二重积分.pdf

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1、 二重积分 一.重要性质：（1）dxdyyxfdxdyyxfyxfDDD),(),(),(21.D=D1+D2.常用来分割区域使之利用对称性或其他特点来方便地求解一类二重积分.(2)注意函数 f(x,y),g(x,y)在 D 上可积且有 f(x,y)g(x,y),则dxdyyxgdxdyyxfDD),(),(有一类比较积分大小的题目是利用这个原理.二.理解和计算：总:二重积分的分析有两个思路:一是直角坐标系下的二重积分，二是极坐标系下的二重积分，由于二是一的延伸，下面我们先着手一来理解二重积分.PS:很多时候我们对二重积分问题看了一个问题觉得很简单，但是下笔就错，或者做起来提心吊胆不熟练，这个

2、是认识不明的表现.dxdyyxfD),(上式就是典型的二重积分表达式：D：区域x,y 的取值熟练常见的几何图形和一些特殊的曲线（心形线，双纽线和摆线）其中常见的几何图形包括我们学过的平面图形和高数下 8-5 学的各种曲面，这个是基础.另外对于书上所说的 X，Y型区域我不作解释，这个我个人觉得放在后面比较好.二重积分最直观的理解-体积 一个区域 D 加上一个曲面 z=f(x,y)（可想象为顶面）由此抽象出二重积分唯一的解法（这是二重积分和三重积分最不同的地方，三重积分方法多，二重积分就这一个原理）-累次积分法.X 型区域x 的范围可以用具体的数值表示出来，y 的范围要由 x 确定-baxFxFD

3、dyyxfdxdxdyyxf)(2)(1),(),(-叫做先对 y 再对 x的累次积分 Y 型区域同理可推出，不再赘述.1.现在我们来讨论直角坐标系下的两个很重要的问题:(1).关于 X 型，Y 型区域的选择：总结看来有两点，也就是表达式中的两点：一是 D，二是 f(x,y).=所谓 D 呢，就是区域的形状：有时候我们用X 型区域只需要一步，有时候我们可能需要将 X 型区域进行分割，这时候用 Y 型可能简便些.而所谓 f(x,y)的特性，即看 f(x,y)的积分能否由初等函数表示出来.思考题 001.计算dxdyyxD22的值，其中 D：由 y=2,y=x 和 xy=1 围成的闭区域.思考题

4、002.计算dxdyyyDsin的值，其中 D：由 y=x 和 y=x 围成的闭区域.思考题 003.计算dxdyxxdyy 606cos 的值.思考题 004.计算dxxyedydxxyedyyyy121214121的值.(2).关于 D 的对称性的判断和使用：给出一个范本：！若区域 D 关于 y 轴对称，f(x,y)关于 x 是奇函数，则二重积分表达式为 0.给出上述的证明：证：对于 f(x,y)关于 x 是奇函数来说，满足 f(-x,y)=-f(x,y).因为 D 关于 y 轴左右对称，所以可以把 D 分割为左边 D1 和右边D2 两个部分.=12),(),(),(DDDdxdyyxfd

5、xdyyxfdxdyyxf 下面我们注意 D1 和 D2关于 y 轴对称意味着仅仅是横坐标差一个符号而已，我们可以把1),(Ddxdyyxf 转化成2),(Ddxdyyxf，这样很显然表达式的值为 0.证毕！同理若 f(x,y)关于 x 是偶函数，表达式值则为 D1 或 D2 任一个区域上积分的两倍.基于上述说明我们给出下列结论：a.若区域 D 关于 y 轴对称，f(x,y)关于 x 是奇函数，则二重积分表达式为 0.b.若区域 D 关于 y 轴对称，f(x,y)关于 x 是偶函数，则二重积分表达式为 D1D2 任一个区域上积分的两倍.c.若区域 D 关于 x 轴对称，f(x,y)关于 y 是

6、奇函数，则二重积分表达式为 0.d.若区域 D 关于 x 轴对称，f(x,y)关于 y 是偶函数，则二重积分表达式为 D1D2 任一个区域上积分的两倍.思考题 005.计算Ddxdyyx)(的值，其中 D：y=x2，y=4x2 和 y=1 围成.思考题 006.计算Ddxdyyx|)|(|的值，其中D:|x|+|y|1.思考题 007.计算Dyxx)22sin()3(的值，其中 D：x2+y2y2 思考题 008.计算dxdyyxyfxD)22(1 的值，其中 D:由 y=x3,y=1 和x=-1 所围成，f(u)为连续函数.2.下面引入极坐标系下的二重积分运算：极坐标系和直角坐标系唯一的不同

7、就是区域分割的时候，直角坐标系对应的是小矩形，而极坐标系对应的是小扇形，因此对于直角坐标系下的二重积分式中变量 x,y 变成了 r,，因此：dxdy=drddrr)2(212)(21=rdrd 扇形面积计算 S=)2(21r=DDrdrdrrfdxdyyxf*)sin,cos(),(-一定！记得是rdr.那么现在来问题了：算的好好的来个极坐标变换有啥好处呢？-我们从极坐标的本身去分析，区域由 DxDy 变成了 DrD，是扇形里的旋转角，这个用在设计到圆等一些曲线的时候更好表示（直观上可以看出来），而 r 的话可以由题目中的条件直接得出.=看优越性的 体现：计算Ddxdyyx)22(，其中 D：

8、byyx22 如果用常规的方法去做的话，我们要分割D 区域，然后确定 x 的范围，然后 y 的上下限里有根号，做起来很麻烦.如果从极坐标的思路出发，我们只需要画出区域的图形，看出的范围是从0,对于 r，因为我们做的是极坐标变换sin,cosryrx，可以直接将其代入原D中，得出sin0br,然后就是列式求解，很 easy.思考题 009.计算dxdyyxRD222 （1）D：222Ryx（2）D:Rxyx22 3.应用：（1）.计算体积：看看书后的题目，觉着考体积计算的比较多，从二重积分的式子看，求体积的话还是那两点：D 和 f 的确定.那么我在此说两点，一个是要读清楚题意，一般会给你几个曲面

9、相截的，你得确定好哪个面是所谓的“顶面”，然后 D 的话是相应的面上的投影.还有一个就是列出式子后的计算选择.例 子 分 析：由 柱 面Rxyx22围 成 的 区 域 被 球 面2222Rzyx所截得的立体，求体积.脑子里大概想一下这个三维图形，在 xoy 平面上下各有一部分，我们可以求出上部分的，然后乘以 2 就 ok 了.这个图形是柱面被截，球面可以看做是顶面，这样我们把顶面的方程可以表示为222yxRz，D 是由柱面决定的，看着这个方程我们很容易想到用极坐标求解比较方便，啊哈，下面的计算由你自己算咯，答案是3)322(34R.思考题 010.求 y2=a2-az,x2+y2=ax（a0）

10、和 z=0 围成的区域的体积.思考题 011.求 x2+y2=R2 和 x2+z2=R2 围成的区域的体积.(2).计算面积.如果我们把 f(x,y)换成 1，得到的 就是平面图形的面积咯.这个考的很少，但不 排除拿特殊曲线出来的可能性.思考题 012.心脏线sin1r所围区域的面积.思考题 013.位于圆周cos3r的内部和心脏线cos1r 的外部的区域的面积.4.二重积分的换元法(PS：很抱歉期中考试的时候我把这个忽略了，在此道歉)其实换元的意义在于将不规则的区域通过变换使 之成为规则容易表示的区域.那么简单地说，从原来的区域二重积分到变换后的区域的二重积分只需要乘以一个雅可比行列式就 o

11、k.这个玩意：uyuyvxux（花了我 5 分钟才弄好）.书上有一个例子：计算Dxydxdy的值，其中 D：由 y=x,y=2x,xy=1,xy=3 围成的区域*分析的时候它用了换元法，引入了 u,v 两个新的元素，u=xy,v=xy.将难以直接表示的区域转化成了矩形区域 D*，然后就是简单的计算，注意乘以雅可比.思考题 014.f(x)在0,a上连续，证明：Dadxxxfdxdyyxf0)()(其中 D：ayxyax,0,0 思考题 015.设 f(t)为连续函数，证明 DAAdttAtfdxdyyxf|)|)()(其中 D：2|,2|AyAxA 为大于 0 的数.(PS:上面两个题目有点难度，丫要细心).这是我提前整理好的特殊曲线：不占用你找的时间咯 2cos*22a双纽线 星形线 三叶玫瑰线 三叶玫瑰线 四叶玫瑰线