《七桥问题与一笔画》.pdf

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1、20092010 第一学期南开区六十三中学教师教案 第 1 周 周课时_ 1 _ 第_1_课时 课题：七桥问题与一笔画 教材简析 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从 19 岁开始发表论文，直到 76 岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字。据统计他那不倦的一生，共写下了886 本书籍和论文，其中分析、代数、数论占 40%，几何占 18%，物理和力学占28%，天文学占 11%，弹道学、航海学、建筑学等占 3%，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。学情分析 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在

2、任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17 年间，他还口述了几本书和 400篇左右的论文19 世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855 年）曾说：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法 欧拉还创设了许多数学符号，例如（1736 年），i（1777 年），e（1748 年），sin 和 cos（1748 年），tg（1753 年），x（1755 年），（1755 年），f(x)（1734 年）等】教学目知识与能力：1、让学生了解一笔画问题的解决方法；2、通过学习，

3、了解图论发展的起源及其应用之广泛；3、让学生体会数学地思考问题的作用，激发学生对数学的兴趣。标 过程与方法：1、通过学生对相关问题的思考和讨论，激发学生学习和探究的愿望。2、通过本节学习，近一步培养学生探索的精神和强烈的社会责任感。3、通过对资料和信息的获取，培养学生的分工合作精神。重点难点分析 重点：一笔画问题的解决过程、方法 教与学的准备 将班级学生分成 12 个小组，每个小组 3-4 人，分别搜集月球表面的形态、月球的运动、月相和日食及月食的成因的相关资料。?教学过程【导入】引入 我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的签名就产生了。现在请大家看这样一个图形

4、,据说穆罕默德他不识字，于是就以这个图形作为他的签名。现在请你拿出笔试试看，你会模仿他的签名吗（巡视一圈，请两位同学上黑板模仿）模仿得像不像呢我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他这个签名是一笔画成的，你用几笔画成，连接处可能会有空隙，而且这个感觉根一笔画出来的肯定是不一样。穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有点联系，所以看了这个进口的问题之后，使我很自然地联想到我们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”字，你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。大家知不知道古代量米用的“斗”上下都是四方的，底小口大，从上往下看

5、就是这样的图形。我记得我小学时候就玩过这个游戏，但是试了很久也没有成功，大家动笔试试看。好像有点难度吧。这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了。七桥问题!故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城市，普莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。汇合处有两座小岛，河上有 7 座桥，岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍 7 座桥，而且每座桥只通过一次，最后仍回到起始地点。这个问题看

6、起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。因此，一群大学生就写信给著名的瑞士数学家欧拉，向他请教如何解决这个七桥问题。欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。欧拉是怎样解决这个问题的呢 欧拉发现欧几里得几何并不适用于这个问题，因为桥不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。相反地，这问题属于提出的“位置几何”。欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接地点，两岸陆地也是如此，那么可以把这四处地点用 A,B,C,D 四个点来表示，同时将七座桥表示成连结其中两点的七条线，就得到这样一张图于是，欧拉建立了一个数学模型，一个人

7、不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重复地一笔画出图来这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题了。欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”画的时候要经过它。这些点有什么特征呢我们先来看看“过路点”，它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点”进出的边总数应该是偶数。如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的点，因此必须连着偶数条边，这样图上所有点都连偶数条边。如果起点和终点不是同一点

8、，那么这两点连有奇数条边，这也是图中仅有的连着奇数条边的点。现在对照七桥问题的图，A 点连有 3 条边，B 点连有 5 条边，C点 D 点各连 3 条边，所以欧拉得出的结论是这个图肯定不能一笔画成，也就是说要想不重复的走遍这七座桥是不可能的。￥公元1736年，29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了一份题为 哥尼斯堡的七座桥的论文，论文的开头是这样写的：“讨论长短大小的几何学分支，一直被人们热心地研究着，但是还有一个至今几乎完全没有探索过的分支；莱布尼兹最先提起过它，称之位置的几何学。这个几何学分支讨论只与位置有关的关系，研究位置的性质，它不去考虑长短大小，也不牵涉到量的计算，但是至今未有过令人满意

9、的定义，来刻划这门位置几何学的课题和方法，”欧拉用了最简单的图形点和线，巧妙地彻底解决了“七桥问题”虽然，中国民间很早就流传着这种一笔画的游戏，但是很可惜，古时候没有人对它引起足够的重视，也没有数学家对它进行经验总结，以及加以研究。拓展 我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它作为数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象成数学问题。研究数学问题不应该为“抽象而抽象”，抽象的目的是为了更好的、更有效的解决实际产生的问题，欧拉对“七桥问题”的研究就是值得我们学习的一个样板。欧拉对哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它的娱乐价值，由此提出的新思想开辟了数学的一个新的领域图论，同时也为拓扑学的研究提

10、供了一个初等的例子。此后许多著名的数学游戏成为图论和拓扑学发展的催化剂和导引，如哈密尔顿问题（绕行世界问题）、四色猜想等。直到 20 世纪中期，这两门学科才逐步完善并迅速发展。在这里我们简单介绍一些图论的基本概念。所谓图，是指由一些点和连接点的线组成的图形，这些点称为结点，线称为边。图中的每条边都有两个结点，而且互不相交。至于边的长度和结点的位置则无关紧要。如果一个图中的任意两个结点，都可以找到图中的某条弧线，把它们连接起来，那么，这样的图就称为连通的。每个结点所连的边的条数叫做这个结点的度数，度数是偶数就称为偶点，度数是奇数则称为奇点。欧拉的结论用图论的语言叙述，那就是：如果一个图是连通的并

11、且奇点的个数等于0 或 2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。布置让我们回到开头的问题。看一下穆罕默德的签名图中有几个奇点（0 个，可以一笔画出）作业 回字形的图中呢（8 个点都是奇点，所以无法一笔完成）其实欧拉的结论只是给出了什么样的图可以一笔画出，具体怎么画还要我们根据不同的情况具体分析。大家有没有兴趣尝试一下 好，那我们就来试试看。1、最近有个摄影展览，所有作品都布置在画廊里,入口处有个指示图，怎样才能既不走冤枉路又不漏看任一幅作品呢 可看作这样一个图形来处理。2、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道，甲从 A 点出发，乙从 B 点出发，最后都回到邮局（C 点）。

12、如果要选择最短的线路，谁先回到邮局 图中 A，C 为奇点，其余都是偶点。甲从 A 点出发，可以不重复到达 C 点。乙从 B 出发一定会走重复的路，所以甲先回到邮局。（3、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复入口和出口又应设在哪儿 H 点和 B 点是奇点，其余都是偶点，所以入后和出口应设在H 点和 B 点。教学反思 最后回顾一下我们这节课的收获。我们了解了欧拉对一笔画问题的解决方法，图论的起源，他启示我们：只要善于用数学的眼光、方法去观察事物，分析问题，就能把生产、生活中的某些问题转化为数学问题，并用数学方法来处理和解决。给大家两点建议，希望大家能够充分利用图书馆的资源，阅读相关书籍，比如说我看到有一本数学的奥秘，用大量的趣味数学题和游戏的方式，深入浅出的表述了数学的机智，看过之后觉得很有长进。此外，大数学家欧拉一生的经历也值得我们好好的了解一下，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。这里提供给大家一个网址，课后可以去查阅。