2022届北京师范大学附属实验中学高三零模数学试卷.pdf

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1、 1 北师大实验中学 20212022 学年第二学期摸底试卷 高三数学 2022.2 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1、已知集合|12,Mx xxR，1,0,1,2,3N ，则().MN A.0,1,2 B.1,0,1,2 C.1,0,2,3 D.0,1,2,3 2、下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是()A.lnyx B.|1yx C.21yx D.|3xy 3、设 p：3x，q：1)(3)0 xx（，则 p 是 q 成立的()A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必

2、要条件 4、252()xx的展开式中4x的系数为()A.10 B.20 C.40 D.80 5、记nS为等差数列na的前n项和 若4524aa，648S，则na的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8 6、下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A5，5 B3，5 C3，7 D5，7 2 7、已知抛物线 C：28yx的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4FPFQ，则|()QF A.72 B.3 C.52 D.2 8、已知 A，B 为双曲线E的左，右

3、顶点，点 M 在E上，ABM为等腰三角形，顶角为120，则E的离心率为()A.5 B.2 C.3 D.2 9、已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是()A.2 B.32 C.43 D.1 10、设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为 312211112kkkPQQ PQPQQPQQQ其中1,2,3,(3)iQ ikk 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面131122,kkkQPPQ Q PQQQ Q PQ遍历多面体M的所有以P为公共点的面，如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是

4、正多面体)，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a b c d,，则a b c d,的大小关系是()3 Aabdc Babcd Cbadc Dcdba 二、填空题（共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案写在答题纸的相应位置）11、设复数 z 满足(1)2i zi（其中i是虚数单位），则|z _.12、在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c _；sin A_.13、在报名的 3 名男学生和 6 名女学生中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女学生都有，则不同的选取方式的种数为_(结果用数值表示).14、直线20 xy分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆22(2)

5、2xy上，则ABP面积的取值范围是_.15、定义 p n为正整数n的各位数字中不同数字的个数，例如 5551,932,17143ppp.在等差数列na中210,9,25,aa则na _；数列 np a的前 100项和为_.三、解答题（共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16、（本小题 13 分）已知函数22()(sincos)2cos.f xxxx()求()f x的最小正周期和单调递增区间；()求()f x在区间0,2上的最大值和最小值 4 17、（本小题 15 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，侧棱1AA 底面 ABCD，ABAC，1AB，12A

6、CAA，5ADCD，且点 M 和N 分别为1BC和1D D的中点()求证：/MN平面ABCD；()求11ACDACB平面夹角与平面的余弦值；()设 E 为棱11AB上的点，若直线 NE 和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1A E的长 5 18、（本小题 14 分）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取 100 件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为 1200 元，每件一级品可卖 1700元，每件二级品可卖 1000 元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的 100 件产品的柱状图如图所示.(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有

7、产品中随机取出 2 件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取 10 件产品，再从这10 件中任意抽取 3 件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；(3)已知该生产线原先的年产量为 80 万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入 2000 万元，升级后该生产线年产量降为 70 万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到 8：2，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.6 OyxF2F1BA 19、（本小题 14 分）如图，椭圆 E：x2a2y2b2

8、1(ab0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e12，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线x4 相交于点 Q，试探究：在 x 轴上是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 20、（本小题 15 分）设函数()2.xf xeax(1)若曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线斜率为 1，求实数a的值；(2)求()f x的单调区间；(3)若1a，k 为整数，且当0 x 时，()()10 xkfxx 恒成立

9、，求 k 的最大值 7 21、（本小题 14 分）将所有平面向量组成的集合记作2R，f是从2R到2R的映射，记作)(xfy 或),(),(2121xxfyy，其中1212(,),(,)xx xyy y，2121,yyxx都是实数.定义映射f的模为：在22121xxx的条件下y的最大值，记做f.若存在非零向量2Rx，及实数使得xxf)(，则称为f的一个特征值.(1)若12121(,)(,)3f x xx x，求f；(2)如果121212(,)(2,)f x xxxxx，计算f的特征值，并求相应的x；(3)若),(),(2211221121xbxbxaxaxxf，要使f有唯一的特征值，实数2121

10、,bbaa应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：有唯一的特征值；f,并验证f满足这两个条件.8 北师大实验中学 20212022 学年第二学期高三年级摸底考试卷 数学（答案）一、选择题 110：ABCCC BBDBA 二、填空题 11.2 12.2；158 13.120 14.2,6 15.25n；227 15.三、解答题（共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题 13 分）解：22()()(sincos)2cosf xxxx222sin2sincoscos2cosxxxxx 1 sin21 cos2xx 2sin(2)24x，(4分)所

11、以()f x的最小正周期为T；(5分)由222242kxk得，388kxk，9 P 3,88kkkZ增区间为(7分)()由02x得，0 2x，所以52444x；(9分)根据正弦函数sinyx的图象可知 当8x时，()f x有最大值为22，(11分)当2x时，()f x有最小值为1.(13分)17.（本小题 15 分）【答案】()法一：取BC中点P，连结MP，DP，M是1B C中点，1/MPBB，112MPBB，又N是1DD中点，112DNDD，在四棱柱1111ABCDABC D中，11/BBDD，11BBDD，/NMPD，且MPDN 四边形NDPM是平行四边形，/PMND，又MN 平面ABCD

12、，DP 平面ABCD，/MN平面ABCD(5分)法二：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、1AA所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0,0)A，(0,1,0)B，(2,0,0)C，(1,2,0)D，1(0,0,2)A，1(0,1,2)B，1(2,0,2)C，1(1,2,2)D，又M、N 分别为1BC、1D D的中点，1(1,1)2M，1 0 (1,2,1).N 由题可知：0(0,0,1)n 是平面 ABCD 的一个法向量，5(0,0)2MN，00nMN，0nMN，又MN 平面 ABCD，/MN平面 ABCD；(5分)()解：由()可知：1(1,2,2)AD，

13、(2,0,0)AC，1(0,1,2)AB，设111(,)mx y z是平面1ACD的法向量，由100m ADm AC，得111122020 xyzx，令11z，得(0,1,1)m，设222(,)nxyz是平面1ACB的法向量，由100n ABn AC，得2222020yzx，令21z，得(0,2,1)n，cosm，10|10m nnm n，11ACDACB平面夹角与平面的余弦值为1010；(11分)()解：由题意可设111AEAB，其中0,1，E坐标为(0,2)，(1,2,1)NE，又0(0,0,1)n 是平面 ABCD 的一个法向量，cosNE，0|NE nnNEn 222113(1)(2)

14、1，整理，得2430，解得72或27(舍)，1 1 线段1AE的长为72.(15分)18（本小题 14 分）解：(1)抽取的 100 件产品是一级品的频率是70710010，故从生产的所有产品中任取 1 件，是一级品的概率是710，设从生产的所有产品中随机选 2 件，至少有一件是一级品的事件为.A 则2791()1(1).10100P A (3分)(2)由题意可知 10 件产品中一级品 7 件，二级品 2 件，三级品 1 件，故的取值范围是0,1,2，383107(0)15CPC，12283107(1)15C CPC，21283101(2)15C CPC，的分布列为：0 1 2 P 715 7

15、15 115 7713()012.1515155E(9分)(3)今年利润为：70201080(5002001200)15200(100100100万元)，明年预计利润为：8270(500200)200023200(1010万元)因为2320015200，所以该升级方案合理(14分)19.（本小题 14 分）解：(1)由题意48a，2a，因为12ca，所以1c，而222abc，所以3b，1 2 故椭圆 C 的方程为：22143xy，(2)由22143ykxmxy，消元可得222(43)84120kxkmxm，动直线 l：ykxm 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，222(8)4(43)(412

16、)0kmkm，22430km，此时24443Pkmkxkm ，22443()Pkkmykmmmm，43(,)kPm m 由4ykxmx得(4,4)Qkm，假设在 x 轴上存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M，设0(,0)M x，则0MP MQ，043(,)kMPxmm，0(4,4)MQxkm，0043()(4)(4)0kMP MQxxkmmm 整理得2000(44)430kxxxm，对任意实数 m,k 恒成立，所以01x，故在 x 轴上存在定点(1,0)M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M 法二：先猜后证 取特殊位置的切线3y，此 时(0,3)P，(4,3)Q，以PQ为 直 径

17、的 圆 的 方 程 为22(2)(3)4xy，令0y，得13x 或，M可能为(1,0)或(3,0)法三：利用椭圆的切线方程 1 3 设切点00(,)P xy，则过P的切线方程为00143x xy y 20（本小题 15 分）解：(1)()xfxea，斜率(0)11kfa，所以0a(3分)(2)()f x的定义域为(,)，().xfxea 若0a，则()0fx，所以()f x在(,)上单调递增 若0a，则当(,ln)xa 时，()0fx；当(ln,)xa时，()0fx，所以，()f x在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a 上单调递增(8分)(3)由于1a，所以()()1()(1)1.xxkf

18、xxxk ex 故当0 x 时，()()10 xkfxx 等价于k(0).x x 令()g x x，则.由(1)知，函数()2xh xex在(0,)上单调递增 而(1)0h，(2)0h，所以()h x在(0,)上存在唯一的零点 故()g x在(0,)上存在唯一的零点 设此零点为，则(1,2).当(0,)x时，()0g x；当(,)x时，()0.g x 所以()g x在(0,)上的最小值为1().1ge 又由()0g，可得2e，所以()1(2,3).g 由于式等价于()kg，故整数 k 的最大值为2.(15分)法二：当0 x 时，()1)10 xxkex（，即()10 xxk ek 令()()1

19、,0 xg xxk ekx，()(1)xg xxk e 当10k，即1k 时，()0g x，()g x在(0,)上 单 调 递 增，()(0)10g xg，1 4 当10k，即1k 时，令()0g x，得1xk，x(0,1)k 1k (1,)k ()g x 0 ()g x 极小值 所以()g x在(0,)上的最小值为1(1)1.kg kek 令1()1,1xh xexx，1()10 xh xe ，所以()h x在上(1,)上单调递减，因为k为整数，(2)30he ，2(3)40he 所以2k 时，()0g x 恒成立，所以k的最大值为 2 21.（本小题 14 分）解：（1）由于此时22221

20、21219yyxx，又因为是在12221 xx的条件下，有 2222212121181199yyxxx （10 x 时取最大值），所以此时有1f。4 分（2）由12121212(,)(2,)(,)f x xxxxxx x，可得：1211222xxxxxx，解此方程组可得：(1)(1)2，从而3。当3时，解方程121122233xxxxxx 此时这两个方程是同一个方程，所以此时方程有无穷多个解，为(31,1)xm（写出一个即可），其中Rm且m0。当3 时，同理可得，相应的(13,1)xm（写出一个即可），其中Rm且m0 9 分 （3）解方程组1 12211112221 1222(,)(,)0a xa xxx abx a bb xb xx 1 5 从而向量 11,ba与22(,)a b平行，从而有2121,bbaa应满足：04)(12221baba。当xxf)(时，f有唯一的特征值，且f。具体证明为：由f的定义可知：对任意的12(,)xx x有：),(),(),(212121xxxxxxf，所 以为 特 征 值。此 时2121,0,0,bbaa。满足：04)(12221baba，所以有唯一的特征值。在12221 xx的条件下22221)()(xx，从而有f。14 分