世界近代三大数学难题之一.pdf

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1、世界近代三大数学难题之一 2 作者：日期：3/7 世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690 年，1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6 的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如 63+3，125+7 等等。公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一个=6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个=9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6 月 30 日

2、给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如:6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13,.等等。有人对 33108 以内且大过 6 之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200 年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此

3、成为数学皇冠上一颗可望不可及的明珠。到了 20 世纪 20 年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9 十 9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫。目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 1966 年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem)?任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。通常都简称这个结果为大偶数可表示为 1+2 的形式。在陈景润之前，关於偶数可表示

4、为 s 个质数的乘积 与 t 个质数的乘积之和(简称s+t 问题)之进展情况如下:1920 年，挪威的布朗(Brun)证明了 9+9。1924 年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了7+7。1932 年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 6+6。1937 年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了5+7,4+9,3+15 和2+366。1938 年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了5+5。1940 年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 4+4。1948 年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了1+c，其中 c 是一很大的自然 数。1956 年，中国的王元证明了

5、 3+4。1957 年，中国的王元先後证明了 3+3 和 2+3。1962 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 1+5，中国的王元证明了1+4。1965 年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了1+3。1966 年，中国的陈景润证明了 1+2。最终会由谁攻克 1+1 这个难题呢？现在还没法预测。哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，无数数学家为了攻克这一难关进行了许多努力，甚至是为之奋斗终生。虽然哥德巴赫猜想现在尚未被解决；但是，在这 250 余年来的解题过程中却诞生了许许多多的数学方法，

6、这为解决其他的数学问题提供了有力的帮助。从这个角度来看，哥德巴赫猜想的实际意义已经远远超过证明一个数学命题的本身了 4/7 费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。它断言当整数 n 2 时，关于 x,y,z 的方程 xn+yn=zn 没有正整数解。被提出后，历经三百多年的历史，最终在 1995 年被英国数学家安德鲁怀尔斯证明。四色定理是一个著名的数学定理。它指出，如果将平面分成一些邻接的区域，那么可以用不多于四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。另一个通俗的说法是：每个（无飞地的）地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。被

7、称为邻接的两个区域是指它们有一段公共的边界，而不仅仅是一个公共的交点。例如右图左下角的四色圆盘中，红色部分和绿色部分是邻接的区域，而黄色部分和红色部分则不是临界区域。尽管四色定理最初提出是和地图染色工作有关，但四色定理本身对地图着色工作并没有特别的意义。据凯尼斯梅在一篇文章中所言：“（实际中）用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种颜色来染色。制图学和地图制图史相关的书籍也没有四色定理的记载。”一些简单的地图只需要三种颜色就够了，但有时候第四种颜色也是必须的。比如说当一个区域被三个区域包围，而这三个区域又两两相邻时，就得用四种颜色才行了。“是否只用四种颜色就能为所有地图染

8、色”的问题最早是由一位英国制图员在 1852 年提出的，被称为“四色问题”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表了四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。1977 年，数学家凯尼斯阿佩尔（英语：Kenneth Appel）和沃夫冈哈肯（英语：Wolfgang Haken）借助电子计算机首次得到了一个完全的证明，四色问题也终于成为了四色定理。这是首个主要由计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能

9、接受，但仍有数学家对四色定理的证明存疑。1736 年 29 岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了哥尼斯堡的七座桥的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新进程。问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。5/7 七桥问题 七桥问题 Seven Bridges Problem 18 世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个

10、岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于 1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。有关图论研究的热点问题。18 世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为 0 或 2.

11、编辑本段推断方法 当 Euler 在 1736 年访问 Konigsberg,Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg 城中有一条名叫 Pregel 的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。Euler 把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示 著名数学家欧拉。6/7 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每

12、行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7 座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题，

13、竟是这么一个出人意料的答案！编辑本段最终成果 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有 5040 种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。1735 年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？1736 年，在经过一年的研究之后，29 岁的欧拉提交了哥

14、尼斯堡七桥的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支-图论。在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。并由此得到了如图一样的几何图形。若我们分别用 A、B、C、D 四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由 B 或 C 为起点得到的效果是一样的，若假设以 A 为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入 A 的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与 A 有关的线的条数为 A 的度，则

15、 A 的出度和入度是相等的，即 A 的度应该为偶数。即要使得从 A 出发有解则 A 的度数应该为偶数，而实际上 A 的度数是 5 为奇数，于是可知从 A 出发是无解的。同时若从 B 或 D 出发，由于 B、D 的度数分别是 3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。由此我们得到:欧拉回路关系 由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：1.图形必须是连通的。2.途中的“奇点”个数是 0 或 2。我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。回头也可以由此来判断“七桥问题”，4 个点全是奇点，可知图不能“一笔画

16、出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。7/7 七桥问题 1736 年，欧拉在交给彼得堡科学院的哥尼斯堡 7 座桥的论文 加里宁格勒地理 报 告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支拓扑学的建立奠定了基础。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为 欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。此题被人教版小学数学第十二册书收录.在 95 页。此题也被人教版初中第一册收录在 121 页。一笔画：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)