13.4《最短路径问题》教案精选文档.pdf

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1、第 1 页 13.4 课题学习 最短路径问题（第二课时）13.4.2 造桥选址问题 一、教学目标：（一）学习目标 1.熟练应用轴对称变换知识，提高解决实际问题的能力；2.学会利用平移变换知识解决造桥选址的最短路径问题；3.体会平移变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（二）教学重点 教学重点：利用平移将“造桥选址”的实际问题转化为“两点之间，线段最短”问题（三）教学难点 教学难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题 二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务 平移不改变图形的 和 ;三角形三边的数量关系：三角形任意两边的差 第三边;如图，直线 AB，CD 且 ABCD，在直线 AB

2、 上任取不同两点 P、Q，过 P、Q分别作 CD 的垂线，垂足分为 M、N，则 PM 与 QN 的大小关系为（）APMQN BPMQN CPMQN D不能确定 答案：形状，大小；小于；B 2.预习自测 直线 AB 上有一点 P，当点 P 在 时，PA+PB 有最小值，最小值为 AB的值；直线 AB 上有一点 P，当点 P 在 时，PB-PA 等于 AB 的值；直线 AB 上有一点 P，当点 P 在 时，PA-PB 等于 AB 的值；【知识点】线段的和差【数学思想】分类讨论，数形结合 第 2 页【思路点拨】直线 AB 上有一点 P，此时点 P 与线段 AB 的位置关系有两种：如图 1，点在线段

3、AB 上；如图 2 和图 3，点在线段 BA 的延长线上或点在直线AB 的延长线上.【解题过程】当点 P 在线段 AB 上时，如图 1，PA+PB=AB 即 PA+PB 最小值为AB 的值；当点 P 在线段 BA 的延长线上时，如图 2，PB-PA=AB；当点 P 在线段 AB 的延长线上时，如图 3，PA-PB=AB；【答案】线段 AB 上；线段 BA 的延长线上；线段 AB 的延长线上.如图，点 A、B 在直线 l 的同侧，在直线 l 上能否找到一点 P，使得PBPA的值最大？【知识点】两点之间线段最短，三角形两边的差小于第三边【思路点拨】当点 P、点 A、点 B 不共线时，根据“三角形任

4、意两边的差小于第三边”，则PBPAAB；当点 P 与 A、B 共线，点 P 在线段 BA 的延长线上时，即点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点，则PBPA=AB.【解题过程】当点 P 在直线 l 上且点 P、点 A、点 B 不共线时PBPAAB；当点 P 在线段 BA 的延长线与直线 l 的交点时，如图，PB-PA=AB，即 PBPA=AB；【答案】如图，连接 BA 并延长交直线 l 于 P，此时PBPA的值最大.（二）课堂设计 1.知识回顾 在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）.平移不改变图形的形状和大小.三角形三边的数量关系：三角形两边的

5、差小于第三边 2.问题探究 探究一 运用轴对称解决距离之差最大问题 活动回顾旧知，引入新知 师：上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线”的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况：活动整合旧知，探究新知 第 3 页 例 1.如图，A、B 两点在直线 l 的异侧，在直线 l 上求作一点 C，使ACBC的值最大【知识点】轴对称变换，三角形三边的关系【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法.此题的突破点是作点 A(或点 B)关于直线 l 的对称点

6、 A(或B)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线 AB(AB)与直线 l 交点 C.【解题过程】如图 1 所示，以直线 l 为对称轴，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，AB 的延长线交 l 于点 C，则点 C 即为所求 活动类比建模，证明新知 师：回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时 AC+BC最小的吗？试类比证明“ACBC最大”的作法是否正确性？理由：在直线 l 上任找一点 C (异于点 C)，连接 CA，CA，CA，CB.因为点 A，A关于直线 l 对称，所以 l 为线段 AA的垂直平分线，则有 CACA，所以 CACBCACBAB.又因为点 C在 l

7、 上，所以 CACA.又在ABC中，CACBCACBAB，所以 CACBCACB.练习 点 A、B 均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示.若 P 是 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点，Q 是 y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，请在图中画出点 P 与点 Q.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边，三角形任意两边的和大于第三边【思路点拨】当点 P 与 A、B 共线时，即在线段 AB 的延长线上，点 P 为直线 AB与 x 轴的交点，则此时 P 是 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB.将点 A、B 看成 y 轴同

8、侧有两点：在 y 轴上求一点 Q，使得 QA+QB 最小【解题过程】延长线段 AB，AB 与 x 轴交于点 P，则此时 P 是 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点，即PAPB=AB；作点 A 关于 x 轴的对称点 A，AB的连线交 y 轴于点 Q，则点 Q 是 y 轴上使得 QA+QB 的值最小的点.【答案】如图，点P 与点 Q 即为所求：探究二 利用平移解决造桥选址问题 活动结合实际，难点分解 师：常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什第 4 页 么关系呢？如图，在笔直河岸 CD 上的点 A 处需建一座桥，连接河岸 EF，且 CDEF.显然当桥 AB 垂直于河

9、岸时，所建的桥长最短.活动生活中的实际问题 例 2.如图，A、B 两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥 MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）【知识点】平移知识，两点之间线段最短【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点 A 到点 B 要走的路线是AMNB，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN 最短即可如图 1，此时两线段 AM、BN 应在同一平行方向上，平移 MN 到 A A，则 A A=MN，AM+NB=AN+NB，这样问题就转化为：当点 N 在直线 b 的什么位置时，AN+NB 最小？如图

10、 2，连接 A，B 两点的线中，线段 AB 最短，因此，线段 AB 与直线 b 的交点 N 的位置即为所求，即在点 N 处造桥 MN，所得路径AMNB 是最短的.图 1【解题过程】如图 2，平移 MN 到 AA（或者过点 A 作 A A垂直于河岸），且使 AA等于河宽连接 BA与河岸的一边 b 交于点 N.过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸 a 于点 M.【答案】如图所示，则MN 为所建的桥的位置 图 2 活动几何证明 上述作图为什么是最短的？请你想想.先让学生小组合作完成，进行展示、分享.证明：由平移的性质，得 MNAA，且 MN=AA，AM=AN，AMAN，所以 A、B 两地的距离:AM+

11、MN+BN=AA+AN+BN=AA+AB.如图 2，不妨在直线 b 上另外任意取一点 N，若桥的位置建在 NM处，过点 N作 NM a，垂足第 5 页 为 M，连接 AM，AN，N B.由平行知：AM=AN，AA=NM，则建桥后 AB两地的距离为：AM+MN+NB=AN+AA+NB=AA+AN+NB.在ANB 中，AN+NB AB，AA+AN+NB AA+AB，即AM+MN+NB AM+MN+BN.所以桥建在 MN 处，AB 两地的路程最短.【设计意图】利用平移等变换把问题转化为容易解决的已知问题，从而做出最短路径的选择.练习 如图 1，江岸两侧有 A、B 两个城市，为方便人们从 A 城经过一

12、条大江到B 城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行.应如何选择建桥的位置，才能使从A 地到 B 地的路程最短？【知识点】平移的知识，两点之间线段最短【思路点拨】从 A 到 B 要走的路线是 AMNB，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移 MN 到 AC，从 C 到 B 应是余下的路程，连接 BC 的线段即为最短的，此时不难说明点 N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥【解题过程】(1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河宽；(2)连接BC 与河岸的一边交于点 N；(3)过点 N

13、作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.【答案】如图 2 所示，则 MN 为所建的桥的位置 3.课堂总结 知识梳理 本堂课主要知识为两个最值问题：（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题 重难点归纳 解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题“距离之差最大”问题的两种模型：如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为即可.通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的

14、对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性 第 6 页 “造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题（三）课后作业 基础型 自主突破 1.如图，A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道，直线 b 表示输煤气总管道 现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到 A、B 两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中，点 A是点 A 关于直线 b 的对称点，AB 分别交 b、a

15、 于点 C、D；点 B是点 B 关于直线 a 的对称点，BA 分别交 b、a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）AF 和 C BF 和 E CD 和 C DD 和 E【知识点】最短路径问题【思路点拨】图中隐含了两个“两点（同侧）一线型”的模型.【解题过程】由轴对称的最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于 a 的对称点 B与 A 的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点 A 关于 b 的对称点 A与 B 的连线的交点 C故选 A【答案】A 2.如图所示，一面镜子 MN 竖直悬挂在墙壁上，人眼 O 的位置与镜子 MN 上沿M 处于同一水平线 有四个物体 A、B、

16、C、D 放在镜子前面，人眼能从镜子看见的物体有（）A.点 A、B、C B.点 A、B、D C.点 B、C、D D.点 A、B、C、D【知识点】轴对称的知识【思路点拨】物体在镜子里面所成的像就是数学问题中的物体关于镜面的对称点，人眼从镜子里所能看见的物体是它关于镜面的对称点，必须在眼的视线范围内 如下图示，分别作 A、B、C、D 四点关于直线 MN 的对称点 A、B、C、D 由于 C不在MON 内部，故人能从镜子里看见 A、B、D 三个物体【解题过程】如下图示，分别作 A、B、C、D 四点关于直线 MN 的对称点 A、B、C、D由于 C不在MON 内部，故人能从镜子里看见 A、B、D 三个物体

17、第 7 页【答案】B 3如图，在四边形 ABCD 中，C50，BD90，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当AEF 的周长最小时，EAF 的度数为（）A50 B60 C70 D80【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、三角形的外角以及三角形内角和、四边形内角和【解题过程】在四边形 ABCD 中，C50，BD90，BAD=130 延长 AB 到 P，使 BP=AB，延长 AD 到 Q，使 DQ=AD，则点 A 关于 BC 的对称点为点 P，关于 CD 的对称点为点 Q，连接 PQ 与 BC 相交于点 E，与 CD 相交于点 F，如图，PQ 的长度即为AEF 的周长最小值；又BAD=130，在

18、APQ中，PQ18013050.AEFPPAE2P，AFEQQAF2Q，AEFAFE2(PQ)250100 ，EAF=180100=80【思路点拨】补全图形，转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题；根据三角形的内角和等于 180求出PQ，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决【答案】D 4.如图，村庄 A，B 在公路 l 的同侧，在公路 l 上有一个公交车站点 P，此点 P使得PBPA值最大，试作出公交车站 P的位置.【知识点】两点之间线段最短，三角形任意两边的差小于第三边【思路点拨】当点 P、点 A、点 B 不共线时，根据“三角形任意两边的差小于第三边”，则PBPAAB；

19、当点 P 与 A、B 共线时，即在线段 BA 的延长线上，点 P 为直线 AB 与直线 l 的交点，则PBPA=AB.【解题过程】当点 P 在直线 l 上且点 P、点 A、点 B 不共线时PBPAAB；当点 P 在线段 BA 的延长线与直线 l 的交点时，如图，PB-PA=AB，即 PBPA=AB；【答案】如图，点 P 为所求公交车站的位置.5.如图，等边ABC 的边长为 2，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 边上的动点，F 是 AC 边上的中点，当 EF+EC 取得最小值时，求ECF 的度数.【知识点】等腰三角形的“三线合一”，轴对称知识，两点之间线段最短 第 8 页【思路点拨】拆分

20、出点 F、点 C 和直线 AD，构成“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键，连接 CF（或者连接 BF）与直线 AD 交于点 E，此时 EF+EC 取得最小值为 CF（或者 BF），但题目要求ECF 的度数，则只能连接 CF，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【解题过程】取 AB 得中点 F，则等边三角形 AC 边的中点 F 与点 F关于直线AD 对称；连接 CF，与直线 AD 相交于点 E，此时 EF+EC 取得最小值.因为 CF是等边ABC 的边 AB 上的中线，所以 CF平分ACB，则ECF 的度数是 30.作图解题之前应该忽略图中的点 E，如图 1，又由“两点一线型”的最短距离的

21、模型得到图 2；【答案】ECF 的度数为 30 6.如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AB=10，AD 是BAC 的平分线若 P、Q 分别是 AD 和 AC 上的动点，求 PC+PQ 的最小值.【知识点】轴对称的知识、垂线段最短、角平分线的性质 【数学思想】数形结合，转化【解题过程】如图，过点 C 作 CMAB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC于点 Q，AD 是BAC 的平分线，PQ=PM，这时 PC+PQ 有最小值，最小值为 CM 的 长 度.AC=6，BC=8，AB=10，SABC=12ABCM=12ACBC，CM=AC BCAB=6 810=

22、245，即 PC+PQ 的最小值为245【思路点拨】因为BAC 的对称轴是BAC 的平分线所在的直线 AD，所以点 Q的对称点在射线 AB 上.若点 Q 关于直线 AD 的对称点为点 M，PC+PQ=PC+PM，又当 PC、PM 共线时，PC+PM 的最小值为线段 CM 的最小值，根据垂线段最短，所以当 CMAB 时线段 CM 的值最小.过点 C 作 CMAB 于点 M，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q，因为 AD 是BAC 的平分线，得出 PQ=PM，这时PC+PQ 有最小值，最小值为 CM 的长度，再运用 SABC=12ABCM=12ACBC，得出 CM 的值，即 PC

23、+PQ 的最小值本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足 PC+PQ 有最小值时点 P 和 Q 的位置【答案】245 能力型 师生共研 第 9 页 7.如图所示，在边长为 3 的等边三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、AC、BC的中点，点 P 是线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，求BPG 周长的最小值 【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】要使PBG 的周长最小，而 BG=1.5 是一个定值，只要使 BP+PG最短即可，则转化为“两点一线型”的最短路径问题.连接 AB 交直线 EF 于点 P 即当 P 和 E 重合时，此时 BP+PG 最小，即PBG 的周

24、长最小.【解题过程】如图，连接 AG 交 EF 于 M.等边ABC，E、F、G 分别为 AB、AC、BC 的中点，AGBC，EFBC，则 AGEF，AM=MG，A、G 关于EF 对称，连接 AB 交直线 EF 于点 P，即当 P 和 E 重合时，此时 BP+PG 最小，即PBG 的周长最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=3+1.5=4.5【答案】4.5 探究型 多维突破 8.读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系:在直角三角形中，两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a+b=c.我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾

25、”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为 3、4，则斜边 c2=a2+b2=9+16=25，则斜边 c 为 5.借助勾股定理我们可以解决更多最短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，已知 A、B 两个村庄位于河流 CD 的同侧，它们到河流的距离 AC=10km，BD=30km，且 CD=30km现在要在河流 CD 上建立一个泵站 P 向村庄供水，铺设管道的费用为每千米 2 万元，要使所花费用最少，请确定泵站 P 的位置，并求出此时所花费用的最小值为多少？（保留痕迹，不写作

26、法）【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】根据已知得出作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB，则 AB 与直线 l 的交点 P 到 A、B 两点的距离和最小，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出 此题主要考查了用轴对称解决最短路径问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形 第 10 页【解题过程】依题意，只要在直线 l 上找一点 P，使点 P 到 A、B 两点的距离和最小作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB，则 AB 与直线 l 的交点 P 到 A、B 两点的距离和最小，且 PA+PB=PA+PB=AB又过点 A向 BD 作垂线，交 BD的延长线于点 E

27、，在直角三角形 ABE 中，AE=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：AB=50（千米）即铺设水管长度的最小值为 50 千米所以铺设水管所需费用的最小值为：502=100（万元）【答案】100 万元 9.读一读：勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系:在直角三角形中，两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a+b=c.我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”.例如：直角三角形的两个直角边分别为 3、4，则斜边 c2=a2+b2=9+16=25，则斜边 c 为 5.借助勾股定理我们可以解决更多最

28、短路径问题，勾股定理的具体内容我们将在八年级下册中学到.借助勾股定理，请尝试完成下面的练习：如图，AOB=30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1，ON=3，点 P、Q分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】点 M、N 分别在边 OA、OB 上的定点，作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值【解题过程】解：作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=

29、AOB=30，O N=ON=3，OM=OM=1，NOM=90，在 RtMON中，MN=2231=10故答案为10【答案】10 自助餐 1.如图，小河 CD 边有两个村庄 A 村、B 村，现要在河边建一自来水厂 E 为 A村与 B 村供水，自来水厂建在什么地方到 A 村、B 村的距离和最小？请在下图中找出点 E 的位置（保留作图痕迹，不写作法）【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短 第 11 页【思路点拨】利用轴对称求最短路线的方法得出 A 点关于直线 CD 的对称点 A，再连接 AB 交 CD 于点 E，即可得出答案【解题过程】如图所示，点 E 即为所求 2.如图，在一条笔直的公路 l 旁修建

30、一个仓储基地，分别给 A、B 两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之差即PBPA最小?(保留作图痕迹及简要说明)【知识点】线段垂直平分线的知识，绝对值的知识【思路点拨】因为绝对值具有非负性，即PBAP 0，所以当点 PA=PB时，PBPA最小值为 0.【解题过程】作线段 AB 的垂直平分线，与直线 l 交于点 P，交点 P 即为符合条件的点如图，取线段 AB 的中点 G，过中点 G 画 AB 的垂线，交 EF 于 P，则 P到 A，B 的距离相等也可分别以 A、B 为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与 EF 的交点 P 即为所求【答案】

31、如图，点 P 为所求公交车站的位置.3.如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC 的长度最短，作法为：作点 B 关于直线 l 的对称点 B；连接 AB与直线 l 相交于点 C，则点 C 为所求作的点 在解决这个问题时没有运用到的数学知识或方法是（）A转化思想 B三角形的两边之和大于第三边 C两点之间，线段最短 D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【知识点】轴对称的知识、两点之间最短【解题过程】点 B 和点 B关于直线 l 对称，且点 C 在 l 上，CB=CB，又AB交 l 与 C，且两条直线相交只有一个交点，CB+CA=AB最短，即此时点

32、 C 使 CA+CB 的值最小，将轴对称最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”，体现了转化的思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边故选 D【思路点拨】利用“两点之间线段最短”分析并验证即可此题主要考查了利用轴对称知识解决最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性第 12 页 质定理“两点之间线段最短”，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点【答案】D 4.如图，在ABC 中，AC=5，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上的任一点，则AP+BP 的最小值=.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短 【数学思想】数形结合.【解题过程】EF 垂直平

33、分 BC，B、C 关于 EF 对称.连接 AC 交 EF 于 D，当 P 和 D 重合，即当点 P 在直线 EF 上的 D 点处时，AP+BP 的值最小，最小值等于 AC 的长为 5.【思路点拨】根据题意知点 B 关于直线 EF 的对称点为点 C，故当点 P 与点 D 重合时，AP+BP 的最小值为 AC 长度 5.【答案】5 5.如图，在平面直角坐标系中，PQx 轴于点 Q，P（-4，8）.直线 AB 垂直平分线段 OQ,交 x 轴于点 C，点 M 为直线 AB 上的一动点，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，连接 PM、NQ，求 PMMNNQ 的最小值；【知识点】平移知识，两点之间线段

34、最短【思路点拨】将直线 AB 和 y 轴看作河的两岸，点 P 和点 Q看作河岸两侧的点，转化为造桥选址问题.从 P 到 Q 要走的路线是 PMNQ，如图所示，而 MN是定值，于是要使路程最短，只要 PMQN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移 MN 到 PP，从 PNQ 应是余下的路程，当 PN+NQ 的值最小时 PMMNNQ 有最小值.作点 Q 关于 y 轴的对称点 Q，连接 PQ的线段即为最短，PQ与 y 轴的交点为 N，过 N 作直线 AB 的垂线，垂足为点 M，则 PMMNNQ 的最小值为线段 PQ的长【解题过程】因为 PQx 轴于点 Q，P（-4，8）所以 Q（-4，0）又因为直线AB 垂直平分线段 OQ,交 x 轴于点 C，所以 C（-2，0）.如图 2，过点 P 作 PPAB于 P，且 PP等于 OC又作点 Q 关于 y 轴的对称点 Q（4，0），连接 PQ与 y轴的交点为 N，过 N 作直线 AB 的垂线，垂足为点 M，则 PMMNNQ 的最小值为线段 PQ+MN 的长又易得 PC=8，QC=6，借助勾股定理，在直角三角第 13 页 形 PCQ中可得 PQ=22CQCP=2268=10，所以 PMMNNQ 的最小值为 10+2=12.【答案】PMMNNQ 的最小值为 12.