1讲数论问题基础拓展质数、约数、倍数T1.pdf

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1、 1 一、奇数与偶数：奇数偶数奇数 奇数奇数偶数 奇数偶数奇数 奇数奇数偶数 应用：巧填数阵图 二、约数与倍数：1最大公约数 数学符号()分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。例如：2313711，22252237，所以(231,252)3721；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：2181239632，所以(12,18)236；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三

2、个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数。(如果最后的除数是 1，那么原来的两个数是互质的)。例如：求600和1515的最大公约数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以：1515 和 600的最大公约数是 15。2最小公倍数 数学符号：分解质因数的方法；例如：2313711，22252237，所以：22231,252237112772 短除法求最小公倍数；例如：2181239632，所以18,12233236；3重要性质：两个数的乘积等于它们的最大公约数乘以最小公倍

3、数 4求约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。数论问题基础拓展质数、约数、倍数 2 如：1400严格分解质因数之后为32257，所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24 个。(包括 1 和 1400 本身)口诀：指数加 1 联乘 5求约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：33210002357，所以 21000 所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17

4、)74880 质数与合数：1一个数除了 1 和它本身，没有其他约数的正整数叫质数(也叫做素数)。一个数除了1 和它本身，还有其他约数的正整数叫合数。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。常用的 100 以内的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9。考点：值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点。除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9。这也是很

5、多题解题思路，需要大家注意。2质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数。分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：30235。其中 2，3，5 叫做 30 的质因数。又如21222323，2、3 都叫做 12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。第十一届“中环杯”小学生思维能力训练活动五 年级选拔赛)从 1 至 13 中选出 12

6、 个自然数填入 34 的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等(横行的和没有必要和竖列的和相等)考点分析：数阵图。1+2+3+-+12+13=91 现在从中选出 12 个自然数填入 34 的方格中，使每横行四个数之和相等，每竖行三个数之和也相等，那么这 12 个数之和应该既是 4 的倍数、也是 3 的倍数，所以只能是 91 减 7=84。横行的和为 84 除以 3=28，竖行的和为 84 除以 4=21，下面给出一种填法：13 10 1 4 2 3 11 12 6 8 9 15 拓展：如果四个两位质数 a，b，c，d 两两不同，并且满足，等式 a+b=c+d那么，(1)a+b的最小

7、可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?例 1 3【分析与解】两位的质数有 11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97 可得出，最小为 11+19=13+17=30，最大为 97+71=89+79=168 所以满足条件的 a+b最小可能值为 30，最大可能值为 168 4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13。已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？每个瓶称三次，故四个瓶子总重量为（8+9+10+1

8、1+12+13）/3=21 21是奇数故空瓶重量之和与油重量之和一奇一偶 而2是偶质数，故空瓶重量和为2，油重量和为19 每个空瓶0.5，故最重两瓶（即重13的两瓶）有13-0.5*2=12 拓展：在 555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=51111001 =35 7 111337 显然其最大的三位数约数为 777 (第八届“聪明小机灵”小学数学邀请赛五年级试题)若六位数ababab恰有 32 个正约数，小于50的这样的两位数ab有()个。有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走120 米，丙每分钟走70 米。已知操场跑道周长为400

9、米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个例 4 例 3 例 2 4 人可以首次相聚？甲 400/80=5 分钟走一圈，乙 400/120=10/3 分钟走一圈，丙 400/70=40/7 分钟走一圈。取三者最小公倍数可得 40 分钟相聚 拓展：从一张长 2002毫米，宽 847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长 2002毫米、宽 847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是 20

10、02除以 847所得的商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308=2231，308231=17723177=3 不难得知，最后剪去的正方形边长为 77 毫米 例五：(2008 第四届“IMC 国际数学邀请赛”(新加坡)六年级复赛)如图，A、B、C 是三个顺次咬和的齿轮，当 A 转 4 圈时，B 恰好转 3 圈：当 B 转 4 圈时，C 恰好转 5 圈，则 A、B、C 的齿数的最小数分别是多少？A:B=3:4=15:20 B:C=5:4=20:16 A:B:C=15:20:16 这三个齿轮的齿数的最小值分别是15,20,16 5 12320051232005除

11、以 10 所得的余数是多少？因为每个大于10的数都可以变成10+，所以被10除还是后面+的部分被10除的余数，1永远都是1，所以从1-2005总共有201个尾数为1的，余数为1 2的多少次方我们看一下，2，4，8，16，32.，每四个一轮回，而前四个之和也是能被10整除，所以余数为2005中共有201个，余数为2 3也是一样的道理，余3 4.则是两个一轮回，所以余数为4 5-9全部一样，至于10的倍数则是想都不需要想的 所以余数为1+2+3+4=10 换句话说，总和可以被10整除 例 6 6 测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1将一个数的所有约数两两求和分别是4，6，8

12、，10，12，16，18，20，22，24，26，28，36，38，40，42，50，56，106，108，110，112，120，126，140，这个数是()？A100 B105 C90 D85 解析：最小因数是1，4-1=3必有因数3 根据最大因数本身，和次大因数=本身的1/3，可知，此数本身=140(1+3)3=105 2大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60 个脚印。圆形花圃的周长是()。A2200 B2160 C2300 D2400 解析：

13、54和72的最小公倍数是216，小明每步长54厘米，每经过216厘米，小明会留下216544个脚印 爸爸每步长72厘米，每经过216厘米，爸爸会留下216723个脚印 且每经过216厘米，小明和爸爸会有一个脚印重合，则每经过216厘米，雪地上小明和爸爸共留下4+3-16个脚印，那么 60610个216厘米，60个脚印就需要小明和爸爸走10个216厘米 所以路长是216102160厘米=21.6米。3在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种刻度线把木棍分成 12 等份，第三种刻度线把木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成()段？A30 B

14、25 C28 D26 解：10，12，15 的最小公倍数是 60，设木棍 60 厘米，6010=6（厘米），6012=5（厘米），6015=4（厘米），10 等分的为第一种刻度线，共 101=9（条），12 等分的为第二种刻度线，共 121=11（条），7 15等分的为第三种刻度线，过 15 1=14（条），第一种与第二种刻度线重合的条数：6 和 5的最小公倍数是 30，60301=2 1=1（条），第一种与第三种刻度线重合的条数：6 和 4的最小公倍数是 12，60121=5 1=4（条），第二种与第三种刻度线重合的条数：5和 4的最小公倍数是 20，60201=3 1=2（条），三种刻度线

15、重合的没有，6、5和 4的最小公倍数是 60，因此，共有刻度线 9+11+1414 2=27（条），木棍总共被锯成 27+1=28（段）；答：木棍总共被锯成 28段。4(第七届中环杯五年级复赛填空题第 3 题)121 122123124200420052006的乘积的末尾有()个零？A472 B478 C473 D471 解析：121122123124200420052006的乘积的末尾有（472）个零 分析思路：1）末尾连续有多少个零，决定于这些数中含有多少个因子（10）2）因为含因子2的数量大于因子5的数量，所以，只需讨论有多少个因子5 3）含因子5的数有：(2006-121+1)/5=3

16、77余1 即有377个 含因子25的数有：(2006-121+1)/25=75余11 即有75个 含因子125的数有：(2006-121+1)/125=15余11 即有15个 含因子625的数有：(2006-121+1)/625=3余11 即有3个 4）除以上考虑外，1000和2000这两个数字相乘时再各多出1个0，此时多出2个0 5)所以，121到2006个数字中，共含有377+75+15+3+2=472个因子 所以121122123124200420052006的乘积的末尾有（472）个零 提问者评价 谢谢!5(“迎春杯”数学竞赛)3个质数的倒数之和是16611986，则这3个质数之和为(

17、)?A335 B270 C359 D336 解析：三个质数的倒数之和是1986分之1661，则三个质数的积必为1986，而198623331，因此三个质数为2、3、331，它们的和为336。6如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数。如年份数 1991，具有如下两个性质：1991 是一个回文数。1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积。在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 8 外，具有性质和的年份数，有()？A1111 B1411 C1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881 D1111，1441，1661 1001 1111 1221 1331 1441 1551 1661 1771 1881 1991