2022复习立体几何空间几何体及其表面积与体积.pdf

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1、空间几何体的表面积和体积 考纲要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识梳理 1.多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图 侧面 积公 式 S圆柱侧2rl S圆锥侧rl S圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱 体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底 VS底h 锥 体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底 V13S底h 台 体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下 V13(S上S下S上S下)h

2、球 S4R2 V43R3 1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R(1)若球为正方体的外接球，则 2R 3a；(2)若球为正方体的内切球，则 2Ra；(3)若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2Ra2b2c2.3.正四面体的外接球的半径 R64a，内切球的半径 r612a，其半径 Rr31(a 为该正四面体的棱长).诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体

3、积之差.()(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R32a.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.2.已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm 答案 B 解析 设圆锥的底面圆的半径为 r，母线长为 l，因为侧面展开图是一个半圆，所以l2r，即 l2r，所以 r2rlr2r2r3r212，解得 r2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与

4、剩下的几何体体积的比为_.答案 147 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为 V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积 V2abc148abc4748 abc.所以 V1V2147.4.(2020天津卷)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12 B.24 C.36 D.144 答案 C 解析 设球的半径为 R，由题意知球的直径 2R（2 3）2（2 3）2（2 3）2，得 R3，该球的表面积 S4R236.故选 C.5.(2020全国卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.64 2 B.44

5、2 C.62 3 D.42 3 答案 C 解析 由三视图知，该几何体为从同一点出发的三条棱两两垂直的三棱锥 PABC，其中 PA平面ABC，ABAC，ABACAP2，所以 PBPCBC2 2，故其表面积 SSPABSPACSABCSPBC3SPABSPBC 31222 122 22 23262 3.故选 C.6.(2020浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_.答案 1 解析 如图，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积 S侧rl2，即 rl2.由于侧面展开图为半圆，可知12l22，可得 l2，因此 r1

6、.考点一 空间几何体的表面积与侧面积 1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12 2 B.12 C.8 2 D.10 答案 B 解析 由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为 8 的正方形，则圆柱的高与底面直径均为 2 2.设圆柱的底面半径为 r，则 2r2 2，得 r 2.所以圆柱的表面积 S圆柱2r22rh2(2)22 22 24812.2.(2020北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6 3 B.62 3 C.12 3 D.122 3 答案 D 解析

7、由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为 2 的正三角形，高为 2，则表面积为 S2S底S侧234223222 312.故选 D.3.(2021成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23 B.3 24 C.2 23 D.22 答案 C 解析 如图所示，过点 P 作 PE平面 ABC，E 为垂足，点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC 于点 D.AE23AD，AD32，AE233233，PE PA2AE263.设圆柱底面半径为 r，则 rAE33，圆柱的侧面积 S2r

8、PE233632 23.感悟升华 空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.考点二 空间几何体的体积 角度 1 简单几何体的体积 【例 1】(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：

9、cm3)是()A.158 B.162 C.182 D.324(2)(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.答案(1)B(2)4 解析(1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为 6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3.则底面面积 S2623462327.因此，该柱体的体积 V276162.(2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正

10、方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为（5）2122，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体积 V12214.感悟升华 1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算.第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半.2.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.【训练 1】(1)(2019江苏卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1

11、的体积是 120，E 为 CC1的中点，则三棱锥 EBCD 的体积是_.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.答案(1)10(2)163 解析(1)设长方体中 BCa，CDb，CC1c，则 abc120，VEBCD1312ab12c112abc10.(2)由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为 22213222163.角度 2 不规则几何体的体积 【例 2】如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_.答案 23 解析 如图，分别过点 A，B

12、作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥 EADG 的高 EG12，直三棱柱 AGDBHC 的高 AB1.则 AG AE2EG21212232.取 AD 的中点 M，则 MG22，所以 SAGD1212224，V多面体VEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC 132412224123.感悟升华 1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.2.本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割

13、成四棱锥).另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等.【训练 2】(2020浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73 B.143 C.3 D.6 答案 A 解析 由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示.由三视图知，三棱柱 ABCABC的高为 2，三棱锥 PABC的高为 1，又 SABC12211，所以该几何体体积 VV三棱锥PABCV棱柱ABCABC 13111273(cm3).考点三

14、 多面体与球的切、接问题【例 3】(经典母题)(2021长沙检测)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是_.答案 92 解析 由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10.要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC 的内切圆的半径为 r.则126812(6810)r，所以 r2.2r43，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大.由 2R3，即 R32.故球的最大体积 V43R392.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为 4 的正方体”，则此正方体外接

15、球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为 R，内切球的半径为 r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4 3，从而 V外接球43R343(2 3)332 3，V内切球43r34323323.感悟升华 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方

16、体或正方体确定直径解决外接问题.【训练 3】(1)(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_.(2)(2021济南质检)已知球 O 是三棱锥 PABC 的外接球，PAABPBAC2，CP2 2，点 D 是PB 的中点，且 CD 7，则球 O 的表面积为()A.283 B.143 C.28 2127 D.163 答案(1)23(2)A 解析(1)当球为圆锥的内切球时，球的半径最大.如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图.其中球心为 O，设其半径为 r，AC3，O1C1，AO1AC2O1C22 2.OO1OMr，AOAO1OO12 2r，又AMOAO1C

17、，OMO1CAOAC，即r12 2r3，解得 r22.该圆锥内半径最大的球的体积 V4322323.(2)依题意，由 PAAC2，CP2 2，得 APAC.连接 AD，由点 D 是 PB 的中点且 PAABPB2，得 AD 3，又 CD 7，AC2，可知 ADAC，又 APADA，AP平面 PAB，AD平面 PAB，所以 AC平面 PAB.以PAB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球 O 是该三棱柱的外接球，球心 O 到底面PAB的距离 d12AC1.由正弦定理得PAB 的外接圆半径 rPA2sin 6023，所以球 O 的半径 Rd2r273.故球 O 的表面积 S4R2283.空间

18、几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国卷第 16 题是以学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.【典例】(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体.其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，AB

19、BC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.答案 118.8 解析 由题意得，四棱锥 OEFGH 的底面积为 464122312(cm2)，其高为点 O 到底面 EFGH的距离，为 3 cm，则此四棱锥的体积为 V11312312(cm3).又长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 V2466144(cm3)，所以该模型的体积 VV2V114412132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为 0.9132118.8(g).素养升华 1.题目以“3D 打印”技术制作模型为背景考查数学应用，有利于培养学生的创新意识.

20、2.掌握长方体、四棱锥的结构与体积公式是解题的基础，题目突出数学建模，直观想象与数学运算等核心素养.【训练】(2021潍坊联考)如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1是一块石材，测量得ABC90，AB6，BC8，AA113.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.323，4 B.92，3 C.6，4 D.323，3 答案 D 解析 依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大.易知 AC AB2BC210.设健身手球的最大半径为 R，则12(6810)R1268，解得 R2，则健身手

21、球的最大直径为 4.因为 AA113，所以最多可加工 3 个健身手球.于是一个健身手球的最大体积 V43R34323323.A 级 基础巩固 一、选择题 1.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12 B.323 C.8 D.4 答案 A 解析 设正方体的棱长为 a，则 a38，解得 a2.设球的半径为 R，则 2R 3a，即 R 3.所以球的表面积 S4R212.2.(2021郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面积为()A.3 B.32 C.52 D.5 答案 D 解析 设底面圆的半径为 R，圆柱的高为 h，依题

22、意 2Rh2，R1.圆锥的母线 l h2R2221 5，因此 S圆锥侧Rl1 5 5.3.如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1的体积为()A.3 B.32 C.1 D.32 答案 C 解析 由题意可知，AD平面 B1DC1，即 AD 为三棱锥 AB1DC1的高，且 AD322 3，易求得 SB1DC1122 3 3，所以 VAB1DC113 3 31.4.已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172 B.2 10 C.

23、132 D.3 10 答案 C 解析 将直三棱柱补形为长方体 ABECA1B1E1C1，则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线 BC1的长为球 O 的直径.因此 2R 324212213，则 R132.5.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.34 C.2 D.4 答案 B 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面圆的距离为 OM12.底面圆半径 r OA2OM232，故圆柱体积 Vr2h322134.6.(2020全国卷)已知ABC 是面积为9 34的等边三角形，且其顶

24、点都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为()A.3 B.32 C.1 D.32 答案 C 解析 如图所示，过球心 O 作 OO1平面 ABC，则 O1为等边ABC 的中心.设ABC 的边长为 a，则34a29 34，解得 a3(负值舍去)，O1A23323 3.设球 O 的半径为 r，则由 4r216，得 r2，即 OA2.在 RtOO1A 中，OO1OA2O1A21，即 O 到平面 ABC 的距离为 1.7.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 r 的圆，若该几何体的体积为98，则它的表面积是()A.92 B.9 C.454 D.544

25、答案 C 解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中圆柱的高等于半球的半径 r，所以该几何体的体积 Vr2r1243r313r398，r3278，又知 r0，r32，该几何体的表面积 Sr22rr124r25r2594454.8.(2021安庆调研)已知在四面体 PABC 中，PA4，BC2 6，PBPC2 3，PA平面 PBC，则四面体 PABC 的外接球的表面积是()A.160 B.128 C.40 D.32 答案 C 解析 PB2PC2121224BC2，PBPC，又 PA平面 PBC，PAPB，PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，以 PA，P

26、B，PC 为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为 PA2PB2PC21212162 10，故该四面体的外接球半径为 10.于是四面体 PABC 的外接球的表面积是 4(10)240.二、填空题 9.如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则V1V2的值是_.答案 32 解析 设圆柱内切球的半径为 R，则由题设可得圆柱 O1O2的底面圆的半径为 R，高为 2R，故V1V2R22R43R332.10.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的

27、中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_.答案 112 解析 连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD1的中点，所以 EHAC，EH12AC.因为 F，G 分别为 B1A，B1C 的中点，所以 FGAC，FG12AC.所以 EHFG，EHFG，所以四边形EHGF 为平行四边形，又 EGHF，EHHG，所以四边形 EHGF 为正方形.又点 M 到平面 EHGF 的距离为12，所以四棱锥 MEFGH 的体积为1322212112.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为_.答案 6 解析

28、 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V12(12)226.12.(2021太原质检)已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足SAB 为等边三角形，且面积为4 3，又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的侧面积为_.答案 8 2 解析 设圆锥的母线长为 l，由SAB 为等边三角形，且面积为 4 3，所以12l2sin 34 3，解得 l4；又设圆锥底面半径为 r，高为 h，则由轴截面的面积为 8，得 rh8；又 r2h216，解得 rh2 2，所以圆锥的侧面积 Srl2 248 2.B 级 能力提升 13.(2020全国卷)已知 A，B，C 为球

29、O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接圆.若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为()A.64 B.48 C.36 D.32 答案 A 解析 如图所示，设球 O 的半径为 R，O1的半径为 r，因为O1的面积为 4，所以 4r2，解得 r2，又 ABBCACOO1，所以ABsin 602r，解得 AB2 3，故 OO12 3，所以 R2OO21r2(2 3)22216，所以球 O 的表面积 S4R264.故选 A.14.已知四面体 ABCD 中，ABADBCDCBD5，AC8，则四面体 ABCD 的体积为_.答案 10 113 解析 取 BD 中点 O，AC 中点 E，连

30、接 AO，CO，OE，四面体 ABCD 中，ABADBCDCBD5，AC8，AOBD，COBD，AOCO252545 32，AOCOO，BD平面 AOC，又 OEAC，SAOC128754162 11，VABCD2VBAOC213522 1110 113.15.(2021贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC 中，AB 3，ACB60，BCD90，ABCD，CD2 2，则该球的体积为_.答案 4 3 解析 以ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为123sin 601.依题意得 CD平面 ABC，故球心到截面的距离为12CD 2，则球的半径为12（2）2 3，所以球的体积为43(3)34 3.16.(2019北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_.答案 40 解析 如图所示棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1，去掉四棱柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 4312(24)2440.