20202021学年高中数学第一章数列2等差数列第4课时等差数列的综合应用学案(含解析)北师大版必修5.pdf

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1、第 4 课时 等差数列的综合应用 Q情景引入ing jing yin ru 在我国古代，9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与 9 相关的设计例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块石板，共有 9圈请问：(1)第 9 圈共有多少块石板？(2)前 9 圈一共有多少块石板？X新知导学in zhi dao xue 1等差数列前n项和的二次函数形式 等差数列的前n项和Snna1nn12d可以改写成：Snd2n2(a1d2)n.当 d0 时，Sn是关于n的 二次 函数，

2、所以可借助 二次 函数的有关性质来处理等差数列前n项和Sn的有关问题 2等差数列前n项和的最值 在等差数列an中，a10，d0.则Sn存在最 大 值；a10，则Sn存在最 小 值 3等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为 2n，则 S偶S奇 nd ，S奇S偶 anan1.(2)若项数为 2n1，则 S奇S偶 an ，S奇S偶 nn1.4an与Sn的关系 若数列an的前n项和记为Sn，即Sna1a2an，则an S1n1 SnSn1 n2.Y预习自测u xi zi ce 1在等差数列an中，a3a4a5a6a7450，则a2a8(C)A45 B75 C180 D300 解析 由a3a7a4a

3、62a5，得 a3a7a4a6a55a5450，a590.a2a82a5180.2设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于(B)A63 B45 C36 D27 解析 解法一：an是等差数列，S3、S6S3、S9S6为等差数列 2(S6S3)S3(S9S6)，S9S62S63S345.解法二：Sn为等差数列an的前n项和，令bnSnn，则bn成等差数列 由题设b3S333，b6S666，b92b6b39.a7a8a9S9S69b93645.3已知等差数列an中，前 15 项之和为S1590，则a8等于(A)A6 B154 C12 D452 解析 S15a1a2a15

4、15a890，a86.4在等差数列an中，a5a1058，a4a950，则它的前 10 项和为 210 .解析 设等差数列an的公差为d，解法一：a5a102a113d58，a4a92a111d50，a13，d4，S1010310924210.解法二：a5a10(a1a10)4d58，a4a9(a1a10)2d50，a1a1042，S1010a1a102210.5设Sn为等差数列an的前n项和，若a41，S510，当Sn取最大值时，n的值为 4或 5 .解析 设等差数列an的公差为d，由a4a13d1，S55a110d10，得a14，d1，Sn4nnn12n29n2 12n922818，又nN

5、，当n4 或n5 时，Sn最大 H互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi 命题方向 1 已知Sn求an 例题 1 已知数列an的前n项和Sn32n22052n，求数列an的通项公式an.分析 利用an与Sn的关系an S1n1SnSn1n2，求解 解析 当n2 时，anSnSn1 32n22052n32n122052n1 3n104.当n1 时，a1S1322052101 满足上式，an3n104(nN)规律总结 如果已知数列an的前n项和Sn的公式，那么这个数列也随之确定：a1S1，a2S2S1，a3S3S2，其通项公式如下：an S1 n1SnSn1 n2，利用这一公式应

6、当注意：检验n1 时，a1S1是否符合anSnSn1(n2)的形式如果符合，则可将a1S1合并到anSnSn1(n2)中；如果不符合，则必须采用分段函数的形式来表示，不能直接用anSnSn1.跟踪练习 1 Sn是数列an的前n项和，根据条件求an.(1)Sn2n23n2；(2)Sn3n1.解析(1)当n1 时，a1S17，当n2 时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1，又a17 不适合上式，an 7 n14n1 n2.(2)当n1 时，a1S12，当n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1，显然a1适合上式，an23n1(nN)命题方向 2 等差数列前n

7、项和的性质 例题 2 含(2n1)项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(B)A2n1n Bn1n Cn1n Dn12n 分析 要清楚等差数列中奇数项与偶数项也分别构成等差数列，可求和，然后作比，进行解答.由于本题的比值是要对任意的等差数列都成立，因此也可采用取特殊数列进行验证与排除的方法 解析 解法 1：设原数列为a1，a2，a3，a2n1，公差为d，则a1，a3，a5，a2n1和a2，a4，a6，a2n分别也为等差数列，公差都为 2d.故S奇a1a3a5a2n1(n1)a1n1n1122d(n1)(a1nd)S偶a2a4a6a2n na2nn122dn(a1d)n(n1)dn(a1n

8、d)故S奇S偶n1a1ndna1ndn1n.应选 B 解法 2：S奇a1a3a5a2n1 n1a1a2n12，S偶a2a4a6a2nna2a2n2，又a1a2n1a2a2n，S奇S偶n1n.应选 B 方法 3：取满足条件的等差数列：1,2,3，公差d1，且S奇134，S偶2.S奇S偶422111.应选 B 规律总结 关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质(1)若项数为 2n，则 S偶S奇a2a4a2na1a3a2n1(a2a1)(a4a3)(a2na2n1)dddnd.S奇S偶n2a1a2n1n2a2a2n2an2an1anan1中间相邻项之比(2)若项数为 2n1，则由等差数列的性质：a1

9、a2n1a2a2n22an，S偶a2a4a2n2 n12(a2a2n2)n122an(n1)an，S奇a1a3a2n1 n2(a1a2n1)n22annan.S奇S偶nan(n1)anan，这里ana中，S奇S偶nann1annn1奇数项与偶数项的项数之比 熟悉并掌握性质，对我们解题大有裨益 跟踪练习 2(1)在项数为 2n1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所以偶数项的和为 150，则n等于(B)A9 B10 C11 D12(2)设Sn为等差数列的前n项和，若Sm40，S3m345，则S2m 155 .解析(1)由S奇S偶n1a1a2n12na2a2n2 n1n165150.解得：n

10、10.(2)Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，2(S2mSm)SmS3mS2m，2(S2m40)40345S2m.S2m155.命题方向 3 等差数列前n项和的最值问题 例题 3 在等差数列an中，a125，S17S9.试求前n项和Sn的最大值 分析 可先由已知条件求出公差，进而得前n项和公式，从而二次函数求最值的方法求解；也可以先求得通项公式，再利用等差数列的性质求解 解析 解法一：由S17S9，得 2517171712d2599912d，解得d2，所以Sn25nnn12(2)(n13)2169.由二次函数性质，得当n13 时，Sn取得最大值 169.解法二：先求出d2(同解法一)a

11、1250，d2，an252n10an1252n0，得 n1312n1212.即 1212n1312.当n13 时，Sn取得最大值 S131325131312(2)169.解法三：先求出d2(同解法一)由S17S9，得a10a11a170.而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a130，a140，d0时，满足 an0，an10的项数n，使Sn取最大值 当a10 时，满足 an0，an10的项数n，使Sn取最小值 跟踪练习 3 已知等差数列an的前n项和为Sn,7a55a90，且a9a5，则Sn取得最小值时n的值为(B)A5 B6 C7 D8 解析 由 7a

12、55a90，得a1d173.又a9a5，所以d0，a10.因为函数yd2x2(a1d2)x的图像的对称轴为x12a1d12173376，取最接近的整数 6，故Sn取得最小值时n的值为 6.命题方向 4 求数列|an|的前n项和 例题 4 等差数列an中，a160，a1712，求数列|an|的前n项和 分析 由已知条件可求出an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出前n项和 解析 等差数列an的公差为：da17a11711260163，所以ana1(n1)d 603(n1)3n63.又因为an0 时，3n630，n21，所以等差数列an的前 20 项是负数，第 20 项以后的项是非负数 设

13、Sn和Sn分别表示数列an和|an|的前n项和 当 020 时，SnS20(SnS20)Sn2S20 60n3nn122(6020201923)32n21232n1260.所以数列|an|的前n项和为：Sn 32n21232n，n20，且nN32n21232n1260，n20，且nN 规律总结 数列|an|的前n项和仅受an中负数项的影响，因此要首先找出这些负数项而由等差数列的单调性知，它们要么在数列的前半部分，要么在数列的后半部分一般地，先令an0 找到正、负数项的分界处，再由公差确定项的正负数列|an|并不一定是等差数列，求和时需要分类讨论 跟踪练习 4(1)(2019南京高二检测)等差数

14、列an中，a110，d2，则数列|an|的前 3 项的和S3 24 ，前 8 项的和S8 36 .(2)(2019天津高二检测)已知等差数列an中，a1a58，a42.求数列an的通项公式；设Tn|a1|a2|a3|an|，求Tn.解析(1)a110，d2，所以an102(n1)2n12.a60，故S3|10|8|6|24，S8|a1|a2|a3|a6|a7|a8|a1a2a6a7a836.(2)因为在等差数列an中，a1a58，a42，所以 2a14d8，a13d2，解得a18，d2，所以an8(n1)(2)102n.由an102n0，得n5，a50，a625 时，Tn8nnn12(2)2(

15、9552)n29n40.所以Tn 9nn2，n5，n29n40，n5.命题方向 5 等差数列的实际应用 例题 5 从 5 月 1 日开始，有一新款服装投入某商场销售，5 月 1 日该款服装销售出 10 件，第二天销售出 25 件，第三天销售出 40 件，以后，每天售出的件数分别递增15 件，直到 5 月 13 日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减 10 件(1)记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；(2)求五月份的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过 1 300 件时，社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于 100 件时，则流行消失，问：该款服

16、装在社会上流行是否超过 10 天？说明理由 分析 由题意可知：从 5 月 1 日到 5 月 13 日，服装日销售量成递增的等差数列；从 5月 14 日到 5 月 31 日，服装日销售量成递减的等差数列解答本题可先确定an与n的关系，然后用等差数列的前n项和公式解决问题 解析(1)依题意，数列a1，a2，a13是首项为 10，公差为 15 的等差数列 an15n5(1n13)，a14，a15，a16，a31是首项为a14a1310180，公差为10 的等差数列 an180(n14)(10)10n320(14n31)，an 15n51n13，nN10n32014n31，nN.(2)五月份的总销售量

17、为 13101902171801716102 3 000(件)(3)5 月 1 日至 5 月 13 日销售总数为 12a1a132121019021 2001 300.5 月 13 日前还没有流行，由10n32022，第 22 天流行结束，故该服装在社会流行没有超过 10 天 规律总结 数列应用题的解法一般是根据题设条件，建立目标函数关系(即等差数列模型)，然后确定公差、首项、项数是什么，分清an与Sn，然后选用适当的方法求解，最后回归实际 跟踪练习 5 某单位用分期付款的方式为职工购买 40 套住房，共需 1 150 万元，购买当天先付 150 万元，以后每月这一天都交付 50 万元，并加付

18、欠款利息，月利率为 1%，若交付 150 万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10 个月应付多少钱？全部付清后，买这40 套住房实际花了多少钱？解析 因购房时付 150 万元，则欠款 1 000 万元，依题意分 20 次付款，则每次付款的数额顺次构成数列an 则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，an501 00050(n1)1%6012(n1)(1n20，nN)an是以 60 为首项，12为公差的等差数列，a106091255.5，a2060191250.5.

19、S2012(a1a20)20 10(6050.5)1 105.实际共付 1 1051501 255 万元 Y易混易错警示i hun yi cuo jing shi 例题 6 已知数列an的前n项和Sn满足关系式 lg(Sn1)n1(n1,2，)，试求数列an的通项公式 误解 由 lg(Sn1)n1 得Sn10n11.anSnSn1(10n11)(10n1)910n.数列an的通项公式为an910n.辨析 上面解法在运用公式an S1，n1SnSn1，n2时漏掉了n1 时的情况，实际上当n1 时，a1S1102199，不适合通项公式an910n，故应分情况讨论 正解 由 lg(Sn1)n1 得Sn10n11，当n2 时，anSnSn1(10n11)(10n1)910n，当n1 时，a1S11021 99 不满足上式，an 99n1910nn2.B本节思维导图ei jie si wei dao tu 等差数列前n项和 等差数列前n项和与二次函数的关系等差数列的前n项和最值等差数列奇数项和偶数项和的性质an与Sn的关系