专题8《平面解析几何》第4讲双曲线2022届高考数学一轮复习讲解.pdf

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1、第 4 讲 双曲线 考 点 解 读 知识点一：双曲线的定义 1.第一定义：平面内到两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.注意：若 2a|F1F2|，则轨迹为双曲线；若 2a|F1F2|，则轨迹为两条射线；若 2a|F1F2|，则轨迹不存在 2.第二定义:平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e1)的点的轨迹是双曲线.定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常数 e 叫做双曲线的离心率.知识点二：双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，

2、b0)y2a2x2b21(a0，b0)图 形 几何 性 质 范 围 xa 或 xa；yR xR；ya 或 ya 对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点 焦点 F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点 A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴 实轴长|A1A2|2a，虚轴长|B1B2|2b 焦距|F1F2|2c 离心率 eca(e1)渐近线 ybax yabx a、b、c 的关系 c2a2b2 注意：双曲线的离心率决定了双曲线的形状，反映了双曲线的开口大小.当 e 越大，双曲线开口越大；当 e 越小，双曲线开口越小；实轴和虚轴等长的双曲线叫做

3、等轴双曲线，等轴双曲线具有以下性质：渐近线方程为 yx，它们互相垂直，且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；实轴长和虚轴长都等于 2a，离心率 e 2.解 题 模 板 题型一：双曲线定义的应用 例 1：已知双曲线的方程是x216y281，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F1的距离为 10，点 N 是 PF1的中点，求|ON|的大小(O 为坐标原点)例 2：已知 F1、F2分别是双曲线 x2y2241 的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且满足 3|PF1|4|PF2|，求|PF1|的值.例 3：已知 F1、F2分别是双曲线 x2y22 的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且满足|PF1|2|PF

4、2|，求F1PF2的余弦值.例 4：如图所示，双曲线x29y2161 的两个焦点为 F1、F2，点 P 在双曲线上，若 PF1PF2，求点 P 到 x 轴的距离.规律总结：把握住双曲线定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a，02a|F1F2|是解题的关键.题型二：求双曲线的标准方程 例 1：已知ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，且ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，求顶点 C 的轨迹方程 例 2：已知双曲线x2a2y2b21 的焦距为 10，且点 P(2，1)在双曲线的渐近线上，求该双曲线的标准方程.例 3：已知双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线平行于直线 y2x10，且双

5、曲线的一个焦点在直线 l 上，求该双曲线的标准方程.例 4：已知双曲线x2a2y2b21 的两条渐近线均和圆 x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，求 此双曲线的标准方程.例 5：在周长为 48 的 RtMPN 中，MPN90，tanPMN34，求以 M，N 为焦点，且过点 P 的双曲线方程 例 6：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，F1、F2分别是左、右焦点，双曲线的左支上有一点 P，F1PF260，且PF1F2的面积为 2 3，双曲线的离心率为 2，求该双曲线的标准方程.例 7：求与双曲线x29y2161 有共同渐进线，并且经过点(3，2 3)的双曲线的方程.规

6、律总结：求双曲线的标准方程通常是两种思路：定义法：根据定义确定 a2，b2的值，再根据焦点的位置写出标准方程.待定系数法：焦点不确定可设方程为：x2my2n1(mn0)；与双曲线x2a2y2b21 有共同渐近线的双曲线可设为x2a2y2b2.题型三：双曲线几何性质的应用 例 1：已知双曲线x2a2y2b21 的离心率为 2，焦点与椭圆x225y291 的焦点相同，求该双曲线的渐近线方程.例 2：已知 ab0，椭圆 C1的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2的方程为x2a2y2b21，C1与 C2的离心率之积为32，求双曲线 C2的渐近线方程.例 3：已知 F1，F2为双曲线x2a2y2b21

7、 的焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点 P 和 Q，且F1PQ 为正 三角形，求该双曲线的渐近线方程 例 4：已知点 P 在双曲线x2a2y2b21 上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边 长之比为 345，求该双曲线的渐近线方程.例 5：已知 F1，F2分别为双曲线x29y2271 的左、右焦点，点 A 在双曲线上，点 M 的坐标为(2，0)，AM 为F1AF2 的平分线，求|AF2|的值 题型四：双曲线的离心率问题 例 1：已知 F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点，且双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|

8、PF1|PF2|94ab，求该双曲线的离心率.例 2：已知 F 是双曲线x2a2y2b21 的一个焦点，若双曲线上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，求该双曲线的离心率 例 3：已知双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，若直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，求此双曲 线的离心率.例 4：如图所示，F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，求双曲线 C2的离心率.例 5：已知 F1，F2是双曲线x2a2y2b21 的两个焦点，P 是双曲线上一点.若|PF1|PF2|

9、6a，且PF1F2的最小内角为 30，求此双曲线的离心率 例 6：过双曲线x2a2y2b21 的左焦点 F 作圆 x2y2a24的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为PF 的中点，求此双曲线的离心率 例 7：已知 F1，F2是双曲线x2a2y2b21 的两个焦点，PQ 是经过 F1且垂直于 x 轴的双曲线的弦，若PF2Q90，求此双曲线的离心率 例 8：已知点 P 在双曲线x2a2y2b21 的右支上，双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，且|PF1|4|PF2|，求此双曲 线离心率的取值范围.规律总结：解决双曲线的离心率问题通常是两种思路：通过题中关系求出 a、c，

10、代入公式 eca即可求出.根据题中条件得到关于 a、b、c 的齐次式，然后结合 b2c2a2转化为关于 a、c 的齐次式，再给齐次式两边同时除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程或不等式，解之即可得解.题型五：双曲线中的距离问题 例 1：已知点 F 是双曲线x24y2121 的左焦点，定点 A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，求|PF|PA|的最小值 例 2：在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点，若点 P 到直线 xy10 的距离 大于 c 恒成立，求实数 c 的最大值 第 4 讲 双曲线 题型一：双曲线定义的应用 1.如图所示，连接 ON，

11、F2P，ON 是PF1F2的中位线，|ON|12|PF2|.|PF1|PF2|8，|PF1|10，|PF2|2 或 18，|ON|12|PF2|1 或 9.3.由题意知，|PF1|PF2|2|PF2|PF2|PF2|2 2，|PF1|4 2.又|F1F2|2224，在PF1F2中，由余弦定理得 cosF1PF24 222 224224 22 234.4.法一：由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a6 且 c2a2b225.两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36.又PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)2100.|PF1|PF2|32.设点 P 的坐标为(x0，y0)

12、，由PF1F2面积关系知：12|PF1|PF2|122c|y0|.|y0|PF1|PF2|2c3210165.即点 P 到 x 轴的距离为165.法二：由双曲线方程可知 F1(5,0)，F2(5,0)，|F1F2|10，设点 P 坐标为(x0，y0)，PF1PF2，kPF1kPF21，即y00 x05y00 x051，整理得 x20y2025.又点 P 在双曲线上，x209y20161.消去 x0，并解得 y2025625，|y0|165.即点 P 到 x 轴的距离为165.题型二：求双曲线的标准方程 1.如图，ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|C

13、E|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)3.双曲线的渐近线方程为 ybax，因为一条渐近线与直线 y2x10 平行，所以ba2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10 上，所以2c100，所以 c5.故由 c2a2b2，得 25a24a2，则 a25，b220，从而双曲线方程为x25y2201.4.圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是 2，双曲线的渐近线方程是bxay0，根据已知得3ba2b22，即3b32，解得 b2，则 a25，故所求的双曲线方程是x25y241.5.MPN 的周长为 48，

14、且 tanPMN34，设|PN|3k，|PM|4k，则|MN|5k.由 3k4k5k48 得 k4.|PN|12，|PM|16，|MN|20.以 MN 所在直线为 x 轴，以 MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示设所求双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)由|PM|PN|4 得 2a4，a2，a24.由|MN|20 得 2c20，c10.b2c2a296，所求双曲线方程为x24y2961.7.设所求双曲线的方程为x29y216(0)，将点(3,2 3)的坐标代入，得 14，所以双曲线的方程为x29y21614，即x294y241.题型三：双曲线几何性质的应用 2.椭圆 C1的离心率

15、为 e1c1aa2b2a，双曲线 C2的离心率为 e2c2aa2b2a.由题 e1e232，即a2b2aa2b2a32，a4b4a232.两边平方得a4b4a434，4a44b43a4，a44b4，b4a414，ba22，C2的渐近线方程为 y22x，即 x 2y0.3.法一：设 F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，代入方程得 y0b2a.PQx 轴，|PQ|2b2a.在 RtF1F2P 中，PF1F230，|F1F2|3|PF2|，即 2c 3b2a.又c2a2b2，b22a2或 2a23b2(舍去)，a0，b0，ba 2.故所求双曲线的渐近线方程为y 2x.法二：在 RtF1F2P 中

16、，PF1F230，|PF1|2|PF2|.由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，|PF2|2a，由已知易得|F1F2|3|PF2|，2c2 3a，c23a2a2b2，2a2b2，a0，b0，ba 2，故所求双曲线的渐近线方程为 y 2x.4.设F1PF2的三条边长为|PF1|3m，|PF2|4m，|F1F2|5m，m0，则 2a|PF2|PF1|m，2c|F1F2|5m，所以 b 6m，所以ba6m12m2 6，所以双曲线的渐近线方程是 y2 6x.5.如图，双曲线x29y2271 中，a29，b227，c2a2b236，F1(6，0)，F2(6，0)M(2，0)，|F1M|628，|F2M|

17、624.AM 为F1AF2的平分线，|AF2|AF1|MF2|MF1|4812.|AF1|2|AF2|，即点 A 在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得|AF1|AF2|2|AF2|AF2|AF2|2a6.题型四：双曲线的离心率问题 1.53 2.如图，F(c，0)，PF 中点 Q(0，b)，则 P(c，2b)，代入双曲线得，c2a24b2b21c2a2e25，e 5.4.C1与 C2的焦点 F1(3,0)，F2(3,0)，C1的焦距|F1F2|2 3.在 RtAF1F2中，|AF1|AF2|4，|AF1|2|AF2|212，可解得|AF2|AF1|2 2，故双曲线的离心率 e3262.5.设点

18、 P 在双曲线的右支上，由定义知|PF1|PF2|2a，又因为|PF1|PF2|6a，由得|PF1|4a，|PF2|2a，因为 ca，在PF1F2中，PF1F2为最小内角，PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 30，即 4a216a24c28 3ac.c22 3ac3a20，两边同除以 a2得，e22 3e30.解得 e 3.6.设 ca2b2，双曲线的右焦点为 F.则|PF|PF|2a，|FF|2c.E 为 PF 的中点，O 为 FF的中点，OEPF，且|PF|2|OE|.OEPF，|OE|a2，PFPF，|PF|

19、a，|PF|PF|2a3a，|PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，ca102.双曲线的离心率为102.7.设 F1(c,0)，将 xc 代入双曲线方程得c2a2y2b21，那么 yb2a.由|PF2|QF2|，PF2Q90，知|PF1|F1F2|，b2a2c，b22ac.c22aca20，(ca)22ca10.即 e22e10.e1 2或 e1 2(舍去)所以所求双曲线的离心率为1 2.8.根据双曲线定义|PF1|PF2|2a，设|PF2|r，则|PF1|4r，故 3r2a，即 r2a3，|PF2|2a3.根据双曲线的几何性质，|PF2|ca，即2a3ca，即ca53，即 e53.又 e1，故双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，53.题型五：双曲线中的距离问题 1.如图所示，根据双曲线定义|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，将|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等号当且仅当A，P，F三点共线，即 P 为图中的点 P0时成立，故|PF|PA|的最小值为 9.2.因为直线 xy10 与双曲线的渐近线 yx 平行，且两平行线间的距离为22，由图形知，双曲线右支上的动点 P 到直线 xy10 的距离的最小值无限趋近于22，要使距离 d 大于 c 恒成立，只需 c22即可.故 c 的最大值是22.