2012年天津市高考数学试卷(理科).pdf

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1、.2012 年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题 1（3 分）i 是虚数单位，复数=（）A2+i B2i C2+i D2i 2（3 分）设 R，则“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3（3 分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为25 时，输出 x 的值为（）A1 B1 C3 D9 4（3 分）函数 f（x）=2x+x32 在区间（0，1）内的零点个数是（）A0 B1 C2 D3 5（3 分）在（2x2）5的二项展开式中，x 项的系数为（）A10 B10 C40 D40 6（3

2、 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 8b=5c，.C=2B，则 cosC=（）A B C D 7（3 分）已知ABC 为等边三角形，AB=2设点 P，Q 满足，R若=，则=（）A B C D 8（3 分）设 m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆（x1）2+（y1）2=1 相切，则 m+n 的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）C22，2+2 D（，222+2，+）二、填空题 9（3 分）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学校，中

3、学中抽取 所学校 10（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3 11（3 分）已知集合 A=xR|x+2|3，集合 B=xR|（xm）（x2）0，且 AB=（1，n），则 m=，n=12（3 分）已知抛物线的参数方程为（t 为参数），其中 p0，焦点为F，准线为 l过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E若|EF|=|MF|，点 M 的横坐标是 3，则 p=.13（3 分）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF=3，FB=1，E

4、F=，则线段 CD 的长为 14（3 分）已知函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题 15已知函数 f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间上的最大值和最小值 .16现有 4 个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；（2）求这 4 个人中

5、去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量 的分布列与数学期望 E .17 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角 APCD 的正弦值；（3）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长 .18 已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记 Tn=a

6、nb1+an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（nN*）.19 设椭圆的左右顶点分别为 A，B，点 P 在椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|.20已知函数 f（x）=xln（x+a）的最小值为 0，其中 a0（1）求 a 的值；（2）若对任意的 x0，+），有 f（x）kx2成立，求实数 k 的最小值；（3）证明：（nN*）.2012 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题 1（3 分）（2012天津）i 是虚数单位

7、，复数=（）A2+i B2i C2+i D2i【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项【解答】解：故选 B 2（3 分）（2012天津）设 R，则“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】直接把=0 代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可【解答】解：因为=0 时，f（x）=cos（x+）=cosx 是偶函数，成立；但 f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数时，=k，kZ，推不出=0 故“=0”是“f（x）=cos（x+）（xR）为偶函数”的充分而不必要

8、条件 故选：A 3（3 分）（2012天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为25时，输出 x 的值为（）.A1 B1 C3 D9【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|1 时跳出循环，输出结果【解答】解：当输入 x=25 时，|x|1，执行循环，x=1=4；|x|=41，执行循环，x=1=1，|x|=1，退出循环，输出的结果为 x=21+1=3 故选：C 4（3 分）（2012天津）函数 f（x）=2x+x32 在区间（0，1）内的零点个数是（）A0 B1 C2 D3【分析】根据函数 f（x）=2x+x32 在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）0，可得函数

9、在区间（0，1）内有唯一的零点【解答】解：由于函数 f（x）=2x+x32 在区间（0，1）内单调递增，又 f（0）=10，f（1）=10，.所以 f（0）f（1）0，故函数 f（x）=2x+x32 在区间（0，1）内有唯一的零点，故选 B 5（3 分）（2012天津）在（2x2）5的二项展开式中，x 项的系数为（）A10 B10 C40 D40【分 析】由 题 意，可 先 由 公 式 得 出 二 项 展 开 式 的 通 项Tr+1=，再令 103r=1，得 r=3 即可得出 x 项的系数【解 答】解：（2x2）5的 二 项 展 开 式 的 通 项 为Tr+1=令 103r=1，得 r=3 故

10、 x 项的系数为=40 故选 D 6（3 分）（2012天津）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 8b=5c，C=2B，则 cosC=（）A B C D【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出 sinB，cosB，然后利用平方关系式求出 cosC 的值即可【解答】解：因为在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c 已知 8b=5c，C=2B，所以 8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以 cosB=，B 为三角形内角，所以 B（0，）C 所以 sinB=所以 sinC=sin2B=2=，.cosC=故选：A 7（3 分）（

11、2012天津）已知ABC 为等边三角形，AB=2 设点 P，Q 满足，R若=，则=（）A B C D【分 析】根 据 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 求 出，进而根据数量积的定义求出再根据=即可求出 【解答】解：，R，ABC 为等边三角形，AB=2=+（1）=22cos60+22cos180+（1）22cos180+（1）22cos60=24+44+222，=22+22=424+1=0（21）2=0 故选 A 8（3 分）（2012天津）设 m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆（x1）2+（y1）2=1 相切，则 m+n 的取值范围是（）A1，1+B（，11+，+）.

12、C22，2+2 D（，222+2，+）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即为 m+n 的范围【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径 r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆相切，圆心到直线的距离 d=1，整理得：m+n+1=mn，设 m+n=x，则有 x+1，即 x24x40，x24x4=0 的解为：x1=2+2，x2=22，不等式变形得：（x22）（

13、x2+2）0，解得：x2+2或 x22，则 m+n 的取值范围为（，222+2，+）故选 D 二、填空题 9（3 分）（2012天津）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取 9 所学校【分析】从 250 所学校抽取 30 所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为 3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果【解答】解：某城地区有学校 150+75+25=250 所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 30 所

14、，每个个体被抽到的概率是=，.某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所 用分层抽样进行抽样，应该选取小学150=18 所，选取中学75=9 所 故答案为：18，9 10（3 分）（2012天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 18+9 m3 【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为 6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体分别求体积再相加即可【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为 6，3，1（单位：m），体积 631=18 下部为两个半径均为的球体，体积 2（）3=9 故所求体积等于 18

15、+9 故答案为：18+9 11（3 分）（2012天津）已知集合 A=xR|x+2|3，集合 B=xR|（xm）（x2）0，且 AB=（1，n），则 m=1，n=1 【分析】由题意，可先化简 A 集合，再由 B 集合的形式及 AB=（1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值【解答】解：A=xR|x+2|3=xR|5x1，又集合 B=xR|（xm）（x2）0，AB=（1，n）如图.由图知 m=1，n=1，故答案为1，1 12（3 分）（2012天津）已知抛物线的参数方程为（t 为参数），其中 p0，焦点为 F，准线为 l 过抛物线上一点 M 作 l 的垂线，垂足为 E 若|EF|=|MF|，点

16、 M 的横坐标是 3，则 p=2 【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得MEF 为等边三角形，设点 M 的坐标为（3，m），则点 E（，m），把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得 p=再由|EF|=|ME|，解方程可得 p 的值【解答】解：抛物线的参数方程为（t 为参数），其中 p0，焦点为 F，准线为 l，消去参数可得 x=2p，化简可得 y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是 x 轴的抛物线，故焦点 F（，0），准线 l 的方程为 x=则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得MEF 为等边三

17、角形 设点 M 的坐标为（3，m），则点 E（，m）把点 M 的坐标代入抛物线的方程可得 m2=2p3，即 p=再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2=，即 p2+6p=9+3p，解得 p=2，或 p=6（舍去），故答案为 2 13（3 分）（2012天津）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D，过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相.交于点 F，AF=3，FB=1，EF=，则线段 CD 的长为 【分析】由相交弦定理求出 FC，由相似比求出 BD，设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD 求解【解

18、答】解：由相交弦定理得到 AFFB=EFFC，即 31=FC，FC=2，在ABD中 AF：AB=FC：BD，即 3：4=2：BD，BD=，设 DC=x，则 AD=4x，再由切割线定理，BD2=CDAD，即 x4x=（）2，x=故答案为：14（3 分）（2012天津）已知函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是（0，1）（1，4）【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数 y=的图象与函数 y=kx2 的图象，结合图象，可得实数 k 的取值范围【解答】解：y=函数 y=kx2 的图象恒过点（0，2）在同一个坐标系下画出函数 y=的图象与函数 y=

19、kx2 的图象.结合图象可实数 k 的取值范围是（0，1）（1，4）故答案为：（0，1）（1，4）三、解答题 15（2012天津）已知函数 f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）求函数 f（x）在区间上的最大值和最小值【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将 f（x）=sin（2x+）+sin（2x）+2cos2x1 化为 f（x）=sin（2x+），即可求得函数 f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数 f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，从而可求得 f（x）在区间上的最大值和最小值【解 答】解

20、：（1）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcoscos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），.函数 f（x）的最小正周期 T=（2）函数 f（x）在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又 f（）=1，f（）=，f（）=1，函数 f（x）在区间上的最大值为，最小值为1 16（2012天津）现有 4 个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏（1）求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏

21、的概率；（2）求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|XY|，求随机变量 的分布列与数学期望 E【分析】依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai（i=0，1，2，3，4），故 P（Ai）=（1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P（A2）；（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B，则 B=A3A4，利用互斥事件的概率公式可求；（3）的所有可能取值为 0，2，4，由

22、于 A1与 A3互斥，A0与 A4互斥，求出相应的概率，可得 的分布列与数学期望【解答】解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai（i=0，1，2，3，4），P（Ai）.=（1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为 P（A2）=；（2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件 B，则 B=A3A4，P（B）=P（A3）+P（A4）=（3）的所有可能取值为 0，2，4，由于 A1与 A3互斥，A0与 A4互斥，故 P（=0）=P（A2）=P（=2）=P（A1）+P（A3

23、）=，P（=4）=P（A0）+P（A4）=的分布列是 0 2 4 P 数学期望 E=17（2012天津）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ACAD，ABBC，BAC=45，PA=AD=2，AC=1（1）证明：PCAD；（2）求二面角 APCD 的正弦值；（3）设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长 【分析】解法一（1）以 A 为原点，建立空间直角坐标系，通过得出=0，.证出 PCAD（2）求出平面 PCD，平面 PCD 的一个法向量，利用两法向量夹角求解（3）设 E（0，0，h），其中 h0，2，利用 cos=cos30=，

24、得出关于 h 的方程求解即可 解法二：（1）通过证明 AD平面 PAC 得出 PCAD（2）作 AHPC 于点 H，连接 DH，AHD 为二面角 APCD 的平面角在 RTDAH 中求解（3）因为ADC45，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交，设交点为 F，连接 BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线 BE 与 CD 所成的角在EBF 中，因为 EFBE，从而EBF=30，由余弦定理得出关于 h 的方程求解即可【解答】解法一：如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（，0），P（0，0，2）（1）证明：易得=（0

25、，1，2），=（2，0，0），于是=0，所以 PCAD（2）解：=（0，1，2），=（2，1，0），设平面 PCD 的一个法向量为=（x，y，z），则即 取 z=1，则以=（1，2，1）又平面 PAC 的一个法向量为=（1，0，0），于是cos=，sin=所以二面角 APCD 的正弦值为（3）设 E（0，0，h），其中 h0，2，由此得=（，h）由=（2，1，0），故 cos=所以=cos30=，解得 h=，即 AE=.解法二：（1）证明：由 PA平面 ABCD，可得 PAAD，又由 ADAC，PAAC=A，故 AD平面 PAC，又 PC 平面 PAC，所以 PCAD（2）解：如图，作 AHP

26、C 于点 H，连接 DH，由 PCAD，PCAH，可得 PC平面 ADH，因此 DHPC，从而AHD 为二面角APCD 的平面角 在 RTPAC 中，PA=2，AC=1，所以 AH=，由（1）知，ADAH，在 RTDAH中，DH=，因此 sinAHD=所以二面角 APCD 的正弦值为（3）解：如图，因为ADC45，故过点 B 作 CD 的平行线必与线段 AD 相交，设交点为 F，连接 BE，EF，故EBF（或其补角）为异面直线 BE 与 CD 所成的角 由于 BFCD，故AFB=ADC，在 RTDAC 中，CD=，sinADC=，故 sinAFB=在AFB 中，由，AB=，sinFAB=sin

27、135=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF22ABAFcosFAB，得出 AF=，设 AE=h，在 RTEAF 中，EF=，在 RTBAE 中，BE=，在EBF 中，因为 EFBE，从而EBF=30，由余弦定理得到，cos30=，解得 h=，即 AE=.18（2012天津）已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4b4=10（1）求数列an与bn的通项公式；（2）记 Tn=anb1+an1b2+a1bn，nN*，证明：Tn+12=2an+10bn（nN*）【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项

28、（2）先写出 Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；.方法二：用数学归纳法证明其成立【解答】解：（1）设等差数列的公差为 d，等比数列的公比为 q，由 a1=b1=2，得 a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，由条件 a4+b4=27，s4b4=10，得方程组，解得，故 an=3n1，bn=2n，nN*（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an1+23an2+2na1；2Tn=22an+23an1+2na2+2n+1a1；由得，Tn=2（3n1）+322+323+32n+2n+2=+2n+26n+2=102n6n10；而2an+10bn12=2（3n1）+102n12=

29、102n6n10；故 Tn+12=2an+10bn（nN*）方法二：数学归纳法，当 n=1 时，T1+12=a1b1+12=16，2a1+10b1=16，故等式成立，假设当 n=k 时等式成立，即 Tk+12=2ak+10bk，则当 n=k+1 时有，Tk+1=ak+1b1+akb2+ak1b3+a1bk+1=ak+1b1+q（akb1+ak1b2+a1bk）=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q（2ak+10bk12）=2ak+14（ak+13）+10bk+124=2ak+1+10bk+112 即 Tk+1+12=2ak+1+10bk+1，因此 n=k+1 时等式成立 对任意的 nN*，T

30、n+12=2an+10bn成立 19（2012天津）设椭圆的左右顶点分别为 A，B，点 P 在.椭圆上且异于 A，B 两点，O 为坐标原点（1）若直线 AP 与 BP 的斜率之积为，求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|，证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|【分析】（1）设 P（x0，y0），则，利用直线 AP 与 BP 的斜率之积为，即可求得椭圆的离心率；（2）依题意，直线 OP 的方程为 y=kx，设 P（x0，kx0），则，进一步可得，利用 AP|=|OA|，A（a，0），可求得，从而可求直线 OP 的斜率的范围【解答】（1）解：设 P（x0，y0），椭圆的左右顶点分别为 A，B，

31、A（a，0），B（a，0），直线 AP 与 BP 的斜率之积为，代入并整理得 y00，a2=2b2 椭圆的离心率为；（2）证明：依题意，直线 OP 的方程为 y=kx，设 P（x0，kx0），ab0，kx00，.|AP|=|OA|，A（a，0），代入得 k23 直线 OP 的斜率 k 满足|k|20（2012天津）已知函数 f（x）=xln（x+a）的最小值为 0，其中 a0（1）求 a 的值；（2）若对任意的 x0，+），有 f（x）kx2成立，求实数 k 的最小值；（3）证明：（nN*）【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数 f（x）=xln

32、（x+a）的最小值为 0，即可求得 a 的值；（2）当 k0 时，取 x=1，有 f（1）=1ln20，故 k0 不合题意；当 k0 时，令 g（x）=f（x）kx2，即 g（x）=xln（x+1）kx2，求导函数，令 g（x）=0，可得 x1=0，分类讨论：当 k时，g（x）在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0；当 0k时，对于，g（x）0，因此 g（x）在上单调递增，由此可确定 k 的最小值；（3）当 n=1 时，不等式左边=2ln32=右边，不等式成立；当 n2 时，在（2）中，取 k=，得 f（x）x2，从.而可得，由此可证结论【解答】（1）解：函数的定义域为（a，+），求导函

33、数可得 令 f（x）=0，可得 x=1aa 令 f（x）0，xa 可得 x1a；令 f（x）0，xa 可得ax1a x=1a 时，函数取得极小值且为最小值 函数 f（x）=xln（x+a）的最小值为 0，f（1a）=1a0，解得 a=1（2）解：当 k0 时，取 x=1，有 f（1）=1ln20，故 k0 不合题意 当 k0 时，令 g（x）=f（x）kx2，即 g（x）=xln（x+1）kx2，求导函数可得 g（x）=g（x）=0，可得 x1=0，当 k时，g（x）0 在（0，+）上恒成立，因此 g（x）在（0，+）上单调递减，从而对任意的 x0，+），总有 g（x）g（0）=0，即对任意的 x0，+），有 f（x）kx2成立；当 0k时，对于，g（x）0，因此 g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）g（0）=0，即有 f（x0）kx02不成立；综上知，k时对任意的 x0，+），有 f（x）kx2成立，k 的最小值为（3）证明：当 n=1 时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立 当 n2 时，在（2）中，取 k=，得 f（x）x2，（i2，iN*）=f（2）+2.ln3+=2ln3+12 综上，（nN*）