七桥问题SevenBridgesProblem.pdf

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1、个人收集整理-ZQ 1/3 著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判

2、断连通网络能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.资料个人收集整理，勿做商业用途 当在年访问,()时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.资料个人收集整理，勿做商业用途 把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此

3、点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.资料个人收集整理，勿做商业用途 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键.资料个人收集整理，勿做商业用途 接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费

4、脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！资料个人收集整理，勿做商业用途 年，欧拉在交给彼得堡科学院地哥尼斯堡座桥地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支拓扑学地建立奠定了基础.资料个人收集整理，勿做商业用途 七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图.资料个

5、人收集整理，勿做商业用途 此题被人教版小学数学第十二册书收录.在页.著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡地一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图地“一笔画”问题，证明上述走法是不可能地.有关图论研究地热点问题.世纪初普鲁士地柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间地连线表示连接它们地桥，将河流、

6、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络个人收集整理-ZQ 2/3 能否一笔画地问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画地充要条件是它们是连通地，且奇顶点(通过此点弧地条数是奇数)地个数为或.当在年访问,()时，他发现当地地市民正从事一项非常有趣地消遣活动.城中有一条名叫地河流横经其中，这项有趣地消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥地散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地地桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能地.他地论点是这样地，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离

7、开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开地线与最后回到始点地线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接地桥数必为偶数.七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述地任务无法完成.欧拉地这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题地独特之处把一个实际问题抽象成合适地“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥地理论，但想到这一点，却是解决难题地关键.接下来，欧拉运用网络中地一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡地座桥是不可能地.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找地那种不重复地路线，根本就不存在.一个曾难住了那么

8、多人地问题，竟是这么一个出人意料地答案！年，欧拉在交给彼得堡科学院地哥尼斯堡座桥地论文报告中，阐述了他地解题方法.他地巧解，为后来地数学新分支拓扑学地建立奠定了基础.七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题地研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出地问题，而且得到并证明了更为广泛地有关一笔画地三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过地路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点地欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路地图叫做欧拉图.资料个人收集整理，勿做商业用途 七桥问题 沿着俄国和波兰地边界,有一条长长地布格河.这条河流经俄国地古城康尼斯堡它就是今天俄罗斯西

9、北边界城市加里宁格勒.布格河横贯康尼斯堡城区,它有两条支流,一条称新河,另一条叫旧河,两河在城中心会合后,成为一条主流,叫做大河.在新旧两河与大河之间,夹着一块岛形地带,这里是城市地繁华地区.全城分为北,东,南,岛四个区,各区之间共有七座桥梁联系着.人们长期生活在河畔,岛上,来往于七桥之间.有人提出这样一个问题:能不能一次走遍所有地七座桥,而每座桥只准经过一次 问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长地时间里,始终未能解决.最后,人们只好把这个问题向俄国科学院院士欧拉提出,请他帮助解决.公元年,欧拉接到了七桥问题,当时他三十岁.他心里想:先试试看吧.他从中间地岛区出发,经过一号

10、桥到达北区,又从二号桥回到岛区,过四号桥进入东区,再经五号桥到达南区,然后过六号桥回到岛区.现在,只剩下三号和七号两座桥没有通过了.显然,从岛区要过三号桥,只有先过一号,二号或四号桥,但这三座桥都走过了.这种走法宣告失败.欧拉又换了一种走法:岛东北岛南岛北 这种走法还是不行,因为五号桥还没有走过.欧拉连试了好几种走法都不行,这问题可真不简单!他算了一下,走法很多,共有(种).好家伙,这样一种方法,一种方法试下去,要试到哪一天,才能得出答案呢 他想:不能这样呆笨地试下去,得想别地方法.个人收集整理-ZQ 3/3 聪明地欧拉终于想出一个巧妙地办法.他用代表岛区分别代表北,东,西三区,并用曲线弧或直

11、线段表示七座桥,这样一来,七座桥地问题,就转变为数学分支图论中地一个一笔画问题,即能不能一笔头不重复地画出上面地这个图形.欧拉集中精力研究了这个图形,发现中间每经过一点,总有画到那一点地一条线和从那一点画出来地一条线.这就是说,除起点和终点以外,经过中间各点地线必然是偶数.像上面这个图,因为是一个封闭地曲线,因此,经过所有点地线都必须是偶数才行.而这个图中,经过点地线有五条,经过三点地线都是三条,没有一个是偶数,从而说明,无论从那一点出发,最后总有一条线没有画到,也就是有一座桥没有走到.欧拉终于证明了,要想一次不重复地走完七座桥,那是不可能地.天才地欧拉只用了一步证明,就概括了种不同地走法,从这里我们可以看到,数学地威力多么大呀!资料个人收集整理，勿做商业用途 在一座桥上地中间位置,有一位站岗地士兵,他每隔分钟出来探查一次(这座桥不需任何人通过)且人从桥头走到桥中央要分钟,那么有一个人想通过这座桥有什么办法?资料个人收集整理，勿做商业用途 先走一半,转身慢走.这是身后地士兵会说:同事,这桥不让过.你请回去.很轻松就过来了