数学选修2-1知识点总结-.pdf

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1、数学选修 21 知识点总结第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为

2、“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q，则p”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题p和命题q联结

3、起来，得到一个新命题，记作pq当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，pq是假命题对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对中任意一个x，有p x成立”，记作“x，p x”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，

4、用“”表示含有存在量词的命题称为特称命题特称命题“存在中的一个x，使p x成立”，记作“x，p x”10、全称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。全称命题的否定是特称命题。特称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x。特称命题的否定是全称命题。原命题.五逆逆命题着p 贝ljq飞、A!-t，若q则p互飞阿I互题飞飞逆否品着P贝1Jq互逆若q则P第二章：圆锥曲线知识点：1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立 适当的 直角坐标系；设动点,Mx y及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。2、平面内与两个定点1F，2F的距离

5、之 和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。12222MFMFaac3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21|2MFMFa（212|aF F）第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01)MFeed范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长长轴的长2a短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0F

6、c、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()F Fccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc焦半径0,0()Mx y左焦半径：10MFaex右焦半径：20MFaex下焦半径：10MFaey上焦半径：20MFaey一|y)Ill/:.,是，c F,0 乓 民.少-FF 4、设是椭圆上任一点，点到1F对应 准线的距离为1d，点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。5、平面内与两个定点1F，2F的距离之 差的绝对值 等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。12222M

7、FMFaac6、双曲线的几何性质：焦点三角形面积12212tan()2MF FSbF MF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHa（焦点）弦长公式1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0 xyabab222210,0yxabab第一定义到两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即21|2MFMFa（2102|aF F）第二定义与 一 定 点 的 距 离 和 到 一 定 直 线 的 距 离 之 比 为 常 数e，即(1)MFeed范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点

8、1,0a、2,0a10,a、20,a轴长实轴的长2a虚轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()F FccabI I I J 飞L L|)1 M.F亏,M ,、同。月,S一x 的7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设是双曲线上任一点，点到1F对应 准线的距离为1d，点到2F对应 准线的距离为2d，则1212FFedd。9、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径

9、”，即2p11、焦半径公式：若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；、若点00,xy在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy离心率22222221(1)ccabbeeaaaa准线方程2axc2ayc渐近线方程byxaayxb焦半径0,0()Mx yM在右支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在左支1020MFexaMFexa左焦：右焦：M在上支1020MFeyaMFeya左焦：右焦：M在下支1020MFeyaMFeya

10、左焦：右焦：焦点三角形面积12212cot()2MF FSbF MF通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：2bHHaLL|-FF|一|I I一一12、抛物线的几何性质：关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线22(0)ypxp焦点的弦，1122(,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则221212,;4px xy yp22;sinpAB以AB为直径的圆与准线相切；焦点F对AB、在准线上射影的张角为2；112.|FAFBP图形标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p定义与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)顶点0,0离

11、心率1e对称轴x轴y轴范围0 x0 x0y0y焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py焦半径0,0()Mx y02pMFx02pMFx02pMFy02pMFy通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp焦点弦长公式12ABxxp参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔：比共J-一-一|一一第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向（3）向量uuu r的大小称为向量的模（或长度），记作uuu r（

12、4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量（5）与向量ar长度相等且方向相反的向量称为ar的相反向量，记作ar（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量ar、br为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线Cuuu r就是ar与br的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则 即：在空间任取一点，作auu u rr，bu uu rr，则abuuu rrr3、实数与空间向量ar的乘积ar是一个向量

13、，称为向量的数乘运算当0时，ar与ar方向相同；当0时，ar与ar方向相反；当0时，ar为零向量，记为0rar的长度是ar的长度的倍4、设，为实数，ar，br是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：ababrrrr；结合律：aarr5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量ar，0b brr，/abrr的充要条件是存在实数，使abrr7、平行于同一个平面的向量称为共面向量8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xy Cuuu ru

14、uu ruuur；或 对 空 间 任 一 定 点，有xyCuuu ruuu ruuu ruuu r；或 若 四 点，C共 面，则1xyz C xyzuu u ruu u ru uu ruu u r9、已知两个非零向量ar和br，在空间任取一点，作auuu rr，buu u rr，则称为向量ar，br的夹角，记作,a brr两个向量夹角的取值范围是：,0,a brr10、对于两个非零向量ar和br，若,2a brr，则向量ar，br互相垂直，记作abrr11、已 知 两 个 非 零 向 量ar和br，则cos,a ba brrrr称 为ar，br的 数 量 积，记 作a brr 即I I c。a

15、 h二人I I|cos,a ba ba brrrrrr零向量与任何向量的数量积为012、a brr等于ar的长度ar与br在ar的方向上的投影cos,ba brrr的乘积13 若ar，br为非零向量，er为单位向量，则有1cos,e aa eaa er rr rrr r；20aba brrrr；3a baba ba babrrrrrrrrrr与 同向与 反向，2a aar rr，aa arr r；4cos,a ba ba brrrrrr；5a ba brrrr14 量数乘积的运算律：1 a bb arrrr；2aba babrrrrrr；3abca cb crrrrrrr15、空间向量基本定理

16、：若三个向量ar，br，cr不共面，则对空间任一向量pr，存在实数组,x y z，使得pxaybzcrrrr16、三个向量ar，br，cr不共面，则所有空间向量组成的集合是,p pxaybzc x y zRrrrrr这个集合可看作是由向量ar，br，cr生成的，,a b crrr称为空间的一个基底，ar，br，cr称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底17、设1eu r，2eu u r，3eu r为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1eu r，2eu u r，3eu r的公共起点为原点，分别以1eu r，2eu u r，3eu r的方向为x轴，y

17、轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量pr，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量puu u rr 存在有序实数组,x y z，使得123pxeyezeu ru u ru rr把x，y，z称作向量pr在单位正交基底1eu r，2eu u r，3eu r下的坐标，记作,px y zr此时，向量pr的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,x y z18、设111,ax yzr，222,bxyzr，则（1）121212,abxxyyzzrr（2）121212,abxxyyzzrr（3）111,axyzr（4）121212a bx xy yz zrr（5）若ar、

18、br为非零向量，则12121200aba bxxy yz zrrrr（6）若0brr，则121212/,ababxxyyzzrrrr|I I I I J一|（7）222111aa axyzrrr（8）121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyzrrrrrr（9）111,xy z，222,xyz，则222212121dxxyyzzuu u r19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量uuu r来表示向量uuu r称为点的位置向量20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上一点，向量ar表

19、示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有tau uu rr，这样点和向量ar不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为ar，br为平面上任意一点，存在有序实数对,x y，使得xaybuuu rrr，这样点与向量ar，br就确定了平面的位置22、直线l垂直，取直线l的方向向量ar，则向量ar称为平面的法向量23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为ar，br，则/ababrrabRrr，0ababa brrrr24、若直线a的方向向量为ar，平面的法向量为nr，且a，则

20、/aar0ana nrrrr，/aaananrrrrr25、若 空 间 不 重 合 的 两 个 平 面，的 法 向 量 分 别 为ar，br，则/abrrabrr，0aba brrrr26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为ar，br，其夹角为，则有coscosa ba brrrr27、设直线l的方向向量为lr，平面的法向量为nr，l与所成的角为，lr与nr的夹角为，则有sincoslnlnrrrr28、设1nur，2nu u r是二面角l的两个面，的法向量，则向量1nur，2nu u r的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则1212cosnnnnuruu ruruu r29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量uuu r的模uuu r计算30、在 直 线l上 找 一 点，过 定 点且垂 直于直 线l的向量 为nr，则定点到 直 线l的距离为II J m 1 川山川|川U川cos,ndnnuuu rruu u ruu u rrr31、点是平面外一点，是平面内的一定点，nr为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnnuuu rruuu ruuu rrr|川|