三角形及三角函数公式.pdf

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1、 三角函数一共有 6 个:直角三角形中:正弦:sin 对边比斜边 余弦:cos 邻边比斜边 正切:tan 对边比邻边 余切:cot 邻边比对边 正割:csc 斜边比对边 余割:sec 斜边比邻边 设三角形三个内角分别为 A,B,C;对边分别为 a,b,c 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,(R 为该三角形外接圆半径)余弦定理:c2=a2+b2-2abcosC b2=a2+c2-2accosB a2=b2+c2-2bccosA 由余弦定理可推导出:a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 海仑公式:SABC=p(p-a)(p-b)

2、(p-c),而公式里的 p 为半周长:p=(a+b+c)/2 1 三角函数公式大全 一,诱导公式 口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1.sin(+k360)=sin cos(+k360)=cos a tan(+k360)=tan 2.sin(180+)=-sin cos(180+)=-cosa 3.sin(-)=-sina cos(-a)=cos 4*.tan(180+)=tan tan(-)=tan 5.sin(180-)=sin cos(180-)=-cos 6.sin(360-)=-sin cos(360-)=cos 7.sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin 8*.Si

3、n(3/2-)=-cos cos(3/2-)=-sin 9*.Sin(/2+)=cos cos(/2+a)=-sin 10*.sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)=sin 二,两角和与差的三角函数 1.两点距离公式 2.S(+):sin(+)=sincos+cossin C(+):cos(+)=coscos-sinsin 3.S(-):sin(-)=sincos-cossin C(-):cos(-)=coscos+sinsin 4.T(+):T(-):5*.三,二倍角公式 1.S2:sin2=2sincos 2.C2a:cos2=cos2-sin2a 3.T2:tan2=(2tan

4、)/(1-tan2)4.C2a:cos2=1-2sin2 cos2=2cos2-1 四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式 asin+bcos=sin(a+),其中 tan=b/a,其终边过点(a,b)asin+bcos=cos(a-),其中 tan=a/b,其终边过点(b,a)2.降次,配方公式 降次:sin2=(1-cos2)/2 cos2=(1+cos2)/2 配方 1sin=sin(/2)cos(/2)2 1+cos=2cos2(/2)1-cos=2sin2(/2)3.三倍角公式 sin3=3sin-4sin3 cos3=4cos3-3cos 4.万能公式 5.和差化积公式 s

5、in+sin=书 p45 例 5(2)sin-sin=cos+cos=cos-cos=6.积化和差公式 sinsin=1/2sin(+)+sin(-)书 p45 例 5(1)cossin=1/2sin(+)-sin(-)sinsin-1/2cos(+)-cos(-)coscos=1/2cos(+)+cos(-)7.半角公式 书 p45 例 4 小计:57 个 另：三角函数口诀 三角知识，自成体系，记忆口诀，一二三四。一个定义，三角函数，两种制度，角度弧度。三套公式，牢固记忆，同角诱导，加法定理。同角公式，八个三组，平方关系，导数商数。诱导公式，两类九组，象限定号，偶同奇余。两角和差，欲求正弦，

6、正余余正，符号同前。两角和差，欲求余弦，余余正正，符号相反。两角相等，倍角公式，逆向反推，半角极限。加加减减，变量替换，积化和差，和奇互变。三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(

7、cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2 A)Sin2A=2SinACosA Cos2A=Cos2 A-Sin2 A =2Cos2 A1 =12sin2 A 三倍角公式 sin3A=3sinA-4(sinA)3;cos3A=4(cosA)3-3cosA tan3a=tan a tan(/3+a)tan(/3-a)半角公式 sin(A/2)=(1-cosA)/2 cos(A/2)=(1+cosA)/2 tan(A/2)=(1-cosA)/(1+cosA)cot(A/2)=(1+cosA)/(1-cosA)tan(A/2)=(1-cosA)/s

8、inA=sinA/(1+cosA)和差化积 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2 sin(a)-sin(b)=2cos(a+b)/2sin(a-b)/2 cos(a)+cos(b)=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2 cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差 sin(a)sin(b)=-1/2*cos(a+b)-cos(a-b)cos(a)cos(b)=1/2*cos(a+b)+cos(a-b)sin(a)cos(b)=1/2*sin(a+b)+sin(a

9、-b)cos(a)sin(b)=1/2*sin(a+b)-sin(a-b)诱导公式 sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(/2-a)=cos(a)cos(/2-a)=sin(a)sin(/2+a)=cos(a)cos(/2+a)=-sin(a)sin(-a)=sin(a)cos(-a)=-cos(a)sin(+a)=-sin(a)cos(+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA 万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/1+tan(a/2)2 cos(a)=1-tan(a/2)2/1+tan(a/2)2 tan(a)=2tan(a/2)/1-ta

10、n(a/2)2 其它公式 asin(a)+bcos(a)=(a2+b2)*sin(a+c)其中，tan(c)=b/a asin(a)-bcos(a)=(a2+b2)*cos(a-c)其中，tan(c)=a/b 1+sin(a)=sin(a/2)+cos(a/2)2;1-sin(a)=sin(a/2)-cos(a/2)2;其他非重点三角函数 csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)双曲函数 sinh(a)=ea-e(-a)/2 cosh(a)=ea+e(-a)/2 tg h(a)=sin h(a)/cos h(a)公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：si

11、n（2k）=sin cos（2k）=cos tan（2k）=tan cot（2k）=cot 公式二：设 为任意角，+的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（）=-sin cos（）=-cos tan（）=tan cot（）=cot 公式三：任意角 与-的三角函数值之间的关系：sin（-）=-sin cos（-）=cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到-与 的三角函数值之间的关系：sin（-）=sin cos（-）=-cos tan（-）=-tan cot（-）=-cot 公式五：利用公式-和公式三可以得到 2-与 的三角函数值之间的关

12、系：sin（2-）=-sin cos（2-）=cos tan（2-）=-tan cot（2-）=-cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）=cos cos（/2+）=-sin tan（/2+）=-cot cot（/2+）=-tan sin（/2-）=cos cos（/2-）=sin tan（/2-）=cot cot（/2-）=tan sin（3/2+）=-cos cos（3/2+）=sin tan（3/2+）=-cot cot（3/2+）=-tan sin（3/2-）=-cos cos（3/2-）=-sin tan（3/2-）=cot cot（3/2-）=

13、tan 辅助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)sin(+）（tan=B/A）Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B）降幂公式 sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2)三角和的三角函数：sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=cos cos cos-cos sin sin-sin cos sin-sin sin cos tan(+)=(tan+tan+tan-tan tan

14、tan)/(1-tan tan-tan tan-tan tan)1直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC 中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosBca，cosAsinBcb，tanAba。2斜三角形中各元素间的关系：如图 6-29，在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 RCcBbAa2sinsinsin。（R 为外接圆半径）（3）

15、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）21aha21bhb21chc（ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高）；（2）21absinC21bcsinA21acsinB；（3）)sin(2sinsin2CBCBa)sin(2sinsin2ACACb)sin(2sinsin2BABAc；（4）2R2sinAsinBsinC。（R 为外接圆半径）（5）Rabc4；（6）)()(csbsass；)(21cbas；（7）rs。4解三角形：

16、由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=；（2）边与边关系：a+b c，b+c a，c+a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理 RCcBbAa2sinsinsin（R 为外接圆半径

17、）；余弦定理 c2=a2+b22bccosC，b2=a2+c22accosB，a2=b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a=2R sinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换 因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60；ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。