2012年高考理科数学试题(含答案).pdf

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1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 1设 i 为虚数单位，则复数56ii=A 65i B65i C65i D65i 2设集合 U=1,2,3,4,5,6，M=1,2,4 则UC M AU B1,3,5 C3,5,6 D2,4,6 3若向量BAuu u r=（2,3），CAuu u r=（4,7），则BCuuu r=A（-2,-4）B(2,4)C(6,10)D(-6,-10)4下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是 Aln(2)yx B1yx Cy=12x D1yxx 5已知变量 x，y 满足约束条件211yx

2、yxy，则 z=3x+y 的最大值为 A12 B11 C3 D1 6某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为 A12 B45 C57 D81 7从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 0 的概率是 A 49 B 13 C 29 D 19 8对任意两个非零的平面向量u r和u r，定义 u r u ru r u ru r u ro若平面向量,a br r满足0abrr，ar与br的夹角(0,)4，且a brro和b arro都在集合2nnZ中，则a brro=A12 B1 C 32 D 52 二、填空题：本大题共 7 小题，考生答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一

3、）必做题（9-13 题）9不等式21xx的解集为_ 10 261()xx的展开式中3x的系数为_（用数字作答）11已知递增的等差数列 na满足11a，2324aa，则na _ 12曲线33yxx在点（1，3）处的切线方程为 13执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 8，则输出 s 的值为 （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1和 C2的参数方程分别为()xttyt为参数 和2cos()2sinxy为参数，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_ 15（几何证明选讲选做题）如图 3，圆 O 的半径为 1，A

4、、B、C 是圆周上的三点，满足ABC=30，过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA=_ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12 分）已知函数()2cos()(0,)6f xxxR其中的最小正周期为10（1）求的值；（2）设56516,0,(5),(5)235617ff ，求cos()的值 17（本小题满分 13 分）某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示，其中成绩分组区间是：40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100（1）求图中x的值；（2）从

5、成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望 18（本小题满分 13 分）如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，点 E在线段 PC 上，PC平面 BDE（1）证明：BD平面 PAC；（2）若 PA=1，AD=2，求二面角 B-PC-A 的正切值；19（本小题满分 14 分）设数列 na的前 n 项和为 Sn，满足11221,nnnSanN且123,5,a aa成等差数列（1）求 a1的值；（2）求数列 na的通项公式（3）证明：对一切正整数 n，有1211132naaaL

6、20（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：22221(0)xyabab的离心率23e，且椭圆 C 上的点到 Q（0，2）的距离的最大值为 3（1）求椭圆 C 的方程；（2）在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n）使得直线 l：mx+ny=1 与圆 O：x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由 21（本小题满分 14 分）设 a1，集合20,23(1)60AxR xBxRxa xa，DABI（1）求集合 D（用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f xxa xax

7、在 D 内的极值点 2012 广东高考数学（理科）参考答案 选择题答案：1-8：DCAAB CDC 填空题答案：9.1,2 10.20 11.21n 12.21yx 13.8 14.1,1 15.3 解答题 16.（1）15（2）代入得62cos25 3sin5 162cos178cos17 ,0,2 415cos,sin517 4831513coscoscossinsin51751785 17.（1）由30 0.00610 0.01 10 0.054101x得0.018x （2）由题意知道：不低于 80 分的学生有 12 人，90 分以上的学生有 3 人 随机变量的可能取值有 0,1,2 2

8、92126011CPC 11932129122C CPC 232121222CPC 69110121122222E 18.（1）PAABCD 平面 PABD PCBDE 平面 PCBD BDPAC 平面（2）设 AC 与 BD 交点为 O，连OE PCBDE 平面 PCOE 又 BOPAC 平面 PCBO PCBOE 平面 PCBE BEO为二面角BPCA的平面角 BDPAC 平面 BDAC ABCD四边形为正方形 2BO 在PAC中，12332OEPAOEOEOCAC tan3BOBEOOE 二面角BPCA的平面角的正切值为 3 19.（1）在11221nnnSa中 令1n 得：212221

9、Sa 令2n 得：323221Sa 解得：2123aa，31613aa 又21325aaa 解得11a （2）由11221nnnSa 212221nnnSa得 12132nnnaa 又121,5aa也满足12132aa 所以132nnnaanN对成立 11+232nnnnaa 23nnna 32nnna （3）（法一）123211323233232.23nnnnnnnna 1113nna 21123111311111113.1.1333213nnnaaaa （法二）1111322 322nnnnnnaa 11112nnaa 当2n 时，321112aa 431112aa 541112aa 11

10、112nnaa 累乘得：221112nnaa 212311111111173.1.5252552nnaaaa 20.（1）由23e 得223ab，椭圆方程为22233xyb 椭圆上的点到点 Q 的距离222222332dxybyy 222443yybbyb 当1b 即1b,2max633db得1b 当1b 即1b,2max443dbb得1b（舍）1b 椭圆方程为2213xy（2）11sinsin22AOBSOA OBAOBAOB 当90AOBo，AOBS取最大值12，点 O 到直线l距离22122dmn 222mn 又2213mn 解得：2231,22mn 所以点 M 的坐标为62626262

11、,22222222或或或 AOB的面积为12 21.（1）记 223 161h xxa xa a 29 14831 39aaaa 当0，即113a，0,D 当103a，223393093393090,44aaaaaaD 当0a，2339309,4aaaD（2）由 266 160=1fxxa xaxa 得，得 当113a，Df xa在 内有一个极大值点，有一个极小值点 1 当103a，123 16=310haaa 2223 16=30h aaa aaaa 1,D aD Df xa在 内有一个极大值点 当0a，则aD 又 123 16=310haaa Df x 在 内有无极值点 理科数学试卷评析

12、汪治平 1.整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。本试卷大大加强了对二次函数分类讨论的考查，即20 题、21 两题。本试卷计算量不大，仅最后一题讨论稍花时间，平时基础不错的学生，时间足够。2.题目分析：（1）填空、选择相对较易，但第 8 题保持了广东卷近几年一贯传统，是一个创新题，得分率可能不高。（2）三角函数、概率统计、立体几何三道大题按正常的顺序出题，难度相比平时的模拟训练难度都小很多。（3）数列前两问比较正统，数列不等式考查放缩法，有些难度，但和去年高考数列题有很大相似之处，如有联想，可以迎刃而解。若数列放缩到等比数列比较熟练也可很快处理。（4）解析几何第一问只要考查二次函数值域，注意对称轴和区间；第二问同 2011 广州二模理科（文科也有）题相似，但难度低了很多。（5）函数与导数主要考查二次函数的分类讨论，入手容易，但想完全不失分还是需要很好的功底。（6）本卷出题较易，拉分点除了以上所提的陷阱以外，要注意解题步骤的严密性、字迹等问题，本次改卷从严的可能性较大。