专题05同构携手放缩(解析版).pdf

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1、试卷第 1 页，共 14 页 专题 12：同构携手放缩 专题 12：同构携手放缩 专题阐述：同构法是将不同的代数式（或不等式、方程）通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题 当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的 考法一：部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）规律方法 在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）当0a 且1a 时，有logaxxa（2）当0a 且1a 时，有logxaxa 再

2、结合指数与对数运算法则 可以得到下述结论（其中0 x）（“ex”三兄弟与“ln x”三姐妹）（3）lneexxxx，lnlnexxxx（4）lneexxxx，elnlnxxxx（6）lneex xxx，lnlnexxxx 再结合常用的切线不等式：e1xx，eexx，ln1xx，lnexx 等 可以得到更多的结论（7）lneeln1xxxxxx，lnlnee1xxxxxx lneeelnxxxxxx，1elnlneeexxxxxxxx（8）lneeln1xxxxxx，eelnln1xxxxxx lneeelnxxxxxx，1eelnlnxxxxxx（9）lneln1ex xxxxx，lnln1e

3、exxxxxx lnee lnex xxxxx，1lnlneexxxxxx 例 1已知 1lnexf xxxx，则函数 fx的最大值为_ 解析：1ln1lnelnelnln22xxxf xxxxxxxxxx （当且仅当ln10 xx 取等号）试卷第 2 页，共 14 页 例 2已知函数 eln11bxf xxaxxx，其中0b，若 0f x 恒成立，则实数a 与 b 的大小关系是_ 解析：0eln1bxf xxaxx lnlne1e1lnlnx bxx bxxxaxax 由于lne1ln11lnlnx bxxxbxxbxx 当且仅当ln0 xbx等号成立，所以ab 例 3已知函数 ln1f x

4、xax（1）若函数 fx有两个零点，求实数 a 的取值范围；（2）若 exf xx恒成立，求实数 a 的取值范围 解析：（1）fx定义域是0,，1fxax 当0a 时，0fx，fx在定义域上单调递增，不可能有两个零点 当a0时，由 10fxax，得10 xa 当10,xa时，0fx，fx在定义域上单调递增 当1,xa 时，0fx，fx在定义域上单调递减 所以当1xa 时，fx取得极大值 当0 x时，f x，当x 时，f x 因为 fx有两个零点，所以10fa 解得10a （2）要使 exf xx恒成立，只要ln1exxaxx 恒成立 只要eln1xxxax恒成立，令 eln1xxxg xx，则

5、lneln1eln1ln1 ln11xxxxxxxxxxxx 当且仅当ln0 xx时取等号，所以 exf xx恒成立，实数 a 的取值范围为1a 【点睛】本题难点在第 2 问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为eln1xxxax恒成立，引入函数 eln1xxxg xx，通过结论lneeln1xxxxxx的放缩，巧妙地得出()g x的最小值，进而求出参数 a 的取值范围.【针对训练】试卷第 3 页，共 14 页 1函数 2e2ln1xxxfxx的最小值是_【答案】1【分析】先利用导数证明e1xx在 R 上恒成立，再构造函数 2lne2ln1xxxfxx，结合放缩法即可求出函数的最小值.【详

6、解】令()(1)xg xex，则()e1xg x，令()00g xx，令()00g xx，所以函数()g x在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以min()(0)0g xg，即e(1)0 xx在 R 上恒成立，所以e1xx，故 22lne2lne2ln2ln12ln1111xxxxxxxxxfxxxx 当且仅当2ln0 xx取等号.故答案为：1.2已知函数 eln1xf xax，若 0f x 恒成立，则实数 a的取值范围是_【答案】1ea 【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】ln1eln10exxxaxa 由于ln1xx，eexx，两者都是当且

7、仅当 x1 等号成立，则ln11eeexxxx 所以1ea 故答案为：1ea 3已知函数 elnxf xxa xx有两个零点，则实数 a的取值范围是_【答案】ea 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.【详解】lnelnelnxxxf xxa xxa xx，令lntxx，tR，显然该函数单调递增，即e0tat有两个根，即etat有两个根，如下图，作出函数tye的图像及其过原点的切线yet，可知当ea 时有两个交点即etat有两个根 故答案为：ea.试卷第 4 页，共 14 页 考法二：整体同构携手脱衣法 规律方法 在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用

8、函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若 0F x 能等价变形为 fg xfh x，然后利用 fx的单调性，如递增，再转化为 g xh x，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法 1地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）（1）1212121212f xf xk xxf xf xkxkxxx 1122f xkxf xkx yf xkx为增函数（2）1212121212121221f xf xk xxkkkxxf xf xxxx xx x

9、xx 1212kkf xf xxx kyf xx为减函数 含有地位同等的两个变量1x，2x或 p，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）（1）积型：lnelneeelne lnelnlnlnlnln lnlnabxaaaabf xxabbbbf xxxaabbf xxx构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对 如322222lnelnelne lnemmmmxxxxmxxmxxxxx 后面的转化同（1）试卷第 5 页，共

10、14 页 说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，（2）商型：lneeelneelnlnelnlnlnlnln lnlnabxaaaf xabxbbxf xabbxaabbf xxx构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左同右取对（3）和差：lneelneelnelnelnlnabxaaaabf xxabbbbf xxx构造函数两种同构方式构造函数同左同右 如ln1eln11eeln1ln1xaxaxaxxxaxxaxx 3无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）（1）elnelnxaxaxaxaxxx同乘无中生有 后面的转化同 2（1）（2）ln

11、1elneln11elnln11xxxaaaxaaa xaxa x同无中生有加ln1lnelnln11eln1lnln1xxaxaxxxxax （3）lnlnlnlogelnelnlnxxaxaaxaxxaxxa 后面的转化同 2（1）例 4已知 2ln1f xaxx，在区间1,2内任取两实数 p，q，且pq，不等式111fpf qpq恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 解析：当pq时，1111fpf qpq 即 1111fppf qq 令 11g xf xx，则11g pg q g x在1,2递减，即 2ln211g xaxxx 0g x在1,2上恒成立 21102agxxx 在1,2上恒成

12、立 2276axx在1,2上恒成立 试卷第 6 页，共 14 页 2min27615axx 当pq时，同理可得出28a，综上所述,1528,a 例 5 对任意0 x，不等式1e12lnaxaxxx恒成立，则实数 a 的最小值为_ 解析：22221e12lne11 lne1 lne1 lnaxaxaxaxaxxaxxxxxx（积型同构）令 1 lnf xxx，则 1lnxfxxx，22111xfxxxx 易知 fx在0,1上递减，在1,上递增 所以 120fxf，所以 fx在0,上单调递增 则 2222e1 lne1 lneeaxaxaxaxxxff xx，2ln2lnxaxxax 由导数法易证

13、2ln2exx，所以2ea 例 6已知函数 ln1xfxx（1）判断 fx在0,上的单调性；（2）若0 x，证明：2e1 ln1xxx 解析：（1）2ln11xxxfxx 令 ln11xg xxx，201xgxx g x在0,上单调递减，00g xg，即 0fx fx在0,上单调递减（2）要证2e1 ln1xxx，即证：2ln11exxx 即证：ln1e1xxxx，即证：ln e1 1ln1e1xxxx 令 ln1xh xx，即证：e1xh xh 由（1），h x在0,上单调递减，即证：e1xx 令 e1xs xx，e10 xs x s x在0,上单调递增，00s xs 试卷第 7 页，共 1

14、4 页 e10 xx，即e1xx 【点睛】本题利用分析法将所证不等式转化为ln1e1xxxx，通过同构变形，构造函数 ln1xh xx，借助（1）问中 h x在0,上单调递减，将命题转证为e1xx，简化所证命题.【针对训练】4 已知不等式log(0,1)xaax aa，对0 x，恒成立，则 a的取值范围是_ 【答案】1ee,【分析】由题意可得lnlnelnxaxaxx，1a，即lnln(ln)lnln(ln)xaxaxx，构造函数()lnf xxx，由其在(0,)上为增函数，lnlnxax，则lnlnxax，再构造函数ln()(0)xg xxx，利用导数求出其最大值即可【详解】因为log(0,

15、1)xaax aa，对0 x，恒成立，所以lnlnelnxaxa，1a，所以lnlnelnxaxaxx，所以lnlnlneln exaxxax，所以lnln(ln)lnln(ln)xaxaxx，令()lnf xxx，则(ln)(ln)f xafx 因为()f x在(0,)上为增函数，所以lnlnxax，所以lnlnxax，令ln()(0)xg xxx，则21ln()(0)xg xxx，当0ex时，()0g x，当ex时，()0g x，所以当ex时，()g x取得最大值，即maxlne1()(e)eeg xg，所以1lnea，所以1eea，所以 a 的取值范围是1ee,试卷第 8 页，共 14

16、页 故答案为：1ee,5已知函数 eln0 xf xaaxaa a，若关于 x的不等式 0f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A20,e B20,e C21,e D21,e 【答案】B【分析】依题意可得ln1lnelneln1xxaxax，令 exg xx，则问题等价于lnln1g xagx，即lnln1axx，再由ln1xx，即可得到ln2a，即可得到参数的取值范围；【详解】解：1eln0eln11xxf xaaxaaa xa，lnelnln11xaax ln1lnelneln1xxaxax，令 exg xx，显然 g x为增函数，则原命题等价于lnln1g xagx lnln1xa

17、x lnln1axx，又令 ln1g xxx，则 111xgxxx，所以01x时 0g x，当1x 时 0g x，即 g x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max10g xg，即ln1xx恒成立，所以ln12xxxx，所以ln2a，即得20ea 故选：B 6已知不等式1lneaxxaxx对1x，恒成立，则实数 a的最小值为（）Ae Be2 Ce D2e【答案】C 试卷第 9 页，共 14 页【分析】先利用同构变形得到11lnlneeaaxxxx，构造函数 lnf xxx，0 x，结合其单调性和求解的是 a 的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数 a的最小值.【详解】因为1l

18、neaxxaxx，所以1lnlneaaaxxxaxxx，即11lnlneeaaxxxx，构造函数 lnf xxx，0 x 所以 1eaxffx 111xfxxx，令0fx，解得：1x，令 0fx，解得：01x，故 fx在01，上单调递减，在1,上单调递增，当1x 时，101exax，与 1 的大小不定，但当实数 a 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时01ax 因为当01x时，fx单调递减，故1eaxx，两边取对数得：ln1xax x lnxax，令 lnxg xx，则 21 lnlnxgxx，令 0g x得：1ex，令 0g x得：ex，所以 g x在1 e，单调递增，在e,+单调递减，所以

19、 eeg xg 故 a的最小值是e 故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.试卷第 10 页，共 14 页【强化训练】7函数 eln1xxfxxx的最小值为_【答案】1【分析】先证明出e1 tt成立，对原函数进行同构构造后直接求解.【详解】记e1tyt.因为e1ty.令0 y，解得：0t；令0y，解得：0t；所以e1tyt 在,0上单减，在0,上单增，所以0mine010y.所以e10tyt ，即e1 tt.所以 lnelnelnln1 ln1111xxxxxxxxxfxxxx，当且仅当ln0 xx时等号成立 记

20、ln,0g xxx x.因为yx在0,上单增，lnyx在0,上单增，所以 lng xxx在0,上单增.又1111ln10eeeeg，11 ln1=10g，所以 lng xxx有且只有一个实根.而存在唯一一个00,1x 使得 000ln0g xxx.即存在唯一一个00,1x 使得 01f x.所以函数 eln1xxfxxx的最小值为 1.故答案为：1 8已知函数 eln1xf xax，若 0f x 恒成立，则实数 a的取值范围是_【答案】1ea 【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】ln1eln1exxxf xaxa 由于ln1xx，eexx 两者都是当且仅

21、当 x1 等号成立 则ln11eeexxxx 试卷第 11 页，共 14 页 所以1ea 故答案为：1ea 9已知 a，b分别满足2eeaa，3ln1ebb，则 ab_【答案】3e【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案【详解】222ln322eeeeeeeln1eeeeeeeaaabaaabbbbblnln lneelneebaba，且11eba,，令 exf xx，(1)exfxx，该函数在0,单调递增，可得 lnebf af，即lneba，则3ln=eebabb 故答案为：3e.10已知0 x是函数 22eln2xf xxx的零点，则020elnxx_【答案】2【分析】根据

22、零点定义可得02200eln2=0 xxx，整理可得0200e2ln0eelnexxxx，根据此时可得020exx成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得02200eln2=0 xxx，整理可得020002ln=exxxx，02000e222ln00eee=lnlneexxxxxx 可得当200elnxx，即020exx成立，又02200ln=2exxx，代入可得020000212eln2xxxxx.故答案为：2.11已知函数 elnxf xmx mR，若对任意正数12,x x，当12xx时，都有 1212f xf xxx成立，则实数 m的取值范围是_【答案】0,【分析】令 g xf xx

23、，进而原题等价于 g x在0,单调递增，从而转化为试卷第 12 页，共 14 页 e10 xmgxx，在0,上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由 1212f xf xxx得，1122f xxf xx 令 g xf xx，12g xg x g x在0,单调递增，又 elnxg xf xxmxx e10 xmgxx，在0,上恒成立，即1 exmx 令 1 exh xx，则 e110 xh xx h x在0,单调递减，又因为 001 e00h，0m 故答案为：0,.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用

24、；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理 12设实数0，若对于任意0,x，不等式lne0 xx恒成立，则的最小值为_【答案】1e【分析】将给定的不等式作等价变形，按01,1xx分段讨论，并借助导数求出最值作答.【详解】0，(0,)x，lne0eelnelnnne llxxxxxxxxxxxx，当01x时，e lne0 xx，而ln0 xx，即lne0 xx恒成立，因此(0,)x，lne0 xx恒成立，当且仅当1x 时，e lnelnxxxx恒成立，令()ln,1f xxx x，求导得()1ln1fxx，即函数()f x在(1,)上单调递增，因此1x，lne lnel

25、neelnxxxxxxxff xxxxx，令ln(),1xg xxx，求导得21 ln()xg xx，当1ex时，()0g x，当ex时()0g x，即函数()g x在(1,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，当ex时，max1()(e)eg xg，试卷第 13 页，共 14 页 则1e 所以的最小值为1e.故答案为：1e【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键.13已知a0，不等式1ln0axxeax对任意的实数1x 恒成立，则实数 a的最小值为（）A12e B2e C1e De【答案】D【分析】首先不等式变形为lnlnaxaxxexe，xf xxe

26、1x，不等式等价于 lnaf xfx，然后利用函数的单调性可得lnxax 对任意1x 恒成立，再利用参变分离lnxax 恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为lnxaxexax，即lnlnaxaxxexe，设 xf xxe1x，则不等式1ln0axxeax对任意的实数1x 恒成立，等价于 lnaf xfx对任意1x 恒成立，10 xfxxe，则 fx在1,上单调递增，lnaxx，即lnxax 对任意1x 恒成立，lnxax 恒成立，即minlnxax，令 lnxg xx，则 2ln1lnxgxx 1x，当1ex时，0g x，g x在1,e上单调递减，当xe时，0g x，g x在,e

27、 上单调递增，xe时，g x取得最小值 g ee，ae，即ae，a的最小值是e.故选：D 试卷第 14 页，共 14 页【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形lnlnaxaxxexe，并能构造函数并转化为 lnaf xfx对任意1x 恒成立.14已知函数13()2ln()mxf xxxmx e，当xe时，()0f x 恒成立，则实数 m 的取值范围为（）A(,4 e B(,3 e C(,2 e D3(,2e【答案】B【分析】先分析0m，易得()0f x 恒成立，再分析0m，将问题转化为2ln12ln(1)xmxmx

28、eex，xe恒成立，再构造函数()xg xxe，即(2ln)(1)mgxgx，xe恒成立，可利用()g x的单调性，转化为则2ln1,mxxex恒成立，再转化为得2 ln,mxxx xe恒成立，再构造函数()u x 2 ln,xxx xe，利用导数得到min()u x，则mmin()u x.【详解】当0m，xe时，()0f x 显然恒成立；当0m 时，由题，则132ln()mxxxmex恒成立，得2ln12ln(1)xmxmxeex，xe恒成立，令()xg xxe，则(2ln)(1),mgxgxex恒成立，则()(1)0 xxxg xexexe，故()g x在(1,)递增，则2ln11,mxxex 恒成立，得2 ln,mxxx xe恒成立，令()u x 2 ln,xxx xe，则()2ln3u xx0，即()u x在),e 递增，故min()()3u xu ee，故03me，综合得3me.故选：B.【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.