a2015年第十三届小学希望杯全国数学邀请赛试卷(六年级第2试).pdf

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1、 第1页（共13页）2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第 2 试）一、填空题（每小题5 分，共 60 分）1计算：，得 2某商品单价先上调，再下降 20%才能降回原价该商品单价上调了%3请你想好一个数，将它加上 5，其结果乘以 2，再减去 4，得到的差除以 2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是 4若（n 是大于 0 的自然数），则满足题意的 n 的值最小是 5小明把一本书的页码从 1 开始逐页相加，加到最后，得到的数是 4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码）那么，这本书原来有 页 62015 减去它的，再减去余下的，再减去余下的，最后一次减去余

2、下的，最后得到的数是 7已知两位数与的比是 5：6，则 8如图，将 1 个大长方形分成了 9 个小长方形，其中位于角上的 3 个小长方形的面积分别为 9，15 和 12，由第 4 个角上的小长方形的面积等于 9某项工程，开始由 6 人用 35 天完成了全部工程的，此后，增加了 6 人一起来完成这项工程则完成这项工程共用 天 10将 1 至 2015 这 2015 个自然数依次写出，得到一个多位数 12345678920142015，这个多位数除以 9，余数是 11 如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是 1 分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水

3、 立方分米 第2页（共13页）12王老师开车从家出发去 A 地，去时，前的路程以 50 千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高 20%；返回时，前的路程以 50 千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高 32%，结果返回时比去时少用 31 分钟，则王老师家与 A 地相距 千米 二、解答题（每小题 15 分，共 60 分）每题都要写出推算过程 13（15 分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？14（15 分）如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、

4、C 为某传动机械的一部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？15（15 分）一个棱长为 6 的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为 1的小正方体的个数？16（15 分）如图，点 M、N 分别是边长为 4 分米的正方形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的中 第3页（共13页）点，P、Q 两个动点同时从 M 出发，P 沿正方形的边逆时针方向运动，速度是 1 米/秒；Q 沿正方

5、形的边顺时针方向运动，速度是 2 米/秒求：（1）第 1 秒时NPQ 的面积；（2）第 15 秒时NPQ 的面积；（3）第 2015 秒时NPQ 的面积 第4页（共13页）2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级第 2 试）参考答案与试题解析 一、填空题（每小题 5 分，共 60 分）1计算：，得 【解答】解：）2（）2（）2某商品单价先上调，再下降 20%才能降回原价该商品单价上调了 25%【解答】解：把原价是 1设单价上调了 x（1+x）（120%）1 （1+x）0.81 1+x1.25 x1.251 x0.25 x25%答：该商品单价上调了 25%故答案为：25 3请

6、你想好一个数，将它加上 5，其结果乘以 2，再减去 4，得到的差除以 2，再减去你最初想好的那个数，最后的计算结果是 3 【解答】解：设这个数是 a，（a+5）242a 2a+62a 第5页（共13页）a+3a 3，故答案为：3 4若（n 是大于 0 的自然数），则满足题意的 n 的值最小是 3 【解答】解：当 n1 时，不等式左边等于，小于，不能满足题意；当 n2 时，不等式左边等于+，小于，不能满足题意；同理，当 n3 时，不等式左边大于，能满足题意；所以满足题意的 n 的值最小是 3 故答案是：3 5小明把一本书的页码从 1 开始逐页相加，加到最后，得到的数是 4979，后来他发现这本书

7、中缺了一张（连续两个页码）那么，这本书原来有 100 页【解答】解：设这本书的页码是从 1 到 n 的自然数，正确的和应该是 1+2+nn（n+1），由题意可知，n（n+1）4979，由估算，当 n100，n（n+1）1001015050，所以这本书有 100 页 答：这本书共有 100 页 故答案为：100 62015 减去它的，再减去余下的，再减去余下的，最后一次减去余下的，最后得到的数是 1 【解答】解：2015（1）（1）（1）（1）2015 1 故答案为：1 7已知两位数与的比是 5：6，则 45 【解答】解：因为（10a+b）：（10b+a）5：6，第6页（共13页）所以（10a+

8、b）6（10b+a）5 60a+6b50b+5a 所以 55a44b 则 ab，所以 b 只能为 5，则 a4 所以45 故答案为：45 8如图，将 1 个大长方形分成了 9 个小长方形，其中位于角上的 3 个小长方形的面积分别为 9，15 和 12，由第 4 个角上的小长方形的面积等于 20 【解答】解：如图，设 D 的面积为 x，9：1215：x 9x1215 x x20 答：第 4 个角上的小长方形的面积等于 20 故答案为：20 9某项工程，开始由 6 人用 35 天完成了全部工程的，此后，增加了 6 人一起来完成这项工程则完成这项工程共用 70 天【解答】解：总工作量看做单位“1”剩

9、余工作量为 1，一个人的工作效率为635，第7页（共13页）（1）635（6+6）（63512）35（天）35+3570（天）答：完成这项工程共用 70 天 故答案为：70 10将 1 至 2015 这 2015 个自然数依次写出，得到一个多位数 12345678920142015，这个多位数除以 9，余数是 0 【解答】解：连续 9 个自然数的数字和必是 9 的倍数，201592238，所以可以取出前 8 位，从 9 开始后面的数字和正好是 9 的倍数，12345678 的数字和是：1+2+3+4+5+5+7+836，12345678 也能被 9 整除，所以：多位数 123456789201

10、42015 除以 9 的余数是 0 故答案为：0 11 如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是 1 分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水 188.4 立方分米 【解答】解：3.14133（）12.5615 188.4（立方分米）答：圆柱形容器最多可以装水 188.4 立方分米 故答案为：188.4 第8页（共13页）12王老师开车从家出发去 A 地，去时，前的路程以 50 千米/小时的速度行驶，余下的路程行驶速度提高 20%；返回时，前的路程以 50 千米/小时的速度行驶，余下的路程行程速度提高 32%，结果返回时比去时少用 31 分钟，则王老

11、师家与 A 地相距 330 千米 【解答】解：已知去时的速度为 50 千米/小时，余下的路程行驶速度是 50（1+20%）50 千米/小时；返回的速度为 50 千米/小时，余下的路程行驶速度是 50（1+32%）66 千米/小时 设总路程为 x 千米，得：（x+x）（x+x）xx x x330 答：王老师家与 A 地相距 330 千米 故答案为：330 二、解答题（每小题 15 分，共 60 分）每题都要写出推算过程 13（15 分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？【解答】解：（11

12、111011111）2 1210+129+128+127+126+025+124+123+122+121+120 1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1（2015）10 答：是 2015 14（15 分）如图，半径分别是 15 厘米、10 厘米、5 厘米的圆形齿轮 A、B、C 为某传动机械的一部分，A 匀速转动后带动 B 匀速转动，而后带动 C 匀速转动，请问：第9页（共13页）（1）当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动还是逆时针转动？（2）当 A 转动一圈时，C 转动了几圈？【解答】解：（1）如图，答：当 A 匀速顺时针转动，C 是顺时针转动 （2）A：B：C1

13、5：10：53：2：1 答：当 A 转动一圈时，C 转动了 3 圈 15（15 分）一个棱长为 6 的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为 1的小正方体的个数？【解答】解：大正方体表面积：666216，体积是：666216，切割后小正方体表面积总和是：216720，假设棱长为 5 的小正方体有 1 个，那么剩下的小正方体的棱长只能是 1，个数是：（6353）1391（个），这时表面积总和是：526+12691696720，所以不可能有棱长为 5 的小正方体（1）同理，棱长为 4 的小正方体最多为 1 个，

14、此时，不可能有棱长为 3 的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为 2 的小正方体或棱长为 1 的小正方体，第10页（共13页）设棱长为 2 的小正方体有 a 个，棱长为 1 的小正方体有 b 个，则 解得：（2）棱长为 3 的小正方体要少于（63）（63）（63）8 个，设棱长为 2 的小正方体有 a 个，棱长为 1 的小正方体有 b 个，棱长为 3 的小正方体有 c个，化简：由上式可得：b9c+24，a，当 c0 时，b24，a24，当 c1 时，b33，a19.5，（不合题意舍去）当 c2 时，b42，a15，当 c3 时，b51，a10.5，（不合题意舍去）当 c4 时，b60，a6，当

15、c5 时，b69，a28.5，（不合题意舍去）当 c6 时，b78，a3，（不合题意舍去）当 c7 时，a负数，（不合题意舍去）所以，棱长为 1 的小正方体的个数只能是：56 或 24 或 42 或 60 个 答：棱长为 1 的小正方体的个数只能是：56 或 24 或 42 或 60 个 16（15 分）如图，点 M、N 分别是边长为 4 分米的正方形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的中点，P、Q 两个动点同时从 M 出发，P 沿正方形的边逆时针方向运动，速度是 1 米/秒；Q 沿正方形的边顺时针方向运动，速度是 2 米/秒求：（1）第 1 秒时NPQ 的面积；（2）第 15 秒时NPQ 的面积；（3）第 2015 秒时NPQ 的面积 第11页（共13页）【解答】解：（1）第 1 秒时，如图，NPQ 的面积：（1+2）42 342 6（平方分米）；（2）第 15 秒时，如图，NPQ 的面积：（2+1）42 342 6（平方分米）；（3）因为 16116，1628，所以，第经过 16 秒，点 P 和点 Q 都回到出发点 M，20151612515（秒）所以第 2015 秒时点 P、点 Q 与第 15 秒时相同，面积也是 6 平方分米 第12页（共13页）第13页（共13页）