六位数密码.pdf

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1、趣味计数原理 六位数密码的编排 邓树青 排列组合问题是生活实际中应用比较广泛的知识点，而在学生的学习中又是比较抽象、难以理解的问题。特别是分步与分类的区别与结合，排列与组合的区别与结合，尤其是四者混合使用时，一定要概念明确，思路清析，才能无重复，无遗漏地解决有关排列组合的问题。为提高学生学习兴趣,让学生感觉到数学方法就是生活中的问题,就是身边的问题 现以六位数密码的编排为例说明一下计数原理与排列、组合数的混合使用。课本上给我们的题目主要是以下两大类。一是有重复排列的数字：例1、一个密码箱子由 6 位数字（允许重复）构成，问共能组成多少个密码？解析：1、有重复的数字就不能用排列、组合，只能用加法

2、原理与乘法原理来解决。此问题常用“主元素法”把不能空的元素看作“主元素”，然后从“主元素”着手考虑，每位密码都有 10 种不同的选法，根据乘法原理 可重复的六位密码共有 106个 类同的题目还有 例2、有 3 名学生报考 4 所不同的高等院校，不同的报法有多少种？这里“主元素”是学生，而不是院校，每个学生的报法 4 种，根据分步计数原理，共有 43种，不是 34种 二是无重复排列的数字 例3、用 0、1、2 9 可组成多少个无重复数字的六位密码？解析：无重复数字的可直接用排列数公式计算有 A610个。而在实际当中六位密码可能无重复，也可能部分重复，也可能全重复，下面就应用以上两种例题做基础，分

3、别分析一下六位密码有哪几种情况，各类密码都有多少个 一、用一个数组成的六位密码的个数 显然，有 10 个。比如企业发放给工人的工资卡初始密码通常是六个“0”或者是六个“1”等等 二、用二个数组成的六位密码的个数 这类密码是用两个数字重复使用的，所以不能用排列数公式计算，只能用：加法原理、乘法原理、组合数公式这三类办法来计算。第一步：要从 0、1、2 9 这 10 个数字中选出 2 个数字，有 C210种选法 第二步：每 2 个数字可组成多少个六位密码 根据两个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类：第一类 1：5 的有 2C16种 第二类 2：4 的有 2C26种 第三类 3：3 的有

4、C36种 根据乘法原理六位密码的个数为：C210(2C16+2C26+C36)=62C210=2790 注意第二步是步中有类。在解决较复杂的排列组合问题时，往往利用转化思想把问题转化为若干个简单的基本问题后再用两个原理去解决；分类时要明确标准做到不重不漏，分步要注意各步之间的连续性。三、用三个数组成的六位密码的个数 第一步：从 0、1、2 9 这 10 个数字中选出 3 个数有 C310种选法 第二步：每 3 个数字可组成多少个密码 根据 3 个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类：第一类 1：1：4 的有 C13A26种。第 1 步：从 3 个数中选出 1 个使用频率是 4 次的，第

5、 2 步：将两个使用频率为 1 次的数字从 6 个位置中选 2 个排上 第二类 1：2：3 的有 A33C16C25C33种 第 1 步：确定三个数字的使用频率数有 A33种 第 2 步：从六个位子中选一个给使用频率为 1 次的数字 C16有种 第 3 步：从剩下的 5 个位子中选 2 个给使用频率为 2 次的数字有 C25种 第 4 步：剩下的位子给使用频率为 3 次的数字有 C33种 第三类 2：2：2 的有 C26C24C22种 第 1 步：第一个数从六个位子中任选二个，有 C26种排法 第 2 步：第二个数从剩下的四个位子中任选二个有 C24种排法 第 3 步：第三个数排在剩下的两个位

6、子上有 C22种排法（或者不写本步）根据乘法原理，六位密码的个数为：C310（C13A26+A33C16C25+C26C24C22）=540C310=64800 注意该问题是步中有类，类中有步。四、四个数字组成的六位密码的个数 第一步：从 0、1、2 9 这 10 个数字中选出 4 个数的选法有 C410种 第二步：每 4 个数字可组成多少个六位密码 根据 4 个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成二大类：第一类 1：1：1：3 的有 C14A36种 第二类 1：1：2：2 的有 C24A26C24C22种 第 1 步：要从四个元素中任选 2 个作频率为 1 的元素有 C24种选法 第 2

7、步：从六个位置中选出二个把频率为 1 的两个元素排上有 A26种选法 第 3 步：从剩下的四个空中选两个给频率为 2 的一个元素有 C24种选法 第 4 步：剩下的 2 个空位给另一个频率为 2 的元素有 C22种选法（或者不写本步骤）根据乘法原理，六位密码的个数为：C410(C14A36+C24A26C24C22)=1560C410=327600 五、五个数组成的六位密码的个数 这种密码只有一个数字使用频率为 2 次，其余 4 个数字都是不重复的 第一步：从 0、1、2 9 这 10 个数字中选出 5 个数的选法有 C510种 第二步：从选出的五个数中任选一个做频率为 2 的元素有 C15种

8、选法 第三步：将其余四个数从六个位子中任选择四个把它们排序有 A46种排法，剩下的两个位子用第五个数填空 根据乘法原理，六位密码的个数为：C510C15A46=1800C510=453600 六、六个数组成的六位密码的个数 即例 2 的结果：C610A66=720C610=151200 总之，六个数的密码共有 106个，且这一百万个密码共分两大类六种：一是无重复数字的有 151200 种 二是有重复数字的一个数的有 10 种 二个数的有 2790 种 三个数的有 64800 种 四个数的有 327600 种 五个数的有 453600 种 六个数的有 151200 种 即 106=10+2790

9、+64800+327600+453600+151200 题外记：1、此式也可作为检验答案是否正确的尺度。2、随意一个六位密码，用五个数字的概率为 45.36；用四个数字的概率为 32.76；用六个数字的概率为 15.12；用三个数字的概率为 6.48；用二个数字的概率为 0.279；用一个数字的概率为 0.001 生活应用：1、我们的各种卡，都是六位密码，而密码所使用的数字键为 4-6 个的概率为 93.24，当今网上盗窃犯又屡见不鲜，你用过的数字健，他们用一种尘粉一吹，立刻显示出你的指纹，只有这四五个数字编制密码，试验一千多次就能试出密码，不妨把每个数字健都健按上你的手印，那样可编制的密码就到几十万个了。2、我们在编制六位密码的时候，最好用五个或四个数字来编制