy 处的导数不存在.(3)设2nnnaap，2nnnaaq，,2,1n，则下列命题正确的是()2003 数学(三)试题 第 2 页 (共 19 页)(A)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛.(B)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛.ab(C)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.(D)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.(4)设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的

4、伴随矩阵的秩为 1，则必有()(A)ab或20ab.(B)ab或20ab.(C)ab且20ab.(D)ab且20ab.(5)设s,21均为n维向量，下列结论不正确的是()(A)若对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有02211sskkk，则s,21线性无关.(B)若s,21线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有.02211sskkk(C)s,21线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.(D)s,21线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A=掷第一次出现正面，2A=掷第二次出现正 面，3A=正、反面各出现一次，4A=正

5、面出现两次，则事件()(A)321,AAA相互独立.(B)432,AAA相互独立.(C)321,AAA两两独立.(D)432,AAA两两独立.2003 数学(三)试题 第 3 页 (共 19 页)三、(本题满分 8 分)设1111(),1)sin(1)2f xxxxx，试补充定义(1)f使得()f x在 1,21上连续.四、(本题满分 8 分)设(,)f u v具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)(21,),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg 五、(本题满分 8 分)计算二重积分.)sin(22)(22dxdyyxeIDyx 其中积分区域22(,).Dx y xy 六、

6、(本题满分 9 分)求幂级数12)1(2)1(1nnnxnx的和函数()f x及其极值.七、(本题满分 9 分)设()()()F xf x g x,其中函数(),()f x g x在),(内满足以下条件：)()(xgxf，)()(xfxg，且(0)0f,.2)()(xexgxf(1)求()F x所满足的一阶微分方程；(2)求出()F x的表达式.八、(本题满分 8 分)设函数()f x在0，3上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1ffff.试证：必存在)3,0(，使.0)(f 九、(本题满分 13 分)已知齐次线性方程组 2003 数学(三)试题 第 4 页 (共 19

7、页),0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxba 其中.01niia 试讨论naaa,21和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分 13 分)设二次型)0(222),(31232221321bxbxxxaxAXXxxxfT，中二次型的矩阵A的特征值之和为 1，特征值之积为-12.(1)求,a b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分

8、13 分)设随机变量X的概率密度为 ;,8,1,0,31)(32其他若 xxxf()F X是X的分布函数.求随机变量()YF X的分布函数.十二、(本题满分 13 分)设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 7.03.021X，而Y的概率密度为()f y，求随机变量UXY的概率密度()g u.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 2003 数学(三)试题 第 5 页 (共 19 页)一、填空题(1)【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量，x是函数()f x的自变量 10001cos()(0)1(0)limlimlimcos00 xxxxf

9、xfxfxxxx，要使该式成立，必须10lim0 xx，即1.当(,0)(0,)x 时，1211()cossinfxxxxx 要使()0fx在0 x 处连续，由函数连续的定义应有 120011lim()limcossin()0 xxfxxxfxxx 由该式得出2.所以()fx在0 x 处右连续的充要条件是2 (2)【答案】64a【详解】设曲线与x轴相切的切点为0(,0)x，则00 x xy.而2233yxa，有22033xa 又在此点y坐标为 0(切点在x轴上)，于是有320030 xa xb，故 322200003(3)bxa xxxa，所以 .44)3(6422202202aaaxaxb

10、(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10 xyx时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 DdxdyxygxfI)()(=20101xy xa dxdy =1120 xxadxdy1220(1)axx dxa 2003 数学(三)试题 第 6 页 (共 19 页)(4)【答案】-1 【详解】这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB 进行计算并注意利用乘法的结合律即可由题设，有)1)(TTaEEAB=TTTTaaE11 11()TTTTEaa =TTTaaE21 1(1

11、2)TEaEa ，于是有0121aa，即0122 aa，解得.1,21aa 已知0a，故1a (5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DXaXD)(，(,)(,)Cov X YaCov X Y，又因为Z仅是X减去一个常数，故方差不会变，Z与Y的协方差也不会变，因此相关系数也不会变(,)(,0.4)(0.4)()(0.4)Cov Y ZCov Y XE Y XE Y E X()0.4()()()0.4()E XYE YE Y E XE Y()()()(,)E XYE Y E XCov X Y，且 .D ZD X 又(,)Cov Y Z(,)Cov X Y，所以 (,)Cov Y Z

12、D YD Z (,)0.9.XYCov X YD XD Y (6)【答案】12【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nXXX,21，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111nEXnXnniipnii【详解】本题中22221,nXXX满足大数定律的条件，且 22)(iiiEXDXEX=21)21(412，2003 数学(三)试题 第 7 页 (共 19 页)因此根据大数定律有niinXnY121依概率收敛于 2111.2niiE Xn 二、选择题(1)【答案】()D 【详解】方法 1：直接法：由()f x为奇函数知，(0)0f

13、；又由xxfxg)()(，知()g x在0 x 处没定义，显然0 x 为()g x的间断点，为了讨论函数()g x的连续性，求函数()g x在0 x 的极限 000()()(0)lim()limlim(0)0 xxxf xf xfg xfxx导数的定义存在，故0 x 为可去间断点 方法 2：间接法：取()f xx，此时()g x=,0,0,0,1xxxx可排除()A()B()C三项 (2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y在点),(00yx处可微，知函数(,)f x y在点),(00yx处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y在点),(00yx处的两个偏导

14、数都等于零 从而有 0000(,)(,)(,)0y yx yxydf xyfdyy 选项()A正确 (3)【答案】()B【详解】由2nnnaap，2nnnaaq，知0nnpa，0nnqa 若1nna绝对收敛，则1nna收敛.再由比较判别法，1nnp与1nnq都收敛，后者与1nnq仅差一个系数，故1nnq也收敛，选(B)(4)【答案】(C)2003 数学(三)试题 第 8 页 (共 19 页)【分析】A的伴随矩阵的秩为 1，说明A的秩为 2，由此可确定,a b应满足的条件【详解】方法 1：根据A与其伴随矩阵A秩之间的关系 1101*nr Anr Ar Anr An 知秩(A)=2，它的秩小于它的

15、列数或者行数，故有 11(2)1(2)00100abbbbbbAbabababababbbabaab 2(2)()0ab ab 有02 ba或ab 当ab时，211311000000bbbbbbAbbbbbb 显然秩 12A ，故必有 ab且02 ba 应选(C)方法 2：根据A与其伴随矩阵A秩之间的关系，1101*nr Anr Ar Anr An，知 1*r A，2r A.对A作初等行变换 21131100abbabbAbabbaabbbabaab 当ab时，从矩阵中可以看到A的秩为1，与秩 2A，不合题意(排除(A)、(B)故ab，这时 231213201100100101001b ab

16、aabbabbabbbAbaabbaab 故02 ba，且ab时，秩(A)=2，故应选 (5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现2003 数学(三)试题 第 9 页 (共 19 页)形式应注意是寻找不正确的命题【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有 02211sskkk，则s,21必线性无关.因为若s,21线性相关，则存在一组不全为零的数skkk,21，使得 02211sskkk，矛盾 可见(A)成立(B):若s,21线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数skkk,21，都有.02211sskkk

17、(B)不成立(C)s,21线性无关，则此向量组的秩为s；反过来，若向量组s,21的秩为s，则s,21线性无关，因此(C)成立(D)s,21线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立 综上所述，应选(B)【评注】原命题与其逆否命题是等价的 例如，原命题：若存在一组不全为零的数skkk,21，使得02211sskkk成立，则s,21线性相关 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数skkk,21，都有02211sskkk，则s,21线性无关 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性 (6)【答案】C【分析】(1),A B两事件相互独立的充要条

18、件：P ABP A P B(2),A B C三事件相互独立的充要条件：(i),A B C两两相互独立；(ii)P ABCP AP BP C【详解】方法 1：因为 112P A，212P A，312P A，414P A，且 1214P A A，1314P A A，2314P A A，2414P A A，1230P A A A，可见有 1212P AAP A P A，1313P A AP A P A，2323P A AP AP A，2003 数学(三)试题 第 10 页 (共 19 页)123123P A A AP A P AP A，2424P A AP AP A 故321,AAA两两独立但不相互

19、独立；432,AAA不两两独立更不相互独立，应选(C)方法 2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确.因此只要检查(C)和(D)2342341110244P A A APP AP AP A 故(D)错，应选(C)三【详解】为使函数()f x在1,12上连续，只需求出函数()f x在1x 的左极限)(lim1xfx，然后定义(1)f为此极限值即可 11111lim()limsin(1)xxf xxxx 1111limsin(1)xxx11(1)sinlim(1)sin

20、xxxxx 令1ux，则当1x时，0u，所以 1lim()xf x01sin(1)limsin(1)uuuuu 01sin(1)lim(sincoscossin)uuuuuu01sin(1)limsinuuuuu 2201sin(1)limuuuu等201cos(1)lim2uuu洛 2201sin(1)lim2uu洛110=定义1)1(f，从而有11lim()(1)xf xf，()f x在1x 处连续 又()f x在)1,21上连续，所以()f x在 1,21上连续 四【详解】由复合函数(,),(,)zfx yx y的求导法则，得 221()()2xygfxyfxuxvx ffyxuv 20

21、03 数学(三)试题 第 11 页 (共 19 页)221()()2xygfxyfyuyvx.ffxyuv 从而 2222222222222222gfffffyyxxyxxuu vvu vvffffyxyxuu vvv 2222222222222222gfffffxxyyxyyuu vvu vvffffxxyyuu vvv 所以 222222222222222222()()()()ggffffxyxyxyxyuvuv=.22yx 五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算 作极坐标变换：设sin,cosryrx，有 2222222()22()222222200000sin()

22、sin()sinsinsin.2xyxyDDt rrrtIexydxdyeexydxdyeederrdrder dreetdt 记tdteAtsin0，则 0000sincoscoscosttttAetdte dtetetdt 0001sin1sinsintttee dteetetdt =.1Ae 因此 )1(21eA，).1(2)1(2eeeI 六【分析】(1)和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数本题可直接采用后者(2)等比级数求和公式 2011(11)1nnnxxxxxx 【详解】先对和函数21()1(1)2

23、nnnxf xn 求导 2003 数学(三)试题 第 12 页 (共 19 页)211()(1)nnnfxx22210(1)(1)nnnnnnxxxx 22201()11nnxxxxxx 对上式两边从 0 到x积分 200()1xxtf t dtdtt 21()(0)ln(1)2f xfx 由(0)1f，得 21()1ln(1)(1).2f xxx 为了求极值，对()f x求一阶导数，2212()2 11xxfxxx 令0)(xf，求得唯一驻点0 x 由于 2221()(1)xfxx，01)0(f 由极值的第二充分条件，得()f x在0 x 处取得极大值，且极大值为(0)1f 七【分析】题目要

24、求()F x所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x求导，并将其余部分转化为用()F x表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可【详解】(1)方法 1：由()()()F xf x g x，有)()()()()(xgxfxgxfxF=)()(22xfxg 2()()2()()f xg xf x g x=2(2)2()xeF x 可见()F x所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2xexFxF 相应的初始条件为(0)(0)(0)0Ffg 方法 2：由()()()F xf x g x，有)()()()()(xgxfxgxfxF=22()()fxg x 2()()

25、2()()fxg xfx g x 2003 数学(三)试题 第 13 页 (共 19 页)又由.2)()(xexgxf 有()()2xfxg xe，)()(xgxf，)()(xfxg，于是 22()42()()42()xxF xef x g xeF x 可见()F x所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2xexFxF 相应的初始条件为(0)(0)(0)0Ffg(2)题(1)得到()F x所满足的一阶微分方程，求()F x的表达式只需解一阶微分方程 又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x yQ xdx的通解为()()()P x dxP x dxyeQ xedxC 所以 4)(222Cdxee

26、exFdxxdx=442Cdxeexx=.22xxCee 将(0)0F代入上式，得01,1C C .所以 .)(22xxeexF 八【分析】题目要证存在)3,0(，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理.而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等题目中已知(3)1f，只需要再证明存在一点0,3)c，使得)3(1)(fcf，然后在,3c上应用罗尔定理即可 条件(0)(1)(2)3fff等价于13)2()1()0(fff问题转化为 1 介于()f x的最值之间，最终用介值定理可以达到目的【详解】方法 1：因为()f x在0，3上连续，所以()f x在0，2上连续，则在0，2上必有最大值M

27、和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是 Mfm)0(，Mfm)1(，Mfm)2(三式相加 3(0)(1)(2)3.mfffM 从而 (0)(1)(2)1.3fffmM 由介值定理知，至少存在一点2,0c，使.13)2()1()0()(fffcf 2003 数学(三)试题 第 14 页 (共 19 页)因为()(3)1f cf，且()f x在,3c上连续，在(,3)c内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(c，使.0)(f 方法 2：由于(0)(1)(2)3fff，如果(0),(1),(2)fff中至少有一个等于 1，例如(2)1f，则在区间2,3上对()f x使用罗尔定理知，存在

28、(0,2)(0,3)使.0)(f 如果(0),(1),(2)fff中没有一个等于 1，那么它们不可能全大于 1，也不可能全小于 1即至少有一个大于 1，至少有一个小于 1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点使()1f在区间,3对()f x用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)，使.0)(f证毕 九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值【详解】方程组的系数行列式 baaaaabaaaaaba

29、aaaabaAnnnn321321321321 231231231231ninininininininibaaaabaabaabaaababaaaab 23232312311()11nnnininaaaabaabaaabaaaab 2003 数学(三)试题 第 15 页 (共 19 页)2311000()000000nniiaaabbabb =).(11niinabb(1)当0A，即0b且01niiab时，秩 An，方程组仅有零解(2)当0b 时，0A，原方程组的同解方程组为 .02211nnxaxaxa 由01niia可知，),2,1(niai不全为零不妨设01a，得原方程组的一个基础解系

30、Taa)0,0,1,(121，Taa)0,1,0,(132，.)1,0,0,(,1Tnnaa(3)当niiab1时，0A.这时0b，原方程组的系数矩阵可化为 1231123112311231nininininininniiaaaaaaaaaaAaaaaaaaaaa 1231111111001(1)0000nininniiiinniiiinniiiiaaaaaaaaaaa将第 行的倍加到其余各行 2003 数学(三)试题 第 16 页 (共 19 页)1231121100110101001nininiiaaaaana从第 行到第 行同乘以倍 0000()11001.2,3,10001001iia

31、in 将第 行的倍加到第 行，由此得原方程组的同解方程组为 12xx，13xx，1,xxn 原方程组的一个基础解系为.)1,1,1(T 十【分析】特征值之和等于A的主对角线上元素之和，特征值之积等于A的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵【详解】(1)二次型f的矩阵为.200200bbaA 设A的特征值为(1,2,3)ii，由题设得 1231122332(2)1aaaa，21230|0204212.02abAabb 解得1,2ab (2)求矩阵A的特征值，令 2

32、102020(2)(3)0202EA，得矩阵A的特征值.3,2321 2003 数学(三)试题 第 17 页 (共 19 页)对于,221 解齐次线性方程组0)2(xAE，系数矩阵为102000204，得基础解系 T)1,0,2(1，.)0,1,0(2T 对于33，解齐次线性方程组0)3(xAE，系数矩阵为402050201，得基础解系.)2,0,1(3T 由于321,已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,单位化，由此得 T)51,0,52(1，T)0,1,0(2，.)52,0,51(3T 令矩阵 1232105501012055Q，则Q为正交矩阵 在正交变换XQY下，有 30

33、0020002AQQT，且二次型的标准形为.322232221yyyf【评注】本题求,a b也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f的矩阵A对应特征多项式为).2()2()2(20020022baabbaAE 2003 数学(三)试题 第 18 页 (共 19 页)设A的特征值为321,，则).2(,2,2232321baa 由题设得 1)2(2321a，.12)2(22321ba 解得1,2ab 第一步求参数见数学复习指南P361 重要公式与结论 4，完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学三 P47 第九题 十一【分析】先求出分布函数()F x的具体形式，从而可确定()YF

34、X，然后按定义求Y的分布函数即可注意应先确定()YF x的值域范围)1)(0(XF，再对y分段讨论【详解】易见，当1x 时，()0F x;当8x 时，()1F x 对于8,1 x，有.131)(3132xdttxFx 设()G y是随机变量()YF x的分布函数 显然，当0y时，()G y=0；当1y时，()G y=1 对于)1,0y，有)()(yXFPyYPyG 331(1)PXyP Xy 3(1).Fyy 于是，()YF x的分布函数为 0,0,(),01,1,1.yG yyyy若若若 十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算

35、，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性 求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算 求概率密度()g u，一般应先求分布函数()G uP UuP XYu，在计算概率的时候，应充分利用X只有可能取值1X 和2X 全概率公式：如果事件1,nAA构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为(总体的样本空间)；并且 0,1,2,.iP Ain则对任一事件B有 2003 数学(三)试题 第 19 页 (共 19 页)1()(|)niiiP BP A P B A【详解】设()F y是Y的分布函数，由全概率公式，得UXY的分布函数)(uYXPuG 1 12 2P XP XYu XP XP XYu X 0.3 1 0.7 2P XYu XP XYu X 0.3 11 0.7 22P YuXP YuX 由于X和Y相互独立，所以 111P YuP YuX，222P YuP YuX 所以 ()0.3 10.7 2G uP YuP Yu0.3(1)0.7(2).F uF u 由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(uFuFuGug0.3(1)0.7(2).f uf u