七桥问题等.pdf

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1、“七大千年数学难题”之一的庞加莱猜想，是本次国际数学家大会讨论的焦点。其实，除了“七大千年数学难题”之外，数学史上还有一些有趣的数学难题给人留下深刻印象。哥德巴赫猜想 提出者：德国教师哥德巴赫；提出时间：1742年；内容表述：任何一个大于2 的偶数都可以表示为 两个素数之和；研究进展：尚未完全破解。费马大定理 提出者：法国数学家费马；提出时间：1637年；内容表述：x 的 n 次方加 y 的 n 次方等于 z 的 n 次方，在 n 是大于2 的自然数时没有正整数解；研究进展：由英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。四色猜想 提出者：英国学生格思里；提出时间：1852年；

2、内容表述：每幅地图都可以用4 种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色；研究进展：于1976年被计算机验证。女生散步问题 提出者：英国数学家柯克曼；提出时间：1850年；内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3 人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次；研究进展：已获证明。七桥问题 提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今俄罗斯加里宁格勒）；提出时间：18世纪初；内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7 座桥横跨这两条支流，问一名散步者能否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地。故事背景 七桥问题 七桥问题 Seve

3、n Bridges Problem 18 世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于 1736 年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。有关图论研究的热点问题。18 世纪初普鲁士的柯尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）一笔画问题。他不仅

4、解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为 0 或 2.当 Euler 在 1736 年访问 Konigsberg,Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg 城中有一条名叫 Pregel 的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。Euler 把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示 著名数学家欧拉。后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点

5、以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的 7 座桥是不可能的。也

6、就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！编辑本段最终成果 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有 5040 种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。1735 年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，

7、于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？1736 年，在经过一年的研究之后，29 岁的欧拉提交了 哥尼斯堡七桥的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支-图论。在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用 A、B、C、D 四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由 A或 C 为起点得到的效果是一样的，若假设以 A 为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，

8、若我们定义进入 A 的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与 A 有关的线的条数为 A 的度，则 A 的出度和入度是相等的，即 A 的度应该为偶数。即要使得从 A 出发有解则A 的度数应该为偶数，而实际上 A 的度数是 3 为奇数，于是可知从 A 出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是5、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。由此我们得到:欧拉回路关系 由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1.图形必须是连通的。2.途中的“奇点”个数是 0 或 2.我们也可以依此来检验图形是不是可

9、一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4 个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。七桥问题 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的哥尼斯堡 7 座桥的论文报 告 加里宁格勒地理 中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证

10、明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。此题被人教版小学数学第十二册书收录.在 95 页。此题也被人教版初中第一册收录 在121 页 一笔画：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)用 0115 分布

11、代表 15 个女生,下面的组合就能满足题意:星期日:01 02 03 04 08 12 05 10 15 06 11 13 07 09 14 星期一:01 04 05 02 08 10 03 13 14 06 09 15 07 11 12 星期二:01 06 07 02 09 11 03 12 15 04 10 14 05 08 13 星期三:01 08 09 02 12 14 03 05 06 04 11 15 07 10 13 星期四:01 10 11 02 13 15 03 04 07 05 09 12 06 08 14 星期五:01 12 13 02 04 06 03 09 10 05

12、 11 14 07 08 15 星期六:01 14 15 02 05 07 03 08 11 04 09 13 06 10 12 “21 个女生10 天的”的完整提法是；“某校的 21 个学生，每天都要进行编组，以 3 人一行的方式活动 1 次，问如何安排，才能使每 1 学生在连续 10 天中都能与其他20 名学生在 3 人行中各活动 1 次”。这也就是著名的寇克曼 15 个女生散步问题的最相似的扩展型问题。科克曼问题确实是世界难题。但敬告 LZ，科克曼女生问题，早就解决了，更进一步的，斯坦尼问题也解决了。我国业余数学家陆家羲早在 50 多年前就解决了，为此，他获得了国家自然科学一等奖。陆先生

13、已经早逝。另，lZ 应该知道什么叫同构，如果把 1，2，3，4，分别随便换成 5，3，7，9，或者别的什么，结果两个方案一样，那么这就是同一个方案，所以，科克曼女生问题的不同设计方案只有 13 个，不存在什么几百个，你的这些方案并不是独立的，只是几个方案的不同变换而已。寇克曼女生问题是英国数学家寇克曼(Kirkman)于 1847年提出的：“能否把 15 名女生，在同一天里分成每 3 人一组（共 5 组）结伴出游，在每周 7 天的安排中，任意 2 人恰好结伴一次”。翌年，他公布了自己给出的一个答案。1850 年，当时著名的数学家 Jamcs Joscpti Sylvester和 Arther

14、Cayley 两人将此命题扩展为：“能否把 15 名女生，在同一天里分成每 3人一组（共 5组）结伴出游；在每周 7天的安排中，任意 2 人恰好结伴一次在进行的13 周中，任意 3 个人恰结伴一次。”扩展后的命题直到 120 年后才由美国数学家(Denniston)用电子计算机辅助产生一个具体的完全解。因此，我们今天所指的寇克曼女生问题是一个著名世界难题，应该指其扩展后的完整命题。对该命题的完整理解，应分两段：前一段条件是，在每周 7 天的安排中，任意 2 人都恰好能结伴一次。也就是在每周 7 天的安排中，任意 1 个人都能恰好地与其他 1 个人结伴同行一次。后一段条件是，在进行的 13 周安

15、排中，任意的 3 个人都能恰好结伴同行一次。后一段条件也可以理解为在进行的 13 周安排中，任意的 2 个人都能与其他第 3 人结伴同行一次。解出满足前一个条件“在每周 7 天的安排中，任意 2 人都恰好能结伴一次”的解，只能说是局部解。同时再解出满足后一个条件“在进行的 13 周安排中，任意的 3 个人都能恰好结伴同行一次”的解，才叫做完全解。所以，每一个完全解应包涵有 13 周的局部解。目前许多数学爱好者，由于对该命题的片面认识，认为完成了“在每周 7 天的安排中，任意 2 人都恰好能结伴一次”的解，即“破解”了寇克曼女生问题。这是十分错误的。因为这仅仅是其中的一个局部解而已。真正的完全解

16、必须具有 13 周安排，在每周 7 天的安排中，必须要满足“任意 2人都恰好能结伴一次”的条件，且还要满足 13 周安排中，“任意的 3个人都能恰好结伴同行一次”的条件。黄先生与许多数学爱好者所提出的解，均属寇克曼女生问题的局部解。这是包括寇克曼本人在内的许多数学家早已解决的问题。(福州 林资治）质数，又称素数，指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有 1 和本身两个因数的数）。比 1 大但不是素数的数称为合数。1 和 0 既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。关于素数最小的素数是 2，也是素数中唯一的偶数（双数）；其他素数都是

17、奇数（单数）。质数有无限多个，所以不存在最大的质数。围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。素数序列的开头是这样的：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151 (OEIS:A000040)素数集合有时表示成粗体。在抽象代数的一个分支环论中，素元素有特殊的含义，在这个含义下，任何素数的加法的逆转也是素数。换句话说，将整数 Z 的集合看成是一个环，-Z 是一个素元素。但是在数学领域内

18、，提到素数时通常指正的素数。算术基本定理证明每个大于 1 的正整数都可以写成素数的乘积，并且这种乘积的形式是唯一的。因此素数也被称为自然数的“建筑的基石”。例如：关于分解的详细方法，可见于整数分解条目。这个定理的重要一点是，将 1 排斥在素数集合以外。如果 1 被认为是素数，那么这些严格的阐述就不得不加上一些限制条件。0 由于可以被任何数整除（因余数一定等于 0），所以它不符合素数的定义。编辑 素数的数目编辑 素数无穷性的证明素数有无穷多个。现在已知最早的证明方法是欧几里得在他的几何原本中提出的，该证明方法如下：假设只有有限个素数。令。那么，N+1 是素数或者不是素数。如果 N+1 为素数，则

19、 N+1 要大于，所以它不在那些假设的素数集合中。如果 N+1 为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而 N 和 N+1 的最大公约数是 1，所以 N+1 不可能被整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家也给出了他们自己的证明。欧拉利用黎曼 函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特库默的证明更为简洁，Hillel Furstenberg 则

20、用拓扑学加以了证明。编辑 对于一定范围内的素数数目的计算尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100000 以下有多少个素数?”，“一个随机的 100 位数多大可能是素数?”。素数定理可以回答此问题。编辑 寻找素数寻找在给定限度内的质数排列，埃拉托斯特尼筛法是个很好的方法。然而在实际中，我们往往是想知道一个给定数是否是质数，而不是生成一个质数排列。进而，知道是质数的概率有多大就是可以了。用素性测试迅速地检查一个给定数（例如，有几千位数的长度）是否是质数是可能的。典型的方法是随机选取一个数，然后围绕着这个数和可能的质数 N 检查一些方程式。重复这个过程几次后，它可以基本确定这个数是明显的合数或者可

21、能是质数。这种方法是不完美的：对某些测试而言，例如费马测试，不论选取了多少随机数都有可能将一些合数判断成可能的质数，这就引出了伪质数。而像米勒-拉宾测试，虽然只要选取够多的数字来检验方程式，就可以保证其检验出的质数性是正确的；但这个检验的数量太过庞大，甚至比试除法所需的还要多，在有限的时间内只能知道答案正确的概率很高，不能保证一定正确。数学家一直努力找寻产生质数的公式，利用一条定理，可以正确产生所有的质数（参见素数判定法则和质数公式）。历史上有许多试验的例子：17 世纪初法国数学家梅森（Mersenne）在他的一个著作当中讨论了这样一种我们现在称之为梅森质数的质数，Mp=，本来以为只要是一个质

22、数，就会是一个质数，这在，都是正确的，但是时就不是质数了。目前最大的已知质数是梅森质数（此数字位长度是），它是在 2008 年 8 月 23 日由 GIMPS发现。这组织也在 2008 年 9 月 6 日发现了目前所知第二大的已知质数（此数字位长度是）。编辑 素数算法欲求出小于 x 的所有素数参见素数公式 编辑 检验素数检查一个正整数是否为素数，最简单的方法就是试除法，将该数用小于等于的所有素数去试除，若均无法整除，则为素数，参见素数判定法则。2002 年，印度人 M.Agrawal、N.Kayal 以及 N.Saxena 提出了 AKS 质数测试算法，证明了可以在多项式时间内检验是否为素数。

23、编辑 已经证明的定理在一个大于 1 的数 a 和它的 2 倍之间（即区间(a,2a中）必存在一个素数。存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004 年）一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多祇有 9 个质因数。（挪威数学家布朗，1920 年）一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由 5 个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为(1+5)(中国潘承洞，1968 年)一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由 2 个质因子所组成的合成数。简称为(1+2)(中国陈景润)编辑 未解之谜

24、哥德巴赫猜想：是否每个大于 2 的偶数都可写成两个素数之和？孪生素数猜想：孪生素数就是差为 2 的素数对，例如 11 和 13。是否存在无穷多的孪生素数？斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？是否存在无穷多的梅森素数？在与之间是否每隔 n 就有一个素数？是否存在无穷个形式如 X+1 素数？黎曼猜想 编辑 素数的应用素数近来被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入素数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找素数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的素数次数的使用也得到了证明。实验表明，素数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。编辑 高斯素数高斯素数是把素数在内的扩展。高斯素数是不能非平凡地表示为两个复整数的乘积的复整数，例如 1+2i。型如的素数是中的素数，但不是中的素数，例如 13=(3-2i)(3+2i)。编辑 参见