2020年高考模拟试卷北京市高考数学全真模拟试卷(3月)含解析.pdf

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1、2020 年高考模拟 高考数学全真模拟试卷（3 月份）一、选择题 1已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2若复数 z为纯虚数，则实数 a 的值为（）A1 B0 C D1 3双曲线 4x2y21 的离心率为（）A B C D 4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的是（）Ayx Byx21 Cycosx Dyx 5若 ba1，则下列不等式一定正确的是（）Aab2 Ba+b2 C D 6在的展开式中，x3的系数为（）A5 B5 C10 D10 7紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众多，经典的

2、有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（）A100cm3 B200cm3 C300cm3 D400cm3 8设an为等差数列，p、q、k、l 为正整数，则“p+qk+l”是“ap+aqak+al”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 y

3、轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 当时，直线 ya（x2）与黑色阴影部分有公共点 当 a0，1时，直线 ya（x2）与黑色阴影部分有两个公共点 其中所有正确结论的序号是（）A B C D 10已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准，每少 0.1 秒加 5 分，每多 0.1 秒扣 5分 跳高 以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米加 2 分，每

4、少 0.02 米扣2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分为标准，每多 0.1 米加 5 分，每少 0.1 米扣5 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A甲 B乙 C丙 D丁 二、填空题 11已知向量（1，2），（3，t），且 ，则 t 12已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinAsinC，则 cosA 13抛物线 y22px 上

5、一点 M 到焦点 F（1，0）的距离等于 4，则 p ；点 M 的坐标为 14已知函数 f（x）sinx，g（x）cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线 当 1 时，ABC 面积的最小值为 ；若存在ABC 是等腰直角三角形，则 的最小值为 15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函数图象如图（1）所示 由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象 给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成

6、本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号）四、解答题：共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知四边形 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，BC2AB4，AD3，过 BC的中点 F 作 EFAB，交 AD 于点 E，沿 EF 将四边形 EFCD 折起，连接 AD、AC、BC （1）求证：BE平面 ACD；（2）若平面 CDEF平面 ABFE，求二面角 BACD 的大小 17在a35，a2+a56b2；b22，a3+a43b3；S39，a4+a58b2，这三个

7、条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列an的公差为 d（d1），前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，且 a1b1，dq，（1）求数列an，bn的通项公式（2）记，求数列cn的前 n 项和 Tn 18高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展据统计，在 2018 年这一年内从 A 市到 B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分（满意）12 1 20

8、2 20 1 5 分（一般）2 3 6 2 4 9 0 分（不满意）1 0 6 3 4 4（1）在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次，记其中老年人出行的人次为 X以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从 A 市出发到 B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由 19已知函数，其中 a1（1）当 a0 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间；（3）若对于 xR 恒成立，求 ba 的最大

9、值 20已知点 E 在椭圆上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形（）求椭圆 C 的方程；（）已知圆，设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M、N 两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|PN|的值；若不过定点，请说明理由 21已知集合 MN*，且 M 中的元素个数 n 大于等于 5若集合 M 中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得 a+bc+d，则称集合 M 是“关联的”，并称集合a，b，c，d是集合M 的“关联子集”；若集合 M 不存在“关联子集

10、”，则称集合 M 是“独立的”（）分别判断集合2，4，6，8，10和集合1，2，3，5，8是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（）已知集合a1，a2，a3，a4，a5是“关联的”，且任取集合ai，ajM，总存在 M的关联子集 A，使得ai，ajA若 a1a2a3a4a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（）集合 M 是“独立的”，求证：存在 xM，使得 参考答案 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x1，Bx|3x1，则（）AABx|x0 BABR CABx

11、|x1 DAB【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果 解：集合 Ax|x1，Bx|3x1x|x0，ABx|x0，故 A 正确，D 错误；ABx|x1，故 B 和 C 都错误 故选：A 2若复数 z为纯虚数，则实数 a 的值为（）A1 B0 C D1【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 解：复数 z+i 为纯虚数，0，0，解得 a1 故选：D 3双曲线 4x2y21 的离心率为（）A B C D【分析】由双曲线 4x2y21 能够求出 a 和 c，从而求出它的离心率 解：由题设条件可知：a，c，e 故选：A 4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+

12、）上单调递增的是（）Ayx Byx21 Cycosx Dyx【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及二次函数、一次函数及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项 解：Ayx 在（0，+）上单调递减，该选项错误；Byx21 为偶函数，且 x0 时为增函数数；符合题意；Cycosx 在（0，+）不单调，该选项错误；Dy的图象不关于 y 轴对称，不是偶函数，该选项错误 故选：B 5若 ba1，则下列不等式一定正确的是（）Aab2 Ba+b2 C D【分析】A，B，C 均可取反例排除，对于 D，利用基本不等式说明即可 解：当 b，a时，ab2；故 A 错；此时 a+b

13、2，故 B 错；而，故 C 错；因为：a0，b0，+2，而 ab，所以+2，故 D 对 故选：D 6在的展开式中，x3的系数为（）A5 B5 C10 D10【分析】写出（x）5的展开式的通项公式，令 52r3，即可求得结论 解：（x）5的展开式的通项公式为 Tr+1 令 52r3，则 r1，（x）5的展开式中含 x3项的系数是5 故选：A 7紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的

14、容量约为（）A100cm3 B200cm3 C300cm3 D400cm3【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出 解：设大圆锥的高为 h，所以，解得 h10 故cm3 故选：B 8设an为等差数列，p、q、k、l 为正整数，则“p+qk+l”是“ap+aqak+al”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的通项公式证明已知“p+qk+l”是否推出“ap+aqak+al”，反之，已知“ap+aqak+al”，是否推出“p+qk+l”即可 解：an为等差数列，p、q、k、l 为正整数，设公差为 d；则（ap+aq）（

15、ak+a1）a1+（p1）d+a1+（q1）da1+（k1）d+a1（p+q）（k+1）d；若已知“p+qk+l”，当 d0 时，有 ap+aqak+al；当 d0 时，有 ap+aqak+al；“p+qk+l”推不出“ap+aqak+al”；若已知“ap+aqak+al”，当 d0 时，有“p+qk+l”；当 d0 时，有“p+qk+l”；ap+aqak+al”，推不出“p+qk+l”；“p+qk+l”是“ap+aqak+al”的既不充分也不必要条件；故选：D 9众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，

16、整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在 y 轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 当时，直线 ya（x2）与黑色阴影部分有公共点 当 a0，1时，直线 ya（x2）与黑色阴影部分有两个公共点 其中所有正确结论的序号是（）A B C D【分析】由几何概型概率的求法判断；利用直线与圆的位置关系判断；举例说明错误 解：由对称性可知，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，故正确；当时，直线 ya（x2）化为 y，即 4x+3y80 此时点（0，1）到直线 4x+3y80 的距离 d，直线 ya（x2）与黑色阴影部分有公共点，故正确；当

17、a0 时，直线 ya（x2）为 y0，与黑色阴影部分有无数公共点，故错误 所有正确结论的序号是 故选：D 10已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名具体积分规则如表 1 所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准，每少 0.1 秒加 5 分，每多 0.1 秒扣 5分 跳高 以 1.2 米得 60 分为标准，每多 0.02 米加 2 分，每少 0.02 米扣2 分 掷实心球 以 11.5 米得 60 分为标准，每多 0.1 米加 5 分，每少 0.1 米扣5 分 表 2 某队

18、模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A甲 B乙 C丙 D丁【分析】由题意计算四名运动员的各项得分成绩，求出综合得分最高的，即可得出结论 解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下；姓名 100 米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）合计 甲 45 64 75 184 乙 80 70 55 205 丙 65 66 70 201 丁 55 62 65 182 由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加

19、比赛 故选：B 二、填空题：本题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 11已知向量（1，2），（3，t），且 ，则 t 6 【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可 解：由向量（1，2），（3，x），若 ，可得 x236 故答案为：6 12已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinAsinC，则 cosA 【分析】结合正弦定理与余弦定理即可求解 解：c22ab 且 sinAsinC，由正弦定理可得，2ac，bc2a，则 cosA 故答案为：13抛物线 y22px 上一点 M 到焦点 F（1，0）的距离等于 4，则 p 2；点 M 的坐标为（3，

20、2）【分析】由抛物线 y22px 的焦点坐标为（，0），可得 p 的值；由抛物线的定义，可得 M 的横坐标，代入抛物线方程可得 M 的坐标 解：抛物线 y22px 的焦点坐标为（，0），由题意可得1，即 p2；抛物线 y24x 的准线方程为 x1，设 M（m，n），可得 m+14，即 m3，可得 n212，即 n2，故答案为：2，（3，2）14已知函数 f（x）sinx，g（x）cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，且不共线 当 1 时，ABC 面积的最小值为 2；若存在ABC 是等腰直角三角形，则 的最小值为 【分析】直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步

21、求出三角形的面积 利用等腰直角三角形的性质的应用求出 的最小值 解：函数 f（x）sinx，g（x）cosx，其中 0，A，B，C 是这两个函数图象的交点，当 1 时，f（x），g（x）所以函数的交点间的距离为一个周期 2高为 所以：如图所示：当 1 时，ABC 面积的最小值为 2；若存在ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得 的最小值为 故答案为：2 15某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函数图象如图（1）所示 由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后 y

22、与 x 的函数图象 给出下列四种说法：图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本 其中，正确的说法是 （填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解 解：由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即对；故选：四、解答题：共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知四边形 ABCD 为直角梯

23、形，ADBC，ABBC，BC2AB4，AD3，过 BC的中点 F 作 EFAB，交 AD 于点 E，沿 EF 将四边形 EFCD 折起，连接 AD、AC、BC （1）求证：BE平面 ACD；（2）若平面 CDEF平面 ABFE，求二面角 BACD 的大小 【分析】（1）作图，容易证明四边形 DEOG 为平行四边形，进而得到 BEDG，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面 BAC 及平面 DAC 的法向量，运用向量的夹角公式直接计算即可 解：（1）证明：连接 AF 交 BE 于点 O，设 G 为 AC 的中点，连接 OG，DG，如图所示，由题意知，四边形 ABFE 为平行四边形，则 O

24、为 AF 的中点，故 OGCF，且，由已知得，DECF，且，DEOG 且 DEOG，四边形 DEOG 为平行四边形，OEDG，即 BEDG，DG 在平面 ACD 内，BE 不在平面 ACD 内，BE平面 ACD；（2）由已知可得四边形 ABFE 为边长为 2 的正方形，所以 AEEF，由于平面 CDEF平面 ABFE，且 DEEF，则 DE平面 ABFE，所以 DEAE，故 EA，EF，ED 两两垂直，以 E 为坐标原点，EA，EF，ED 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如右图所示，则 E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（0，2，0），D（0，0，1），

25、C（0，2，2），可得，设平面 BAC 的一个法向量为，则，即，则，设平面 DAC 的一个法向量为，则，即，则，显然，二面角BACD 的平面角为钝角，所以所求二面角 BACD 的大小为 17在a35，a2+a56b2；b22，a3+a43b3；S39，a4+a58b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列an的公差为 d（d1），前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q，且 a1b1，dq，b22，a3+a43b3 （1）求数列an，bn的通项公式（2）记，求数列cn的前 n 项和 Tn【分析】选择b22，a3+a43b3；（1）设 a1b1t，dq1，运用等差数

26、列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求；（2）求得（2n1）（）n1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和 解：选择b22，a3+a43b3；（1）设 a1b1t，dq1，由 b22，a3+a43b3，可得 tq2，2t+5d3tq2，又 dq，解得 dq2，t1，可得 an1+2（n1）2n1；bn2n1；（2）（2n1）（）n1，前 n 项和 Tn1 1+3+5+（2n1）（）n1，Tn1+3+5+（2n1）（）n，两式相减可得Tn1+1+（）n2（2n1）（）n，1+（n1）（）n，化简可得 Tn6（2n+3）（）n1 18高铁和航空

27、的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展据统计，在 2018 年这一年内从 A 市到 B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为 50 万人次为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取 100 人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度 老年人 中年人 青年人 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 乘坐高铁 乘坐飞机 10 分（满意）12 1 20 2 20 1 5 分（一般）2 3 6 2 4 9 0 分（不满意）1 0 6 3 4 4（1）在样本中任取 1 个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 2 人次

28、，记其中老年人出行的人次为 X以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从 A 市出发到 B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知 X 服从二项分布，先计算出随机选取 1 人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出 X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机 解：（1）设事件：“在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人”为 M，由表可得：样本中出行的老年

29、人、中年人、青年人人次分别为 19，39，42，所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人 为老年人概率是，所以，所以随机变量 X 的分布列为：x 0 1 2 P 故；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从 A 市到 B 市 19已知函数，其中 a1（1）当 a0 时，求曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）当 a1 时，求函数 f（x）的

30、单调区间；（3）若对于 xR 恒成立，求 ba 的最大值【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据 f（x）ex1+x 在（，+）上单调递增，且 f（0）0，分别解不等式 f（x）0 以及 f（x）0，即可求出函数 f（x）的单调增区间和减区间；（3）由题意得 ex（a+1）xb0 在 xR 上恒成立，设 g（x）ex（a+1）xb，用导数讨论函数的单调性，求出最小值 g（ln（a+1）0，可得 ba1（a+1）ln（a+1）再设 h（x）1xlnx（x0），求出函数 h（x）的最大值，即为 ba 的最大值 解：（1）由，得 f（x）ex

31、+x，所以 f（0）1，f（0）1 所以曲线 yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 xy+10（2）由，得 f（x）ex1+x 因为 f（0）0，且 f（x）ex1+x 在（，+）上单调递增，所以 由 f（x）ex1+x0 得，x0，所以函数 f（x）在（0，+）上单调递增，由 f（x）ex1+x0 得，x0 所以函数 f（x）在（，0）上单调递减 综上，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+），单调递减区间为（，0）（3）由，得 ex（a+1）xb0 在 xR 上恒成立 设 g（x）ex（a+1）xb，则 g（x）ex（a+1）由 g（x）ex（a+1）0，得 xln（a+1），（a1

32、）随着 x 变化，g（x）与 g（x）的变化情况如下表所示：x（，ln（a+1）ln（a+1）（ln（a+1），+）g（x）0+g（x）极小值 所以 g（x）在（，ln（a+1）上单调递减，在（ln（a+1），+）上单调递增 所以函数 g（x）的最小值为 g（ln（a+1）（a+1）（a+1）ln（a+1）b 由题意，得 g（ln（a+1）0，即 ba1（a+1）ln（a+1）设 h（x）1xlnx（x0），则 h（x）lnx1 因为当时，lnx10；当时，lnx10，所以 h（x）在上单调递增，在上单调递减 所以当时，所以当，ba+1（a+1）ln（a+1），即，时，ba 有最大值为 20已

33、知点 E 在椭圆上，以 E 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆 C的右焦点 F2，与 y 轴相交于 A，B 两点，且ABE 是边长为 2 的正三角形（）求椭圆 C 的方程；（）已知圆，设圆 O 上任意一点 P 处的切线交椭圆 C 于 M、N 两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|PN|的值；若不过定点，请说明理由【分析】（）由题意可得 EF2x 轴，求得 E 的坐标，由等边三角形的定义和性质可得 a，b 的方程，解方程可得椭圆方程；（）讨论当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率不存在，当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率存在，可设切线方程为 yk

34、x+m，结合向量的数量积的性质，垂直的条件：数量积为 0，以及直角三角形的射影定理可得所求定值 解：（）由题意可得 EF2x 轴，可得 E（c，），ABE 是边长为 2 的正三角形，可得 c 2，则2，且 a2b23，解得 a3，b，可得椭圆方程为；（）当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率不存在，可设切线方程为 x，由（）可得 M（，），N（，），0，可得 OMON，此时|PM|PN|OP|2r2；当过点 P 且与圆 O 相切的切线的斜率存在，可设切线方程为 ykx+m，设 M（x1，y1），N（x2，y2），由直线和圆相切可得，即 5m218（1+k2），联立直线方程 ykx+m 和椭圆

35、方程 2x2+3y218，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2180，即有0，x1+x2，x1x2，x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2（1+k2）+km（）+m20，可得 OMON，此时|PM|PN|OP|2r2 综上可得，|PM|PN|为定值 21已知集合 MN*，且 M 中的元素个数 n 大于等于 5若集合 M 中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得 a+bc+d，则称集合 M 是“关联的”，并称集合a，b，c，d是集合M 的“关联子集”；若集合 M 不存在“关联子集”，则称集合 M 是“独立的”（）分别判断集合2，

36、4，6，8，10和集合1，2，3，5，8是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（）已知集合a1，a2，a3，a4，a5是“关联的”，且任取集合ai，ajM，总存在 M的关联子集 A，使得ai，ajA若 a1a2a3a4a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（）集合 M 是“独立的”，求证：存在 xM，使得【分析】（）根据题意即可求解；（）根据题意，A1a2，a3，a4，a5，A2a1，a3，a4，a5，A3a1，a2，a4，a5，A4a1，a2，a3，a5，A5a1，a2，a3，a4，进而利用反证法求解；（）不妨设集合 Ma1，a2，an（n5），ai

37、N*，i1，2，n，且 a1a2an，记 Tt|tai+aj，1tjn，i，jN*，进而利用反证法求解；解：（I）2，4，6，8，10是“关联的”，关联子集有2，4，6，8，4，6，8，10，2，4，8，10，1，2，3，5，8是“独立的”（）记集合 M 的含有四个元素的集合分别为：A1a2，a3，a4，a5，A2a1，a3，a4，a5，A3a1，a2，a4，a5，A4a1，a2，a3，a5，A5a1，a2，a3，a4，所以，M 至多有 5 个“关联子集”，若 A2a1，a3，a4，a5为“关联子集”，则 A1a2，a3，a4，a5，不是“关联子集”，否则 a1a2，同理可得若 A2a1，a3

38、，a4，a5为“关联子集”，则 A3，A4不是“关联子集”，所以集合 M 没有同事含有元素 a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾 所以 A2a1，a3，a4，a5一定不是“关联子集”，同理 A4a1，a2，a3，a5一定不是“关联子集”，所以集合 M 的“关联子集”至多为 A1，A3，A5，若 A1不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素 a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若 A3不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素 a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若 A5不是“关联子集”，则此时集合 M 一定不含有元素 a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以 A1，A3，A

39、5都是“关联子集”，所以有 a2+a5a3+a4，即 a5a4a3a2；a1+a5a2+a4，即 a5a4a2a1；a1+a4a2+a3，即 a4a3a2a1；所以 a5a4a4a3a2a1，所以 a1，a2，a3，a4，a5是等差数列（）不妨设集合 Ma1，a2，an（n5），aiN*，i1，2，n，且 a1a2an，记 Tt|tai+aj，1tjn，i，jN*，因为集合 M 是“独立的”的，所以容易知道 T 中恰好由 C 个元素，假设结论错误，即不存在 xM，使得 x，所以任取 xM，x，因为 xN*，所以 x，所以 ai+aj+11+3，所以任取 tT，t+3，任取 tT，t1+23，所以 T3，4，+3，且 T 中含有 C 个元素，（i）若 3T，则必有 a11，a22 成立，因为 n5，所以一定有 anan1a2a1成立，所以 anan12，所以 an+an1+2+2，所以 Tt|3t+2，tN*，所以 an+，an1+2，因为 4T，所以 a33，所以有 an+a1an1+a3，矛盾；（ii）若 3T，则 T4，5，+3，而 T 中含有 C 个元素，所以 Tt|4t+3，tN*所以 an，an1，因为 4T，所以 a11，a23，因为+2T，所以+2an2+an，所以 an22，所以 an+a1an2+a3，矛盾，所以命题成立