《高等代数》课程学习指导.pdf

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1、 高等代数课程学习指导 一、课程介绍 1 导 言 高等代数是数学教育专业的基础课，是中学代数的继续和提高。也是高等师范院校数学系数学和使用数学专业学生的必修课目，属基础课程，修读期为一年。本课程教材为北京大学王鄂芳编著的高等代数（第二版）。高等代数的基础知识，是学习掌握其它数学学科的基础。我们知道，经典代数学的研究课题是各类代数方程的求解问题。但是很容易看出，线性方程组的解本质上是向量空间和矩阵理论的一个简单的使用。现在人们逐渐认识到，代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系(态射)。高等代数作为代数学的入门课程，应当是以中学代数知识(即经典代数学中方程的求解问题)为出发点，将学生逐步

2、引导到现代代数学的基本研究对象上来。通过教学,应使学生理解具体和抽象、特殊和一般、有限和一般等辨证关系，提高抽象思维，逻辑推理及运算能力。初步掌握基本的，系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法.以加深对中学数学的理解，并为进一步学习打下基础。2 本课程目的 本课程旨在帮助学生对现代代数学的研究对象，基本思想和基本方法有一个初步但又是清楚的认识，并以中小学课程中阐述的数及其四则运算的初等理论以及由之产生的各类代数方程的初等理论为基础，从理论上提升一步，引导学生进入现代代数学的研究领域：各类代数系统及其相互关系的理论，使学生对于代数学的基本思想和基本方法有一个初步的了解。并接受抽象代数学基本方法的

3、初步训练。且在本课程的教学中尝试和采用“以活动为主的参和式教学”方式。让学生能围绕一些实际问题的解决，展开讨论，在问题的解决中提炼、归纳、抽象附加数学概念并建立数学理论，接受“以活动为主的参和式教学”方式并能真正贯穿于未来中学数学教学实践中，对中学数学教学进行全新的体验和改革。我们希望在学习本课程的同时，能够尽快接受和领会“以活动为主的参和式教学”方式的真正内涵，通常坚持以“活动”的方式进行教学，即在教学活动中通过学习者的主观努力和积极参和，在讲授者的引导之下，获得对所要求知识的了解、掌握和使用，并能贯穿于未 来的教学活动中去。同时希望在教学活动中，学习者在知识认知过程中，敢干创新，教学互长。

4、3 本课程目标 通过本课程教学的主要环节(讲授和讨论，习题课，作业，辅导等)，使学生对多项式理论、线性代数的“分析理论”及其思想方法有较深的认识和理解，了解高等代数所研究的对象、内容、方法和所能解决的实际问题，以及它和后继学科的关联。从而有助于学生正确理解高等代数的基本概念和论证方法及提高分析问题，解决问题的能力。作为大学低年级的入门课程，其理论的阐述应当符合人的认识规律，即由浅入深，从具体到抽象，由形象直观到理性思维，例如，通过分析线性方程组结构的直观上的特点导出向量空间和矩阵及其运算的基本理论，以具体的齐次线性方程组有无非零解来导出向量组线性相关和无关的抽象概念等等。在学生熟悉了具体的向量

5、空间和矩阵之后，再过渡到抽象的线性空间和线性映射理论。在教学中，我们要遵循这个原则来处理各个章节中基本概念的引入及基本理论的展开。4 本课程简介 本课程主要分为两部分：多项式理论，线性代数。多项式理论以数域上一元多项式的因式分解理论为中心；线性代数主要讲授矩阵和线性方程组理论，向量空间和线性变换。在讲授某些内容时，应注意和其它课程的联系。在教材中适当加入一些实际使用的知识和好的例题是必要的，也有助于学生提高本课程的积极性和兴趣。但它作为一年级的基础课程，仍应以基本知识和基本方法的训练为主，以期提高学生的整体素质。在本课程中不可能也没有必要花过多的精力去研究实际问题的使用。为了体现少而精的原则，

6、本课程着重于基础知识和基本理论的讲授和基本技能的培养并尽可能联系实际，不追求内容上的完备和全面 5 本课程所使用教材 本课程所使用教材：高等代数第二版 王鄂芳编，高等教育出版社。本教材适用范围广泛，它不仅可作为师范院校数学专业本科的教材，也可供师范专科学校、教育学院、函授师范大学等选作教材或参考书。本教材获第一届国家教委高等学校优秀教材一等奖，截止目前它是本学科最好的教材。6 本课程学习时间和学习进度 修读本课程共需 180个学时，修读时间为一年，共二学期，每学期教学时数都是 90 学时。学习进度按课程简介分为两部分来完成，(第三部分不作要求)。7 本课程学习资源和方法 高等代数课程组将为你推

7、荐下列学习材料：1）北京师范大学数学系编，高等代数第四版，高等教育出版社，。2）杨子胥编，高等代数，高等教育出版社，1992年。3）魏献祝主编高等代数，华东师大出版社，1999年。学习方法：在该教材中，学生除了接受和其他数学课程共同的基本训练(如逻辑思维能力)之外，从高等代数课程本身的特点来看，以下几个方面是最主要的，应当贯穿课程始终。1）代数学基本思想的训练。代数学具有高度抽象性和一般性。所研究的代数系统，其元素及代数运算都未有具体内容，而仅要求满足一定的运算法则，这是概括了许多具体的客观事物的共性之后形成的非常一般的规律，从而有广泛的使用。这种抽象思维的训练，不但在数学各个方向是需要的，在

8、其他学科及实际工作中也都是很重要的。这是提高学生素质的一个重要方面。从事抽象思维训练，是代数学特有的优点，在本课程中应当紧紧抓住这一点。2）代数学基本方法的训练。培养学生在抽象线性空间内处理理论问题的能力。能把较具体的问题如线性方程组，矩阵领域的问题转化为抽象线性空间和线性变换的问题来处理；又会把抽象领域的问题具体化(如计算线性变换特征值转化为解代数方程)。3）线性代数基本计算，特别是计算行列式，求解线性方程组，求逆矩阵，求线性变换特征值和特征向量，用正交变换化实对称矩阵成对角形等等数字计算训练。4）矩阵和多项式技巧的运用，特别分块矩阵的使用。5）综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练

9、。6）学习者应在学习指导手册的指导下学习本课程，参考学习时间表和学习进度表，作好个人学习计划，有目地有步骤地进行自学。7）学习过程中，认真阅读课本，学完每一节、每一章后都要总结，学完指定内容后做作业，以强化、巩固所学内容，完成作业后再很快地回顾一遍所学内容，看看它和前一部分有何联系，对后一部分的学习有何帮助。8）本课程教学提倡“少”而“精”及参和式，对本学科内容的难点和框架作一剖析，从而为学习者的自学作好指导，学习过程中如有疑问或见解，可通过作业、E-mail、信件、电话等方式和任课教师联系。9）做作业是学好本课程的非常有效的方法，建议你边读边做。你也可以在本手册的指导下进一步细化你的“读做”

10、方案。二、课程内容纲要 第一章 多项式 本章主要介绍数域上一元多项式的概念、运算、整除性。最大公因式的求法和唯一因式分解定理和有理系数多项式的可约性判定及有理根的求法，是中学数学有关知识的加深和扩充。应熟练掌握两多项式最大公因式的求法，理解多项式唯一因式分解定理及特殊数域上多项式的典型分解式，掌握带余除法、因式定理、综合除法等技巧，熟练掌握整系数多项式可约性的判定和有理根的求法。第一节 多项式概念及运算（2 课时）第二节 整数和多项式的整除法（3 课时）第三节 最大公因式（4 课时）第四节 因式分解定理和重因式（2 课时）第五节 多项式函数和多项式的根（2 课时）第六节 实系数和复系数多项式的

11、因式分解定理（2 课时）第七节 有理系数多项式（4 课时）本章教学重点及难点：整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k 重因式和 k 重根的关系、复（实）系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。第二章 行列式 行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具，通过学习应掌握 n 阶行列式的概念和性质和计算方法 第一节 二阶、三阶行列式和排列（2 课时）第二节 n 阶行列式的概念（2 课时）第三节 行列式的性质（2 课时）第四节 行列式的依行依列展开式（2 课时）

12、第五节 Cramer法则，拉普拉斯(Laplace)定理的结论（2 课时）第六节 行列式的计算（2 课时）本章教学重点及难点：n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。第三章 线性方程组 本章在理论上解决了线性方程组有无解的判定,解的个数和求法,对中学数学教学有直接的指导意义,另外,它在本课程及数学的其它分支.生产实践及科学技术中有着较广泛的使用.第一节 线性方程组的高斯消元法及矩阵概念（2 课时）第二节.n 元向量及 n 维行向量空间.（2 课时）第三节.线性方程组有解的

13、判别法（2 课时）第四节 线性方程组解的结构（2 课时）本章教学重点及难点：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、线性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性方程组有解的全部解。第四章 矩阵 线性方程组和矩阵是线性代数的主要研究对象，本章通过对矩阵的运算，可逆矩阵，矩阵的秩，逆矩阵的求法及矩阵乘积行列式的学习。利用矩阵理论解决线性方程组有无解的判别法、解的个数、解的求法，它们对中学数学教学有直接的

14、指导意义。第一节 矩阵的运算（3 课时）第二节 可逆矩阵（2 课时）第三节 初等矩阵及性质（4 课时）第四节 逆矩阵的求法及矩阵乘积行列式（4 课时）第五节 矩阵的秩及求法（2 课时）第六节 分块矩阵及其使用（4 课时）本章教学重点及难点：矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩和它的因子的秩的关系、可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n 阶方阵可逆的充要条 件、用公式法求逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆；第五章 二次型（12 学时）二次型的理论起源于分析几何中二次曲线和二次曲面的分类，是中学有关教材的深入和提高，也是线性代数的一个主要研究对象，本章

15、主要介绍化二次型为标准形和正定二次型的判定 1.掌握二次型的概念及二次型和对称矩阵的一一对应关系.2.了解二次型的标准形,掌握化二次型为标准形的方法.3.掌握矩阵的合同概念及性质.4.掌握正定二次型的概念和判别法.第一节 二次型的矩阵表示 第二节 标准形 第三节 正定二次型 本章教学重点及难点：非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型和其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准型、复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。第六章 线性空间(28学时)本章主要介绍向量空间的概念和性质，向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技

16、术的许多领域中有着广泛的使用 第一节向量空间和子空间的定义 第二节向量的线性相关性(n 元向量空间有关概念的推广)第三节基和维数的概念及求法 第四节坐标 第五节向量空间的同构 第六节线性方程组解的结构 本章学习重点及难点：线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n维线性空间的概念及性质、基变换和坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交和和、维数公式、线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。第七章 线性变换(28学时)线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换，它是线性代数研究的一个主要对象，对于研讨向量空间中向量和向量的内在联糸

17、及向量空间的结构起着重要的作用本章主要介绍线性变换的运算，性质，线性变换和矩阵的关糸及矩阵的相似和化简 第一节线性映射的概念 第二节线性变换的运算 第三节线性变换和矩阵 第四节不变子空间 第五节特征值和特征向量 第六节可以对角化的矩阵 本章学习重点及难点：线性变换的定义及性质、线性变换的运算、线性变换和矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、求矩阵的特征值和特征向量、相似矩阵和它们的特征多项式的关系、线性变换在某一组基下的矩阵为对角型的充要条件、线性变换的值域、核、秩、线性变换的值域和它对应的矩阵的秩的关系、不变子空间的定义。第八章 矩阵（选学，我们

18、没讲）第九章 欧氏空间(18学时)欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广，本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换 第一节定义和基本概念 第二节正交基 第三节正交变换 第四节对称变换 本章学习重点及难点：欧氏空间的定义及性质向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、欧氏空间同构的意义及同构和空间维数之间的关系、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换和向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系、用正交变换化实二次型为标准形。第十章 双线性函数 三、学习作业 1 作业说明 作业是学员巩固所学内容的一个重要手

19、段，也是理论联系实际的重要途径，又是反映学员平时自学情况的一个重要依据。因此，要求每位学员认真完成。做习题是学好高等代数这门课程的一个重要环节。高等代数的习题以教材为主，包括巩固概念，基本运算及能力的提高等方面，所选的习题以教材中的基本习题为主。通过习题，一方面加深学员对课本内容的理解，提高他们的运算能力及解决实际问题的能力；另一方面通过作业反馈；给施教者学员学习的基本信息。作业应注意的事项：1 不要抄袭他人作业，一旦发现抄袭行为本课程作业以零分计，2 作业上写清自己的姓名，学号及详细地址。3 作业必须在规定时间交上。2 作业应注意的事项 要求每位学员在正确理解各种定义、定理的基础上参照所讲例

20、题正确做好作业。学员必须按时、独立完成作业。作业成绩评定采用百分制。三次作业分别以 10计入总成绩。每次作业须注明姓名和学员。要求字迹清晰工整。作业用纸用十六开稿纸，装订整齐。凡不交作业者，成绩以 0 分计。四、成绩评核 本课的评核成绩包括平时的表现(出勤和表现)，教师评改作业和期终测试三部分。其中作业按要求收交，每次占总成绩的10，总计占总成绩 30。面授期间的出勤和表现占总成绩的10，期末测试占总成绩的 60。作业评核要求 该课程总计有 3 份教师批改作业，其中有一份作业是一篇课堂教学新设计的教案，所有批改作业都计入总成绩，所占比例如上所述。作业具体要求如下：1.作业和测试评分采用百分制，

21、及格分数都为60 分；2.字迹清晰，工整，对书写无法辨认或零乱者记O 分；3.条理分明，正确率高；4.有清晰的证据显示你曾研读课本和辅导材料；5.作业的每页中须在左、右留有适当的空白，便于批改；6.每次作业注明姓名，学号；7.严禁互相抄袭作业，如若发现有抄袭现象者，该次作业将以O 分记，同时被抄袭者也将同样处置；8.所使用数学符号须规范，一律用铅笔作图，尽可能使用工具(直尺，圆规，三角板等)并且标记要清楚明了。无法辨认或随意作图者，记0 分 9.根据评分标准，每个成绩等级的要求如下：10085 分：要取得这一等级，必须达到以上各项要求；8470 分：正确率达到 80以上，字迹，图形清晰易辨认；

22、6069 分：正确率达到 70以上，字迹，图形易辨认；4059 分：正确率达到 50以上，字迹，图形能辨认；40分以下：错误率较高或者有 8、9、10 条现象者；凡不交作业者，一律 0 分处理。期终测试要求：测试须在指定时间进行，过期不再给机会；严禁作弊，对发现的作弊者将取消测试资格；书写清晰、可辨，作图尽可能用工具：本课要取得合格成绩，教师评改作业及期末测试必须同时及格。本课程评核的基本要求 本课程共有三十六次作业，测试的成绩占总成绩的70。平时作业占 10。中考成绩 20。作业评核要求 是每位学生完成作业的数量、质量、书写整齐程度及是否按规定的时间交作业作出评核。不交作业者按 0 分计。期终测试要求 1.测试必须在指定日期和时间进行，过期不补。2.测试时间两小时。3.测试前须做好扎实的准备工作，认真研究教材和辅导材料及课程自学指导手册。4.测试方式 闭卷测试，考查基本知识的掌握程度。5.严禁测试作弊。对发现的作弊者，取消测试资格。