21.2一次函数的图象和性质.pdf

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1、21.2 一次函数的图象和性质 一、内容和内容解析 1内容 一次函数的图象及性质。2内容解析 用描点法画函数图象，通过观察图象研究函数的性质，这是直观地认识函数性质的基本方法。这一基本方法与针对函数解析式的代数及微分分析方法相结合，构成了研究函数的基本方法。增减性是函数的核心性质，函数的其他性质，如最大（小）值、周期性、变化率等，都是基于这一核心性质的拓展。描点法是画陌生函数图象的通法。两点法是画一次函数图象的特殊方法，是在确认一次函数图象为一条直线后，根据两点确定一条直线而得到的简便画图方法。对一次函数的图象与性质的认识，需要经过两次概括。首先对一个具体的一次函数的性质概括，这需要观察当自变

2、量的值增大时，函数值是增大还是减小。自变量增大意味着图象上动点的位置从左向右移动，函数值的增大（或减小）就是动点上升（或下降）。其次是概括一次函数 y=kx+b 的增减性与系数 k 的符号之间的关系，这需要对 k 的不同符号对增减性的影响情况进行归纳。正比例函数是特殊的一次函数，一次函数图象可以看作由正比例函数图象经过平移得到。这样，一次函数的增减性就与相对应的正比例函数相同。一次函数性质的核心是其增减性与系数 k 的符号之间的关系。在一次函数的图象及其性质研究中，蕴含了数形结合的思想、分类讨论的思想和观察、表征、类比、归纳等数学认知活动。练上所述，本节课的教学重点是：用数形结合的思想方法，通

3、过画图观察，概括一次函数的性质（函数的增减性与系数 k 的符号之间的关系）。二、目标和目标解析 1.目标（1）会画一次函致的图象。（2）能从图象角度理解正比例函致与一次函数的关系。（3）能根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k0），理解当 k0 和 k0 和 k0 和 k0 分别画出函数图象并确定函数的增减性。（4）体会数形结合思想，要求学生感受到“以图表示数，以数解释形”，并在这种用图形表示数学对象的过程中发展数学直观；发展数学感知能力，要求学生能通过图象的直观观察发现其特征；发展数学表征能力，要求学生会用图象描述变量之间的对应关系，用变量的变化规律解释图形特征；发展数学概括能力，要求学

4、生能在教师的引导下自己概括出一次函数的性质。三、教学问题诊断分析 学生通过学习函数的概念和表示法，初步体会了函数的研究方法；通过学习正比例函数，获得了对一类具体函数的数形结合的探究经验。一次函数的表达式比正比例函数多了一个常数 b，所以函数图象的位置受到 k、b 两个常数的共同影响，但是函数的增减性仍然只受系数k 的影响。在具体的学习过程中，如果学生没有经历画图、观察、概括的过程，可能只是记住结论；学生在探究性质时，会跟着老师画图、观察、概括，但在理解、记忆和应用性质时，往往又撇开了图象；学生在观察图象时，往往没有把图象特征通过坐标的意义转化为函数性质，只停留在语义记忆层次上。基于以上分析，本

5、节课的难点是：以坐标为中介，把函数图象特征解释成变量的对应关系和变化规律。四、教学支持条件分析 观察从直线 y=kx 到 y=kx+b 的平移变化、y 随 x 的变化、k 的符号变化导致函数增减性的变化时，需要在学生独立画图象、观察图象的基础上，用电脑动画充分展示其运动变化过程，这便于学生理解和记忆。五、教学过程设计 1.回顾旧知，提出问题 问题 1 前面，我们初步学习了一次函数，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？什么叫一次函数？师生活动：学生随便写出两个一次函数解忻式，如y=2x-3，y=-3x+1 等。设计意图：回顾一次函数概念。开放性地先让学生写几个简单的一次函数解析式，既是为了帮助学

6、生回顾一次函敦的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数（最好与教材中的函数不同）。这样可以避免出现学生只看教材依样画葫芦的情况，保证学生用描点法画图象的独立性。问题 2 前面我们还学习了正比例函数，能说说正比例函数 y=kx 的性质吗？是怎样获得这些性质的？师生活动：教师引导学生说出正比例函数的性质及其研究步骤：画图象观察图象解释变量（坐标）意义。设计意图：回顾正比例函数性质及其研究方法，为在研究一次函数图象和性质中进行类比提供参照对象。问题 3 针对函数 y=kx+b，大家想研究什么？应该怎样研究？师生活动：教师引导学生自然合理地提出要研究的问题研究函数的增减性。研究步骤：画图象

7、观察图象解释变量（坐标）意义。设计意图：通过回顾和比较正比例函数的性质及其研究过程，引导学生自然合理地提出一次函数的研究任务、研究方法。2.合作交流，探究性质 问题 4 让我们从具体一次函数y2x3 和 y=2x+3 的性质研究开始，先要画图象，怎样画？师生活动：在学生说出画图象的步骤（列表、描点、连线）后，学生独立画图（图 1）。设计意图：根据研究步骤，引导学生先用描点法画一次函数图象。追问 1：看一看，画出的图象是什么？追问 2：为什么说画出的图象是直线？能说明理由吗？比一比：正比例函数 y=2x 与一次函数 y=2x+3、y=2x3 图象有什么异同点。师生活动：类比正比例函数 y2x 的

8、图象，直观发现函数 y2x3 的图象是平行于直线xy2的一条直线，再比较一次函数 y2x3 与 y2x 的解析式，发现当 x 分别取2，1，0，1，2，时，一次函数 y2x3 的函数值都比正比例函数的函数值对应地小 3，这个规律对自变量的任何取值都成立这反映在图象上是 y2x 向下平移 3 个单位就得到函数 y2x3 的图象，因此，函数 y2x3 的图象确实是一条直线。设计意图：让学生先按照正比例函数研究的方法用描点法画 y2x-3 图象，直观观察发现可能是直线后，通过回顾正比例函数图象也是直线，让学生自然合理地想到需要与正比例函数 y2x 图象进行比较，从表达式和图象两方面分析两个图象之间的

9、关系(结合图形平移相关知识)，再通过动画展示验证，从而确认函数y2x-3 的确是一条直线。问题 5 对于一般的一次函数 ykxb，它的图象形状是什么？师生活动：教师引导学生比较解析式 ykxb 和 ykx，把解析式中函数值之间的关系通过坐标转化为图象的平移关系，从而由函数 ykx 的图象是直线得到函数 ykxb 的图象也是直线。设计意图：把研究一次函数 y2x-3 图象形状得到的结论推广到一般的一次函数。问题 6 既然一次函数的图象是一条直线，在几何中，直线是怎样确定的？由此，能得到画一次函数图象的简便方法吗？图 1 师生活动：得到画一次函数图象的简便方法两点法。设计意图：结合“两点确定一条直

10、线”，引导学生自然、合理地发现可用“两点法”简便地画一次函数图象。问题 7 在正比例函数学习中，我们通过画 k 的符号不同的若干具体函数图象，观察发现了函数增减性与系数 k 的符号的关系，在一次函数中我们能否也这么办？试一试！师生活动：教师引导学生类比正比例函数图象性质的研究，提出一次函数性质的研究目标（增减性与 k 的符号的关系）和研究方法，然后教师布置任务：用简便方法在同一坐标系中画出下列一次函数的图象：（1）yx1，y3x1；（2）yx1，y3x1 设计意图：通过类比正比例函数的图象性质的研究方法，引导学生先画出若干个一次函数的图象，同时巩固两点法画一次函数图象。追问 1：结合上面函数图

11、象的观察，能用自己的语言说出一次函数 ykxb 图象特征吗？追问 2：能进一步说出函数值怎样随着自变量 x 的变化而变化吗？师生活动：在学生得到结论后，教师展示这种变化规律（当 k0 且固定时，让 x 变化，看 y 怎样变化；当 k0 且固定时，让 x 变化，看 y 怎样变化）。在此基础上，通过让 k 的值从正变到负，引导学生观察发现，当k 的正负号不变时，函数的增减性是一致的；当k 的正负号变化时，函数的增减性也随之变化。固定k 的值，让 b 的值变化，发现函数的增减性不变，从而在直观上验证了一次函数的增减性只与 k 的正负有关。3.初步应用，巩固知识 练习 1 直线 y2x3 与 x 轴交

12、点的坐标为_；与 y 轴交点坐标为_；图象经过_象限，y 随 x 的增大而_。练习2 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，每小题中三个函数图象有什么关系？（1）yx1，yx，yx1；（2）y2x1，y2x，y2x1 练习 3 在同一坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的共同之处：y12x1，yx1，y2x1，yx1。师生活动：学生独立完成练习并进行相互交流评价。设计意图：及时巩固函数图象和性质。4.综合应用，深化理解 练习 4 一次函数 ykxb，y 随 x 的增大而减小。b0，则它的图象经过第_象限。练习 5 如图 2 是函数 的图象，请说说这个函数的最小值是多少，并说明理由。图 2 设

13、计意图：综合考查一次函数的增减性和图象特征之间的关系。5.小结 参照下面问题，教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：（1）一次函数 ykxb 的图象是什么？怎样用简便方法画一次函数的图象？（2）一次函数有哪些性质？一次函数与正比例函数有什么关系？（3）我们是怎样对一次函数的性质进行研究的？师生活动：教师在学生交流的基础上概括：与正比例函数一样，我们通过“画图象观察图象解释变量（坐标）意义”的步骤成功地发现了一次函数的性质，在性质探究过程中，“以图表示数，以数解释形”的思想得到成功运用。这种函数性质的探究步骤和数形结合的思想在今后其它函数的学习中仍然很有用。设计意图：让学生

14、在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、互相启发。教师通过概括性引导提升学生对一次函数性质的认识。6.布置作业：教科书习题 19.2 第 4、5、9、12、14 题。六、目标检测 1一次函数 y142x的图象是由正比例函数_的图象向_平移_个单位得到的一条直线。设计意图：考查一次函数与正比例函数图象的关系。2画出函数 y2x3 的图象，并填空：直线 y2x3 与 x 轴的交点坐标为_，与 y 轴的交点坐标为_。设计意图：考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标。3在函数 ykx2 中，y 随着自变量 x 的增大而增大，那么该函数的图象一定不经过第_象限。设计意图

15、：考查一次函数图象位置与解析式中 k、b 符号之间的关系。4画出下列函数图象，说出这些图象之间的关系，分别指出当 x 的值增大时，y 怎样变化。（1）y3x1；（2）y3x1；（1）y3x4。设计意图：考查两点法画一次函数图象及函数增减性。5一次函数 ykxb 与 x 轴交点的横坐标为(2，0)，若 b0，问：当 x 的值增大时，y 怎样变化？设计意图：考查一次函数的图象与增减性，数形结合思想。6.已知一次函数 y=(6+3m)x+n-4（1）当 m、n 为何值时，y 随 x 的增大而减小？（2）当 m、n 为何值时，图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？（3）当 m、n 为何值时，函数图象经过原点？