2013山东高考数学理科试题及答案1.pdf

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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学 第 I 卷（共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足(3)(2)5zi（i为虚数单位）,则z的共轭复数z为(A）2i （B)2i （C）5i (D）5i 2 已知集合A=0，1，2，则集合B,xy xA yA中元素的个数是（A）1 (B）3 (C)5 （D)9 3已知函数()f x为奇函数,且当0 x 时，21()f xxx,则(1)f (A）2 (B）0 (C)1 （D）2 4已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为9

2、4，底面是边长为3的正三角形。若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(A)512 （B)3 (C)4 (D）6 5将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（A）34 （B)4 （C）0 （D）4 6 在平面直角坐标系 xoy 中，M为不等式组220,210,380,xyxyxy 所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(A）2 (B）1 （C)13 （D）12 7给定两个命题p，q。若p是q的必要而不充分条件，则p是q的（A)充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C)充要条件 (D）既不充分也不必要条件

3、8函数cossinyxxx的图象大致为 9过点(3,1)作圆22(1)1xy的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为（A）230 xy (B）230 xy （C）430 xy （D）430 xy 10用 0，1，,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(A）243 （B）252 (C）261 （D）279 11已知抛物线1C:212yxp(0)p 的焦点与双曲线2C：2213xy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M。若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线,则p （A)316 （B)38 (C)2 33 (D）4 33 12设正实数,x y z满足22340 xxyyz,则

4、当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（A）0 （B）1 (C）94 （D)3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。13执行右图的程序框图,若输入的的值为 0。25,则输出的 n 的值为_。14在区间3,3上随机取一个数x，使得121xx 成立的概率为_.15 已知向量AB与AC的夹角为120，且3AB，2AC,若APABAC，且APBC，则实数的值为_。16定义“正对数：0,01,lnln,1,xxx x现有四个命题:若0,0ab，则ln()lnbaba;若0,0ab，则ln()lnlnabab 若0,0ab,则ln()lnlnaabb 若0,0ab，则ln(

5、)lnlnln2abab 其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分。17（本小题满分 12 分）设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c，且6ac,2b，7cos9B.否 是 开始 输入(0)011,2,1FFn 101FFF 010FFF 1nn 11?F 输出n 结束(）求,a c的值；（)求sin()AB的值。18(本小题满分 12 分)如图所示，在三棱锥PABQ中,PB 平面ABQ,BABPBQ,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点，2AQBD,PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。（)求证：AB G

6、H；（）求二面角DGHE的余弦值。19（本小题满分 12 分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立。（)分别求甲队以 3：0，3：1，3:2 胜利的概率；()若比赛结果为 3：0 或 3:1,则胜利方得 3 分，对方得 0 分;若比赛结果为 3：2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分。求乙队得分X的分布列及数学期望.20（本小题满分 12 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，且424SS，221nnaa。（）求数列 na的通项公式；（）设数列 nb前 n 项和

7、为nT，且 12nnnaT(为常数)。令2nncb*()nN。求数列 nc的前 n 项和nR。21（本小题满分 13 分)设函数2()xxf xce（e=2。71828是自然对数的底数，cR）。(）求()f x的单调区间、最大值；（）讨论关于x的方程ln()xf x根的个数。22（本小题满分 13 分）椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,F F，离心率为32，过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为 1.（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF，设12FPF的角平分线PM交C 的长轴于点(,0)M m，求m的取值范围；（）在

8、（)的条件下，过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线12,PF PF的斜率分别为12,k k，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.参考答案 一、选择题 1D【解析】由（z-3）(2i）=5,得55(2)5(2)3332352(2)(2)5iiziiiii，所以5zi,选 D。2C【解析】因为,x yA,所以2,1,0,1,2xy，即 2,1,0,1,2B ，有 5 个元素，选 C.3A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(1 1)2ff ，选 A.4 B【解析】取正三角形 ABC 的中心，连结OP，则PAO是 PA 与平面 ABC 所成的角.

9、因为底面边长为3,所以33322AD,2231332AOAD。三棱柱的体积为21139(3)224AA,解得13AA,即13OPAA，所 以tan3OPPAOOA，即3PAO，选B。5 B【解 析】将 函 数 y=sin(2x+）的 图 像 沿 x轴 向 左 平 移8 个 单 位，得 到 函 数sin2()sin(2)84yxx，因为此时函数为偶函数,所以,42kkZ，即,4kkZ，所以选B.6C【解析】作出可行域如图 由图象可知当 M 位于点 D 处时，OM 的斜率最小.由210380 xyxy 得31xy，即(3,1)D，此时 OM 的斜率为1133,选 C。7A【解析】因为p 是 q 的

10、必要而不充分条件，所以q 是 p 的必要而不充分条件，即 p 是q 的充分而不必要条件，选 A.8 D【解析】函数 y=xcosx+sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除 B，C。当x时，()0f,排除 A，选 D。9A【解析】由图象可知，(1,1)A是一个切点,所以代入选项知,B D不成立,排除。又AB直线的斜率为负,所以排除 C，选 A 10B【解析】有重复数字的三位数个数为9 10 10900。没有重复数字的三位数有1299648C A，所以有重复数字的三位数的个数为900648=252,选 B。11D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为33yx.抛物线的焦点为(0,)2p

11、F,双曲线的右焦点为2(2,0)F。1 yxp,所以在200(,)2xM xp处的切线斜率为33，即0133xp，所以033xp,即三点(0,)2pF，2(2,0)F,3(,)36pMp共线，所以06220233pppp，即4 33p，选 D。12B 【解析】由22340 xxyyz，得2234zxxyy。所以2214343xyxyxyzxxyyyx11423xyyx，当且仅当4xyyx，即2xy时取等号此时22yz，1)(maxzxy。xyyyzyx2122212)211(2)11(2yyxy 1)221121(42yy，故选 B。133【解析】第一次循环，10123,3 12,2FFn ，

12、此时1110.253F不成立。第二次循环,10235,523,3FFn，此时1110.255F成立，输出3n。1413【解析】设()12f xxx,则3,31()1221,123,23xf xxxxxx 。由21 1x,解得12x,即当13x时，()1f x。由几何概型公式得所求概率为3 1213(3)63.15 712【解 析】向 量AB与AC的 夹 角 为120，且|3,|2,ABAC所 以1cos1203 232AB ACABAC 。由APBC得，0AP BC,即()()0AP BCABACACAB,所以22(1)0ACABAB AC,即493(1)0，解得712.16【解析】当1,0a

13、b时，1ba，ln()lnln,lnlnbbaaba baba，所以ln()lnbaba成 立。当01,0ab时,01ba,此 时ln()0,ln0baba，即ln()lnbaba成 立。综 上ln()lnbaba恒 成 立.当1,ae be时，ln()ln10,lnln1,ln0abaeb,所以ln()lnlnabab不成立.讨论,a b的取值，可知正确。讨论,a b的取值,可知正确。所以正确的命题为。17解:（)由余弦定理2222cosbacacB，得222(1cos)bacacB，又6ac，2b,7cos9B,所以9ac，解得3a,3c。()在ABC中,24 2sin1 cos9BB，由

14、正弦定理得 sin2 2sin3aBAb，因为ac，所以A为锐角，所以21cos1 sin3AA 因此 10 2sin()sincoscossin27ABABAB.18解：（）证明：因为,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点，所以EFAB，DCAB,所以EFDC，又EF 平面PCD,DC 平面PCD，所以EF平面PCD，又EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH,又EFAB，所以ABGH。（)解法一：在ABQ中，2AQBD，ADDQ,所以=90ABQ，即ABBQ，因为PB 平面ABQ，所以ABPB，又BPBQB，所以AB 平面PBQ,由（）知ABGH，所以GH

15、平面PBQ，又FH 平面PBQ，所以GHFH，同理可得GHHC，所以FHC为二面角DGHE的平面角，设2BABQBP,连接PC，在tRFBC中，由勾股定理得,2FC，在tRPBC中，由勾股定理得,5PC,又H为PBQ的重心，所以1533HCPC 同理 53FH,在FHC中，由余弦定理得552499cos5529FHC，即二面角DGHE的余弦值为45。解法二：在ABQ中，2AQBD,ADDQ，所以90ABQ,又PB 平面ABQ，所以,BA BQ BP两两垂直,以B为坐标原点,分别以,BA BQ BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BABQBP，则(1,0,1)E，(

16、0,0,1)F，(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,，所以(1,2,1)EQ ，(0,2,1)FQ，(1,1,2)DP ，(0,1,2)CP，设平面EFQ的一个法向量为111(,)mx y z,由0m EQ，0m FQ,得111112020 xyzyz 取11y，得(0,1,2)m.设平面PDC的一个法向量为222(,)nxy z 由0n DP，0n CP,得222222020 xyzyz 取21z，得(0,2,1)n。所以4cos,5m nm nm n 因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为45。19解:（）记“甲队以 3：0 胜利”为事件1

17、A，“甲队以 3：1 胜利”为事件2A，“甲队以 3：2 胜利”为事件3A，由题意，各局比赛结果相互独立，故3128()()327P A，22232228()()(1)33327P AC，122342214()()(1)33227P AC 所以,甲队以 3：0,3:1,3：2 胜利的概率分别是827，827，427；(）设“乙队以 3:2 胜利为事件4A,由题意,各局比赛结果相互独立,所以 122442214()(1)()(1)33227P AC 由题意，随机变量X的所有可能的取值为 0，1，2，3，,根据事件的互斥性得 1212(0)()()()P XP AAP AP A1627,34(1)

18、()27P XP A，44(2)()27P XP A，(3)P X 1(0)P X(1)P X(2)P X327 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1627 427 427 327 所以16443012327272727EX 79 20解:()设等差数列 na的首项为1a，公差为d，由424SS，221nnaa得 11114684(21)22(1)1adadanand,解得,11a，2d 因此 21nan*()nN（)由题意知：12nnnT 所以2n 时，112122nnnnnnnbTT 故，1221221(1)()24nnnnncbn *()nN 所以01231111110()1()2

19、()3()(1)()44444nnRn ，则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444nnnRnn 两式相减得1231311111()()()()(1)()444444nnnRn 11()144(1)()1414nnn 整理得1131(4)94nnnR 所以数列数列 nc的前 n 项和1131(4)94nnnR 21解：（）2()(12)xfxx e,由()0fx，解得12x，当12x 时，()0fx,()f x单调递减 所以,函数()f x的单调递增区间是1(,)2，单调递减区间是1(,)2，最大值为11()22fce（)令2()ln()lnxxg xxf xxc

20、e (0,)x （1）当(1,)x时,ln0 x,则2()lnxxg xxce,所以，22()(21)xxeg xexx 因为210 x,20 xex 所以()0g x 因此()g x在(1,)上单调递增.(2)当(0,1)x时，当时,ln0 x,则2()lnxxg xxce,所以，22()(21)xxeg xexx 因为22(1,)xee，210 xex，又21 1x 所以2210 xexx 所以()0g x 因此()g x在(0,1)上单调递减。综合（1）(2）可知 当(0,)x时,2()(1)g xgec，当2(1)0gec，即2ce 时，()g x没有零点，故关于x的方程ln()xf

21、x根的个数为 0；当2(1)0gec，即2ce 时，()g x只有一个零点，故关于x的方程ln()xf x根的个数为 1;当2(1)0gec,即2ce 时，当(1,)x时，由（）知 121()lnln()ln12xxg xxcxecxce 要使()0g x，只需使ln10 xc，即1(,)cxe；当(0,1)x时，由()知 121()lnln()ln12xxg xxcxecxce ；要使()0g x,只需使ln10 xc,即1(0,)cxe；所以当2ce 时，()g x有两个零点，故关于x的方程ln()xf x根的个数为 2；综上所述：当2ce 时,关于x的方程ln()xf x根的个数为 0；

22、当2ce 时，关于x的方程ln()xf x根的个数为 1；当2ce 时，关于x的方程ln()xf x根的个数为 2。22解：(）由于222cab，将xc 代入椭圆方程22221xyab得2bya 由题意知221ba，即22ab 又cea32 所以2a，1b 所以椭圆方程为2214xy（）由题意可知：11|PF PMPFPM=22|PFPMPFPM,11|PF PMPF=22|PFPMPF，设00(,)P xy其中204x,将向量坐标代入并化简得：m（23000416)312xxx，因为204x，所以034mx，而0(2,2)x ，所以3 3(,)2 2m （3)由题意可知，l 为椭圆的在 p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：0014x xy y，所以004xky，而0012,33yykkxx，代入1211kkkk中得 00120033114()8xxkkkkxx 为定值。