2015年高考新课标2卷文科数学试题(解析版).pdf

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1、-1-/9 2015普通高等学校招生全国统一考试新课标卷文科数学 一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=BAxxBxx则,30,21 A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)解析：选A 2若a实数，且aiiai则,312 A.-4 B.-3 C.3 D.4 解析：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选D 3根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700260025002400230022002100200019002013(年)201220112010200920082007

2、200620052004 A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。解析：选D 4已知向量ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：选B 5设 项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则 A.5 B.7 C.9 D.11 解析：在等差数列 na中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以 6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分

3、体积与剩余部分体积的比值为 -2-/9 A.81 B.71 C.61 D.51 解析：还原三视图，如图所示，选D.7已知三点)32()30(),01(，CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B.321 C.352 D.34 解析：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设外接圆的圆心为D，则D（1，332）所以，.32137341OD故选B.8右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为 A.0 B.2 C.4 D.14 解析：执行程序框图：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=

4、2,4-2=2,所以a=b=2，故选B.9已知等比数列 24531),1(4,41aaaaaan则满足 A.2 B.1 C.21 D.81 解析：因为),1(4,414531aaaaan满足所以，.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故选C.10已知A,B是球O的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为 A.36 B.64 C.144 D.256 解析：因为A,B都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以R=6，所以球的表面积为S=

5、14442R，故选C.11如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,xfxfBAPxBOP -3-/9 xPODCBA DCBA34243442342222243424XOYXYOXOYYXO 解析：如图，当点P在BC上时，22,tan,4tan,tan4tan,BOPx PBx PAxPAPBxx 当4x时取得最大值51，以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB51.，又函数)(xf不是一次函数，故选B.12设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf

6、)12()(,11)1ln()(2 A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(解析：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0,11)1ln()(2xxxxf.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选A.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知函数axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(3 。解析：a=-2 14若x,y满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05 。解析：作出可行域可知，当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.答案：8 15已知双曲线过点），（3,4，且渐近线

7、方程为xy21，则该双曲线的标准方程为 -4-/9 解析：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线的标准方程为 16已知曲线xxyln在点（1,1）处的切线与曲线axaaxy相切，则1)2(2 解析：.122,11xyxy，切线方程为切线的斜率为 22221(2)120,80,80.0218.yxyaxaxaxaxaaaaayxa 将与联立得由解得或时曲线为与切线平行，不符。所以 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（）求

8、;sinsinCB （）若.,60BBAC求 解析：（）由正弦定理得,sinsinABACCB 再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（）120,60CBBAC sin1.sin2sin,sin(120)2sin,sin23tan,30.3BCBBBCBB由（）得展开得 18.（本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B两地区分别随机调查了 40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A 地区用户满意度评分的频率分布直方

9、图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距 -5-/9 B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频 数 2 8 14 10 6 （I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距（II）根据用户满意度评分,将用户

10、的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.解析：（I）B地区频率分布直方图如图所示 0.0050.0100.035B 地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距 比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分 B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0

11、.35+85x0.25+95x0.15=76.5分 A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。（II）A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6，B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19.（本小题满分 12 分）如图,长方体1111ABCDABC D中 AB=16,BC=10,18AA,点 E,F 分别在1111,AB DC 上,114.AED F过点 E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.-6-/9 FED1C1B1A1DCBA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平

12、面把该长方体分成的两部分体积的比值.解析：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形EMNF，即平面。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab 的离心率为22,点2,2在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l与 C有两个交点 A,B,线段 AB中点为 M,证明：直线 OM的斜率与直线 l的斜率乘积为定值.解析：（I）如图所示

13、，由题设得,22ac 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422ba，联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线 （II）设 A,B两点的坐标为.,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点），（,82,8222222121yxyx则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得 FED1C1B1A1DCBAC(2,2)YXOMBA-7-/9.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml（定值）21.（本小题满分 12 分）已知 ln1f xxax.（I）讨论 f x的单调性；（II）当 f x

14、有最大值,且最大值大于22a时,求 a的取值范围.解析：已知 ln1f xxax.1I().0()0110()0,)(,).fxaxaf xaf xaa（）当时，函数在（，）上是增函数；当时，函数在（上是增函数，在上是减函数 （II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由1()ln1,1,00,()0,()0(1)0,()(1),01,(0,1.g xxxgxaxg xg xxgg agaa 设则（）在（，）是增函数。又上述不等式即即）请考生在22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时

15、请写清题号 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 O是等腰三角形 ABC内一点,O与ABC的底边 BC交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于E,F 两点.（I）证明EFBC.（II）若 AG 等于O 的半径,且2 3AEMN,求四边形EDCF 的面积.解析：（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以AEF是等腰三角形，又 AB=AC,所以EFABCAEFACAFABAE,.BC（II）解：,ROGOEAGAEOEOE则连接 22)32(4,2222OMRRRROA，NMGOFEDCBANMGOFEDCBA-8-/9.,6030,.3

16、1030cos,5121,321都是等边三角形，AEFABCBACBADABOEADABRADODMNMD .331660sin322160sin3102122EBCFS四边形 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t 为参数,且0t ）,其中0,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:2 3cos.CC （I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与 2C相交于点 A,1C与3C相交于点 B,求AB最大值.解析：（I）曲线23:2sin,:2 3cos.CC 的直角坐标方程是

17、.032:;0:222221xyxCyyxC.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得CCyxyx（II）曲线.001），（的极坐标方程为RC 2sin,2 3cos,52sin2 3cos4 sin().4.36ABABAB 因此点 的极坐标为（）点 的极坐标为（）所以当时，取得最大值，最大值为 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设,a b c d 均为正数,且abcd.证明：（I）若abcd,则abcd；（II）abcd是abcd的充要条件.证明：（I）因为,2,222cddcdcabbaba）（由题设知.,dcbacdabdcba（II）（必要性）.4)(4)(,)()(,2222cddcabbadcbadcba变形得则若-9-/9.1,dcbacdabdcba）得由（充分性）若 22,dcbadcba则.444.,2222222dcbadccddcabdcabbabacdabdcbacddcabba 成立的充要条件。是所以，dcbadcba