专题01多面体与球的切接问题(第四篇)(原卷版).pdf

《专题01多面体与球的切接问题(第四篇)(原卷版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题01多面体与球的切接问题(第四篇)(原卷版).pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第1页，共 7 页 最新高考数学压轴题命题区间探究与突破专题 第四篇 立 体 几 何 专题 01 多面体与球的切接问题 一方法综述 多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的相切、接问题时,一般先过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点,P A B C构成的三条线段,PA PB PC两两互相垂直,且,PAa PBb PCc一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据222

2、24Rabc求解.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.二解题策略 类型一 球与柱体的切接问题【例 1】【2020河南濮阳期末】已知长方体1111ABCDABC D的表面积为208，118ABBCAA，则该长方体的外接球的表面积为（）A116 B106 C56 D53【例 2】【2020全国高三专题练习】已知正四棱柱1111ABCDABC D的每个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为12，则该四棱柱的侧面积的最大值为_.【例 3】【河南省 2018 年高考一模】已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面 ABC，若有一半径为 2 的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为_【指点迷津】1.如图 1

3、 所示，正方体1111DCBAABCD,设正方体的棱长为a，GHFE,为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆，则2arOJ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则aROG22；第2页，共 7 页 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11AACC和其外接圆，则231aROA.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.2.长方体各顶点可在一个球面上，故长方

4、体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,a b c其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22labcR 3.球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111CBAABC 的高为h，底面边长为a，如图 2 所示，D和1D分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD的中点O，aADRAOhOD33,2，借助直角三角形AOD的勾股定理，可求22332ahR.【举一反三】第3页，共 7 页 1.【2020 湖北省荆州市荆州

5、中学模拟】在直三棱柱中，则其外接球与内切球的表面积之比为 A B C D 2.【2020陕西省铜川期末】已知正四棱柱1111ABCDABC D的每个顶点都在球的O球面上，若球O的表面积为12，则该四棱柱的侧面积的最大值为（）A12 2 B18 2 C16 D18 类型二 球与锥体的切接问题【例 4】【2020四川绵阳期末】已知三棱锥 P-ABC 中，PA=4，AB=AC=23，BC=6，PA面 ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A16 B32 C64 D128【例 5】【2020江西九江一中月考】已知三棱锥ABCD中，5ABCD，2ACBD，3ADBC，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上

6、，则此球的体积为（）A32 B24 C6 D6【例 6】【2020 云南师大附中月考】四边形ABDC是菱形，60BAC，3AB，沿对角线BC翻折后，二面角ABCD的余弦值为13，则三棱锥DABC的外接球的体积为（）A5 B6 C7 D2 2【指点迷津】1.球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系.如图 4，设正四面体ABCS 的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为R，取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接SESDCD,为正四面体的高.在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上

7、的圆，即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O.此时，第4页，共 7 页,33,32,aCEaSErOEROSCO则有2222233aRraRrCE，=，解得：66,.412Ra ra这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.2.球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等，

8、则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图 5，三棱锥111DABA 的外接球的球心和正方体1111DCBAABCD 的外接球的球心重合，设aAA 1，则aR23.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，4422222lcbaR（l为长方体的体对角线长）.第5页，共 7 页 3.球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个

9、面的距离相等，都为球半径R这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.4.球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解.【举一反三】1.已知正四面体 A-BCD 的棱长为 12，则其内切球的表面积为()A12 B16 C20 D24 2.【2020天津中学月考】在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，且ABC为等边三角形，2APAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A272 B283 C263 D252 3.【2020安徽省六安一中月考】已知四棱锥PABCD中，底面

10、四边形ABCD为等腰梯形，且/AB CD，12ABCD，PAPBAD，4 3PAADCD=，若平面PAB 平面ABCD，则四棱锥PABCD外接球的表面积为_.三强化训练 1.【2020黑龙江哈尔滨三中月考】已知三棱锥OABC中，A，B，C三点在以O为球心的球面上，若2ABBC，120ABC，且三棱锥OABC的体积为3，则球O的表面积为（）A323 B16 C52 D64 2.【2020河北邯郸一中月考】圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，第6页，共 7 页 则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A9:32 B8:27 C9:22

11、 D9:28 3.【2020四川泸县四中月考】三棱锥DABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为 3 的正三角形.若球O的表面积为16，则三棱锥DABC体积的最大值为（）A9 34 B3 32 C2 3 D3 3 4.【2020广东深圳中学期末】在三棱锥PABC中，2 5PAPBPC，2 3ABACBC，则三棱锥PABC外接球的体积是（）A36 B1256 C323 D50 5.【2020甘肃省甘南期末】已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥PABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥PABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（）A7

12、:4 B2:1 C3:1 D5:3 6.【2020全国高三专题练习】在正方体1111ABCDABC D中，E 为棱11AB上一点，且2AB，若二面角11BBCE为45，则四面体11BBC E的外接球的表面积为（）A172 B12 C9 D10 7【2020湖南株洲一中月考】SC是球O的直径，A、B是该球面上两点，3AB，30ASCBSC，棱锥SABC的体积为3，则球O的表面积为()A4 B8 C16 D32 8.【2020河南南阳中学月考】平行四边形ABCD中，ABD是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD，现将ABD沿BD折起，使二面角ABDC大小为23，若,A B C D四点在同一球面上，则该球的表面积为_.9【2020 河北石家庄一中月考】一个圆锥的母线长为 2，圆锥的母线与底面的夹角为4，则圆锥的内切球的表面积为 10.【2020 关系北海一中期中】已知正方形ABCD的边长为2 2，将ABC沿对角线AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到如图所示的三棱锥BACD，若O为AC边的中点，M，N分别为DC，BO上的动点（不 第7页，共 7 页 包括端点），且BNCM，设BNx，则三棱锥NAMC的体积取得最大值时，三棱锥NADC的内切球的半径为