2012年全国高考理科数学试题及答案新课标.pdf

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1、 绝密*启用前 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学 第一卷 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,2,3,4,5A,(,),Bx y xA yA xyA；,则B中所含元素 的个数为（）()A3 ()B6 ()C ()D【解析】选D 5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共 10 个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A12种 ()B10种 ()C种 ()D种

2、【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生：122412C C 种（3）下面是关于复数21zi 的四个命题：其中的真命题为（）1:2pz 22:2pzi 3:pz的共轭复数为1 i 4:pz的虚部为1 ()A23,pp ()B 12,pp ()C,pp ()D,pp【解析】选C 22(1)11(1)(1)iziiii 1:2pz，22:2pzi，3:pz的共轭复数为1 i，4:pz的虚部为1 （4）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax 上一点，21F PF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12 ()B 23 ()C ()D【解析】选C 21

3、F PF是底角为30的等腰三角形221332()224cPFF Faccea （5）已知na为等比数列，472aa，568a a ，则110aa（）()A7 ()B 5 ()C ()D【解析】选D 472aa，56474784,2a aa aaa 或472,4aa 471101104,28,17aaaaaa 471011102,48,17aaaaaa （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N 和 实数12,.,na aa，输出,A B，则（）()AAB为12,.,na aa的和()B2AB为12,.,na aa的算术平均数()CA和B分别是12,.,na aa中最大的数和最小的数(

4、)DA和B分别是12,.,na aa中最小的数和最大的数【解析】选C （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A6 ()B 9 ()C ()D【解析】选B 该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为116 3 3932V （8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B 两点，4 3AB；则C的实轴长为（）()A2 ()B 2 2 ()C ()D【解析】选C 设222:(0)C xyaa交xy162的准线:4l x 于(4,2 3)A(4,2 3)B 得：222(4)(2 3)4224a

5、aa （9）已知0，函数()sin()4f xx在(,)2上单调递减。则的取值范围是（）()A1 5,2 4 ()B 1 3,2 4 ()C 1(0,2 ()D(0,2【解析】选A 592(),444x 不合题意 排除()D 351(),444x 合题意 排除()()B C 另：()22，3(),424422x 得：315,2424224 （10）已知函数1()ln(1)f xxx；则()yf x的图像大致为（）【解析】选B ()ln(1)()1()010,()00()(0)0 xg xxxg xxg xxg xxg xg 得：0 x 或10 x 均有()0f x 排除,A C D（11）已知

6、三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）()A26 ()B 36 ()C 23 ()D22【解析】选A ABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRr SC为球O的直径点S到面ABC的距离为2 623d 此棱锥的体积为1132 62233436ABCVSd 另：13236ABCVSR排除,B C D（12）设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（）()A1 ln2 ()B 2(1ln2)()C 1 ln2 ()D2(1ln2)【解析】选A 函数12xye与函数ln(2)y

7、x互为反函数，图象关于yx对称 函数12xye上的点1(,)2xP xe到直线yx的距离为122xexd 设函数minmin111 ln2()()1()1 ln2222xxg xexg xeg xd 由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1 ln2)d 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量,a b夹角为45，且1,210aab；则_b 【解析】_b 3 2 22210(2)1044cos45103 2ababbbb(1

8、4)设,x y满足约束条件：,013x yxyxy；则2zxy的取值范围为 【解析】2zxy的取值范围为 3,3 约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC 则2 3,3zxy （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从 正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为 【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为 38 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1

9、000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为12p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率2131(1)4Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为2138ppp（16）数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为 【解析】na的前60项和为 1830 可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab 112341515 141010 151618302baaaaS 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知,a b c分别为ABC三个

10、内角,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A （2）若2a，ABC的面积为3；求,b c。【解析】（1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBC sincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA （2）1sin342SbcAbc 2222cos4abcbcAbc 解得：2bc（l fx lby）18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购

11、进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由。【解析】（1）当16n 时，16(105)80y 当15n 时，55(16)1080ynnn 得：1080(15)()80(16)nnynNn （2）（i）X可取60，70，80 (

12、60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P XP XP X X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 60 0.170 0.280 0.776EX 222160.160.240.744DX （ii）购进 17 枝时，当天的利润为(14 53 5)0.1(15 52 5)0.2(16 5 1 5)0.1617 5 0.5476.4y 76.476 得：应购进 17 枝 （19）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC 1（1）证明：BCDC 1 （2）求二面角11CBDA的大小。【解析】（1）在Rt D

13、AC中，ADAC 得：45ADC 同理：1114590ADCCDC 得：111,DCDC DCBDDC面1BCDDCBC （2）11,DCBC CCBCBC面11ACC ABCAC 取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H 1111111ACBCC OAB，面111ABC 面1ABD1C O面1ABD 1OHBDC HBD 得：点H与点D重合 且1C DO是二面角11CBDA的平面角 设ACa，则122aC O，1112230C DaCOC DO 既二面角11CBDA的大小为30（20）（本小题满分 12 分）设抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，准线为l，

14、AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,B D两点；（1）若090BFD，ABD的面积为24；求p的值及圆F的方程；（2）若,A B F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,m n距离的比值。【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp 点A到准线l的距离2dFAFBp 14 24 222ABDSBDdp 圆F的方程为22(1)8xy （2）由对称性设2000(,)(0)2xA xxp，则(0,)2pF 点,A B关于点F对称得：22220000(,)3222xxpBxppxppp 得：3(3,)2pAp，直线3322:30223ppppm

15、 yxxyp 22332233xxxpyyyxppp切点3(,)36ppP 直线333:()306336ppn yxxyp 坐标原点到,m n距离的比值为33:326pp。（lfx lby）（21）（本小题满分 12 分）已知函数()f x满足满足121()(1)(0)2xf xfefxx；（1）求()f x的解析式及单调区间；（2）若21()2f xxaxb，求(1)ab的最大值。【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfefxxfxfefx 令1x 得：(0)1f 1211()(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21()()()12xxf

16、xexxg xfxex ()10()xg xeyg x 在xR上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx 得：()f x的解析式为21()2xf xexx 且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（2）21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea 当10a 时，()0()h xyh x在xR上单调递增 x 时，()h x 与()0h x 矛盾 当10a 时，()0ln(1),()0ln(1)h xxah xxa 得：当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0h xaaab 22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa

17、令22()ln(0)F xxxx x；则()(12ln)F xxx ()00,()0F xxe F xxe 当xe时，max()2eF x 当1,aebe时，(1)ab的最大值为2e 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，,D E分别为ABC边,AB AC的中点，直线DE交 ABC的外接圆于,F G两点，若/CFAB，证明：（1）CDBC；（2）BCDGBD【解析】（1）/CFAB，/DFBCCFBDADCDBF /CFABAFBCBCCD （2）/BCGFBGFCBD

18、 /BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD （23）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程 已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,A B C D的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围。【解析】（1）点,A B C D的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636 点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)P xy；则002cos()3sinxy为参数 2222224440tPAPBPCPDxy 25620sin56,76（lfxlby）（24）（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知函数()2f xxax（1）当3a 时，求不等式()3f x 的解集；（2）若()4f xx的解集包含1,2，求a的取值范围。【解析】（1）当3a 时，()3323f xxx 2323xxx或23323xxx或3323xxx 1x或4x （2）原命题()4f xx在1,2上恒成立 24xaxx在1,2上恒成立 22xax 在1,2上恒成立 30a