2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案.pdf

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1、2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=BAxxBxx则,30,21 A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)(2)若 a 实数，且aiiai则,312 A.-4 B.-3 C.3 D.4(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700260025002400230022002100200019002013(年)2012201120102009200820072

2、00620052004 A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1 B.0 C.1 D.2(5)设 项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则 A.5 B.7 C.9 D.11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A.81 B.71 C.61 D.51(7)已知三点)32()30(),01(，

3、CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为 A.35 B.321 C.352 D.34(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为 是 否 是 否 A.0 B.2 C.4 D.14(9)已知等比数列 24531),1(4,41aaaaaan则满足C A.2 B.1 C.21 D.81（10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 A.36 B.64 C.144 D.256(11)如图，长方形的边 A

4、B=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记 的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,xfxfBAPxBOP xPODCBA DCBA34243442342222243424XOYXYOXOYYXO 开始 输入 a,b ab b=b-a a=a-b 输出 a 结束 ab（12）设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2 A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(第二卷 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（13）已知函数axaxxf），则的图像过点（4

5、,1-2)(3 。（14）若 x,y 满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05 。（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为 。（16）已知曲线xxyln在点（1,1）处的切线与曲线axaaxy相切，则1)2(2 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（）求;sinsinCB （）若.,60BBAC求 18.（本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产

6、品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.400.0050.0100.035A 地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频 数 2 8 14 10 6 （I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）0.0050.0100.035B地

7、区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19.（本小题满分 12 分）如图,长方体1111ABCDABC D中 AB=16,BC=10,18AA,点 E,F分别在1111,AB DC 上,114.AED F过点 E,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.FED1C1B1A1DC

8、BA（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab 的离心率为22,点2,2在 C 上.（I）求 C 的方程；（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.21.（本小题满分 12 分）已知 ln1f xxax.（I）讨论 f x的单调性；（II）当 f x有最大值,且最大值大于22a时,求 a 的取值范围.请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做

9、,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,O 与ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明EFBC.（II）若 AG 等于O 的半径,且2 3AEMN,求四边形 EDCF 的面积.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t 为参数,且0t ）,其中0,在以 O为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:2 3cos.CC （I）

10、求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与 2C相交于点 A,1C与3C相交于点 B,求AB最大值.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲 设,a b c d 均为正数,且abcd.证明：（I）若abcd,则abcd；（II）abcd是abcd的充要条件.NMGOFEDCBA 2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学答案 一、选择题 1、选 A 2、解：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选 D 3、选 D 4、选 B 5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以 6、解：如图所示，选 D.7、解：根据题意

11、，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1，332）所以，.32137341OD故选 B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以 a=b=2，故选 B.9、解：因为),1(4,414531aaaaan满足所以，.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故选C.10、解：因为 A,B 都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以 三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以 R=6，所以球的表面积为 S=14442R，故选 C.11、解：如图，当点 P 在 BC 上时，,ta

12、n4tan,tan4,tan,22xxPBPAxPAxPBxBOP 当4x时取得最大值51，以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB51.又函数)(xf不是一次函数，故选 B.12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0,11)1ln()(2xxxxf xPODCBA.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选 A.二、填空题 13、答：a=-2 14、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线

13、的标准方程为 16、解：.122,11xyxy，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将 四、解答题 17、解：（）由正弦定理得,sinsinABACCB 再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（）120,60CBBAC.30,33tan,sin2)120sin(,sin2sin.21sinsin1BBBBBCCB展开得）得由（18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示 0.0050.0100.035B 地区用户满意度评分的频率分布直方图0.04

14、00.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分频率组距 比较A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分 B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分 A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的

15、概率大。19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV 20、解、（I）如图所示，由题设得,22ac 又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422ba，联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线 （II）设 A,B 两点的坐标为.,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点），（,82,8222222121yxyx则 上面两个式子相减得：.2222121.

16、0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml（定值）21、解：已知 ln1f xxax.),1()1,0)(00)(0.1)()1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当aaxfaxfaaxxf （II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由 FED1C1B1A1DCBAC(2,2)YXOMBA.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(,00,11,1ln)(）即上述不等式即函数。又）是增，

17、在（）（则设aagaggxgxgxaxxgxxxg选做题：22、（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以AEF 是等腰三角形，又 AB=AC,所以EFABCAEFACAFABAE,.BC（II）解：,ROGOEAGAEOEOE则连接 22)32(4,2222OMRRRROA，.,6030,.31030cos,5121,321都是等边三角形，AEFABCBACBADABOEADABRADODMNMD .331660sin322160sin3102122EBCFS四边形 23.在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t 为参数,且0t ）,其中0,在以 O 为极点,x 轴正半

18、轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:2 3cos.CC （I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与 2C相交于点 A,1C与3C相交于点 B,求AB最大值.解：（I）曲线23:2sin,:2 3cos.CC 的直角坐标方程是.032:;0:222221xyxCyyxC.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得CCyxyx（II）曲线.001），（的极坐标方程为RC NMGOFEDCBA.465.)3sin(4cos32sin2,cos32,sin2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点ABABBA 24、证明：（I）因为,2,222cddcdcabbaba）（由题设知.,dcbacdabdcba（II）（必要性）.4)(4)(,)()(,2222cddcabbadcbadcba变形得则若.1,dcbacdabdcba）得由（充分性）若 22,dcbadcba则.444.,2222222dcbadccddcabdcabbabacdabdcbacddcabba 成立的充要条件。是所以，dcbadcba