Lagrange插值的改进算法研究及误差分析.pdf

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1、Lagrange 插值的改进算法研究及误差分析 张雷;张国;邱亚琴【摘 要】There-is-a-high-demand-for-data-synchronization-in-the-sampling-process-in-electric-power-system.-Synchronization-method-is-recommended-by-the-interpolation-algorithm-in-IEC61850-communication-protocol.-Here-this-paper-puts-forward-an-improved-Lagrange-interpola

2、tion-algorithm.-By-using-the-method-of-constructing-weighting-function,-it-can-compensate-the-error-of-the-first-order-interpolation-algorithm-and-can-improve-the-computational-efficiency.-Finally,-the-simulation-experiments-and-a-comparative-analysis-are-carried-out-for-the-improved-algorithm-under

3、-different-conditions-such-as-steady-state-characteristic-for-different-sampling-frequency,-the-transient-characteristics-of-decaying-DC-component,-limit-of-voltage-sag,-etc.-Experiment-result-shows-that-the-improved-algorithm-has-many-obvious-advantages-in-computation-and-accuracy.%电力系统采样过程中对数据同步性要

4、求很高，在 IEC61850 通信协议中推荐的插值算法同步方法。提出了一种改进的 Lagrange 插值算法，利用构造权函数的方法，补偿了一阶插值算法的误差，提高了计算效率。并在 Matlab 中就电力系统采样不同频率条件下的稳态特性及暂态特性的衰减直流分量和极限条件下的电压暂降等情况对该算法进行了仿真实验，实验证明了该改进算法在计算量和精度方面有一定的优势。【期刊名称】电力系统保护与控制【年(卷),期】2014(000)016【总页数】5 页(P66-70)【关键词】合并单元;Lagrange 插值;同步算法;权函数;误差分析【作 者】张雷;张国;邱亚琴【作者单位】河南机电高等专科学校自动控

5、制系，河南 新乡 453000;长庆油田矿区事业部，陕西 西安 710018;河南机电高等专科学校自动控制系，河南 新乡 453000【正文语种】中 文【中图分类】TM76 近年来，随着各种不对称性、冲击性、非线性负容量的不断增加，电能质量问题日益突出，数字化变电站已经成为日益强烈的发展要求1。数字化变电站的核心基础是 IEC61850 通信协议2，该协议将变电站分为站控层、间隔层、过程层，规定各层之间和层内部采用高速以太网通信3。过程层中，合并单元（MU）作为电子式互感器的数字接口，通过以太网与间隔层二次设备相连，是实现过程层与间隔层串行通信的重要部分。合并单元的主要作用是汇集一次侧的 12

6、 路互感器采样信号，将采样值按照 IEC61850-9 协议打包4，为二次侧保护设备提供同步数据。IEC600448 标准中规定了电子式互感器数据同步的两种方法：统一时钟同步法与插值法5。统一时钟同步法要求合并单元向每个电子互感器连接一条采样信号线，电路结构复杂，成本高6。插值法方式节省了 12 路同步信号线路，但需要合并单元有较强的数据处理能力，插值算法所得的数据与实际值存在计算误差，且误差因算法不同有所差异。本文介绍了一种改进的一阶插值算法，对普通的一阶算法性能有明显改进。1.1 常见的插值算法 常见的插值算法有 Lagrange7插值、Newton 插值8等方法，但从计算量、复杂程度和精

7、度等因素考虑，现在 IED 设备最常用的是 Lagrange 插值算法。根据文献9-10，设原始信号为 根据文献11，一阶 Lagrange 插值（以下简称一阶插值）的计算公式为 其误差表示为 其中，fs 为互感器采样频率，可见随着 fs 的减小，误差会迅速增加，且随着谐波次数的增加，误差以平方倍数增加。二阶 Lagrange 插值（以下简称二阶插值）的公式为 二阶插值算法的误差根据文献8可得 同样，谐波次数越高，误差增长越迅速。比较以上两种插值方法，一阶插值算法的计算量小，速度较快，但是精度较低；二阶插值算法的计算量大，所以速度较慢，但精度很高。以下推荐一种改进的一阶插值算法（以下简称改进算

8、法），计算量较二阶插值少，且精度与二阶插值相当。1.2 改进算法 取被测函数 x(t)的一段曲线如图 1 所示。图中 x(t0)、a(t)、b(t)为该通道连续三个周期的采样值，同步时刻 t 所对应的真实值为 x(t)，a(t)为由 x(t0)、x(t1)外推所得到的 t 时刻的插值，b(t)为由 x(t1)、x(t2)内插所得到的 t 时刻的插值，a(t)、b(t)均为一阶插值。因为 x(t)为正弦函数，x(t)在大多数区段内可导，即便有少量谐波存在，曲线的拐点也不多。在如上区段内，a(t)、b(t)分布在真实值的两侧，误差反向相反。利用加权方法构造函数 c(t)，让 a(t)、b(t)的误

9、差相互补偿，使 c(t)比 a(t)、b(t)更趋近于真实值。而在有拐点的区段，a(t)、b(t)的误差反向相同，但不论内插还是外推得到的插值误差都很小，所以对精度的影响非常小。在 t 从 t1 到 t2 逼近的过程中，在靠近两端的部分，由于内插值 a(t)的精度相对较高，所以在这个部分 a(t)的权值应该较大；而在区段的中间部分，a(t)的误差值较大，需要 b(t)的误差进行补偿。所以设计权函数 y(k)为 k 在 t1 到 t2 的区段中从 0 到 1 变化。而由权函数 Y(k)构造的插值函数 c(t)则表示为 从计算量上来考虑，一阶插值算法计算每个插值点需要 3 次乘法和 3 次加法，二

10、阶插值的计算量为 8 次乘法和 9 次加法7。而改进算法每周期只需要 1 次一阶插值的计算，另一个一阶插值的结果可以由上周期的一阶插值结果通过加法获得，然后进行加权计算。由于每个通道电子互感器的采样和插值点频率通常一致，每次计算插值点时也有相同的时间滞后，所以加权函数值的计算有一定的遗传性，可以加权函数值本身的计算可以忽略。由此可得改进算法计算每个插值点的计算量为 5次乘法和 5 次加法，计算量介于一阶插值和二阶插值之间。该算法以某钢厂一实际生产环节所采集的电流样本为例，利用 Matlab 对以上算法进行仿真。原函数的基波幅值为 86.792 7 A，并含有 3 次至 19 次各奇次谐波含量。

11、该函数表示为 以下按照电力系统的稳态特性和暂态特性中的衰减直流分量和电压暂降对如上函数进行仿真实验12。2.1 稳态特性分析 按照 IEC61850 标准所规定的 32Fr（32Fr 表示 32 倍工频即每周波采样 32 点）、80Fr 和 200Fr 采样频率对电流进行采样，获得采样值后分别以一阶Lagrange 插值算法、二阶 Lagrange 插值算法和上述改进的一阶 Lagrange 插值算法对电流值进行插值计算，并将所得结果和原函数进行对比，获得一个工频周期内的误差曲线，如图 2 所示。由于在每两个相邻采样点的一个插值区段内，插值所得的结果与原函数误差最大的部分通常出现在这个区段的中

12、部，在仿真过程中将插值点设在，每个区段的中间位置，实际插值点在区段内是随机分布，所以实际产生的算法误差将小于仿真产生的算法误差。从误差幅值进行判断，对不含谐波分量的函数，改进算法和二阶插值算法相对一阶算法误差要小很多。但是在含有谐波分量的实际情况下，如果采样频率较低（如32Fr），改进算法和二阶插值算法的误差明显放大。当采样频率提高（如80Fr 和200Fr），改进算法和二阶插值算法相对与一阶插值算法的误差收敛的更加迅速。且改进算法和二阶插值算法相比较，改进算法的误差略大于二阶插值算法，但在同一个数量级。以上仿真的实验结果，通过 FFT 运算可以得到各次谐波的幅值，将这些计算得到的幅值和原函数

13、中的幅值进行比较，可以观察出不同采样频率下，各种插值算法对谐波计算的影响。选取的实验平台为 simulink 中的电力系统工具箱 Simpowersystems 中的 Powergui/FFT Ansys，实验结果如表 1 所示。由以上实验数据表明，在采样频率较低的情况下，各种算法出现的误差都较大，当采样频率提高后，改进算法和二阶插值算法的计算结果经过 FFT 变换后得到的各次谐波幅值比较接近原函数。由于计算精度的原因，对高次谐波的计算都不太精确。2.2 暂态特性分析（一）衰减直流分量的分析 当原函数增加衰减直流分量部分，设衰减直流分量表示为 则在 80fr 采样频率下得到一阶、二阶和改进算法

14、的误差曲线如图3 所示。从图中可以看出与稳态误差曲线基本吻合，性能相当。（二）电压暂降分析 动态电能质量中最突出的问题就是电压暂降13，对用户敏感设备影响最大的电压暂降出现在电压相角较小的区域14，以下通过对 0和 90两种电压暂降的极限情况的仿真，对上述改进插值算法和一阶、二阶插值算法进行对比验证。以0.1 周期产生 20%暂降深度建立电压暂降模型，仿真得到误差曲线如图4 所示。实验证明，当在 0时刻产生电压暂降，插值算法产生的误差较小；在90时刻产生电压暂降，插值算法产生的误差非常大。但插值算法比较来看，改进一阶插值总体优于一阶插值，和二阶插值性能相当。本文针对插值算法同步方式提出了一种改

15、进的一阶 Lagrange 插值算法，并在Matlab 中就电力系统采样不同频率条件下的稳态特性，及暂态特性的衰减直流分量和极限条件下的电压暂降等情况对该算法进行了仿真实验，实验证明了该改进算法在计算量和精度方面有一定的优势。在 FPGA+处理器的解决方案中，便于保存加权系数，有较大的应用价值，对数字化变电站的其他 IED 设备的研制中也有一定的借鉴价值。1 焦东升,陆冬良.动态电能质量实时监测系统的设计与实现J.电网技术,2011,35(5):110-114.JIAO Dong-sheng,LU Dong-liang.Design and implementation of dynamic

16、power quality real-time monitoring systemJ.Power System Technology,2011,35(5):110-114.2 李永亮,李刚.IEC61850 第 2 版简介及其在智能电网中的应用展望J.电网技术,2010,34(4):11-16.LI Yong-liang,LI Gang.An introduction to 2nd edition of IEC 61850 and prospects of its application in smart gridJ.Power System Technology,2010,34(4):11-

17、16.3 郑新才,施鲁宁,杨光,等.IEC61850 标准下采样值传输规范 9-1、9-2 的对比和分析J.电力系统保护与控制,2008,36(18):47-50.ZHENG Xin-cai,SHI Lu-ning,YANG Guang,et al.Comparison and analysis of sampled value transmission specification 9-1 and 9-2 in IEC61850 standardJ.Power System Protection and Control,2008,36(18):47-50.4 IEC61850-5 commun

18、ication networks and systems in substations-part 5:communication requirements for functions and device modelsS.5 IEC60044-8 instrument transformers,part 8:electronic current transformersS.6 王伟明,段雄英.基于 FPGA 的电子式互感器智能合并单元研制J.电力系统保护与控制,2012,40(2):131-134,140.WANG Wei-ming,DUAN Xiong-ying.Intelligent me

19、rging unit of electronic transformer based on FPGAJ.Power System Protection and Control,2012,40(2):131-134,140.7 刘崇茹.基于序列二次规划算法的多馈入直流输电系统功率优化J.电网技术,2007,31(19):31-34,40.LIU Chong-ru.Active power optimization of multi-infeed DC power transmission system by use of sequence quadratic programmingJ.Power

20、 System Technology,2007,31(19):31-34,40.8 HAO Ben-jian,LI Zan.BFGS quasi-Newton location algorithm using TDOAs and GROAsJ.Journal of Systems Engineering and Electronics,2013(3):341-348.9 李庆扬,王能超,易大义.数值分析M.5 版.北京:清华大学出版社,2008:22-46.LI Qing-yang,WANG Neng-chao,YI Da-yi.Numerical analysisM.Fifth Editio

21、n Beijing:Tsinghua University Press,2008:22-46.10 李庆扬,王能超,易大义.数值分析M.北京:清华大学出版社,2005.LI Qing-yang,WANG Neng-chao,YI Da-yi.Numerical analysisM.Beijing:Tsinghua University Press,2005.11 乔洪新,黄少锋,刘勇.基于二次插值理论的电子式互感器数据同步的研究J.电力系统保护与控制,2009,37(15):48-52.QIAO Hong-xin,HUANG Shao-feng,LIU Yong.Discussion on d

22、ata synchronization of electronic current transducer based on quadratic interpolationJ.Power System Protection and Control,2009,37(15):48-52.12 庞浩,李东霞,俎云霄,等.应用 FFT 进行电力系统谐波分析的改进算法J.中国电机工程学报,2003,23(6):50-54.PANG Hao,LI Dong-xia,ZU Yun-xiao,et al.An improved algorithm for harmonic analysis of power s

23、ystem using FFT techniqueJ.Proceedings of the CSEE,2003,23(6):50-54.13 周林,吴红春,孟婧.电压暂降分析方法研究J.高电压技术,2008,34(5):1010-1016.ZHOU Lin,WU Hong-chun,MENG Jing,et al.Study of the voltage sag analysis methodsJ.High Voltage Engineering,2008,34(5):1010-1016.14 周晖,易忠林.电压暂降下整流装置特性仿真研究J.电测与仪表,2009,46(523):22-27.ZHOU Hui,YI Zhong-lin.Study on the characteristic of AC/DC converter under voltage sagsJ.Electrical Measurement&Instrumentation,2009,46(523):22-27.张 雷(1977-)，男，硕士研究生，讲师，研究方向为智能信息处理与嵌入式应用。E-mail：*张 国(1981-)，男，工程师，从事电气运行工作。