全国统一高考数学试卷(大纲版)(含解析版).pdf
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1、 第1页(共24页)全国统一高考数学试卷(大纲版)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5 分)复数=()A2+i B2i C1+2i D12i 2(5 分)已知集合 A=1,3,B=1,m,AB=A,则 m 的值为()A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3 3(5 分)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=4,则该椭圆的方程为()A B C D 4(5 分)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E 为 CC1的中点,则直线 AC1与平面 BED 的距离为()A2 B C D1
2、5(5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列的前 100 项和为()A B C D 6(5 分)ABC 中,AB 边的高为 CD,若=,=,=0,|=1,|=2,则=()A B C D 7(5 分)已知 为第二象限角,则 cos2=()A B C D 8(5 分)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()A B C D 9(5 分)已知 x=ln,y=log52,则()Axyz Bzxy Czyx Dyzx 10(5 分)已知函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个
3、公共点,则 c=()A2 或 2 B9 或 3 C1 或 1 D3 或 1 第2页(共24页)11(5 分)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 12(5 分)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,动点 P从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14 C12 D10 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共
4、20 分,把答案填在题中横线上(注意:在试题卷上作答无效)13(5 分)若 x,y 满足约束条件则 z=3xy 的最小值为 14(5 分)当函数 y=sinxcosx(0 x2)取得最大值时,x=15(5 分)若的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为 16(5 分)三棱柱 ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=60,则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17(10 分)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(AC)
5、+cosB=1,a=2c,求 C 18(12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA底面 ABCD,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC()证明:PC平面 BED;()设二面角 APBC 为 90,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小 第3页(共24页)19(12 分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立甲、乙的一局比赛中,甲先发球()求开始第 4 次发球时,
6、甲、乙的比分为 1 比 2 的概率;()表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 的期望 20(12 分)设函数 f(x)=ax+cosx,x0,()讨论 f(x)的单调性;()设 f(x)1+sinx,求 a 的取值范围 第4页(共24页)21(12 分)已知抛物线 C:y=(x+1)2与圆(r0)有一个公共点A,且在 A 处两曲线的切线为同一直线 l()求 r;()设 m,n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m,n 的交点为 D,求 D 到 l 的距离 22(12 分)函数 f(x)=x22x3,定义数列 xn如下:x1=2,xn+1是过两点 P(4,5),Qn(xn,f(xn
7、)的直线 PQn与 x 轴交点的横坐标()证明:2xnxn+13;()求数列 xn的通项公式 第5页(共24页)全国统一高考数学试卷(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5 分)复数=()A2+i B2i C1+2i D12i 【考点】A5:复数的运算【专题】11:计算题【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数,得,由此利用复数的代数形式的乘除运算,能求出结果【解答】解:=1+2i 故选:C【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题解题时要认真审题,仔细解答 2(5 分)已知集合 A
8、=1,3,B=1,m,AB=A,则 m 的值为()A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3 【考点】1C:集合关系中的参数取值问题【专题】5J:集合【分析】由题设条件中本题可先由条件 AB=A 得出 B A,由此判断出参数 m 可能的取值,再进行验证即可得出答案选出正确选项【解答】解:由题意 AB=A,即 B A,又,B=1,m,m=3 或 m=,解得 m=3 或 m=0 及 m=1,第6页(共24页)验证知,m=1 不满足集合的互异性,故 m=0 或 m=3 即为所求,故选:B【点评】本题考查集合中参数取值问题,解题的关键是将条件 AB=A 转化为 B A,再由集合的包含关系得出参数所
9、可能的取值 3(5 分)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x=4,则该椭圆的方程为()A B C D 【考点】K3:椭圆的标准方程;K4:椭圆的性质【专题】11:计算题【分析】确定椭圆的焦点在 x 轴上,根据焦距为 4,一条准线为 x=4,求出几何量,即可求得椭圆的方程【解答】解:由题意,椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=2,a2=8 b2=a2c2=4 椭圆的方程为 故选:C【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题 4(5 分)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E 为 CC1的中点,则直线 AC1与平面 BED 的距离为()A2 B
10、C D1 【考点】MI:直线与平面所成的角【专题】11:计算题【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线 C1A平面 BDE,再将线面距离转化为点面距离,第7页(共24页)最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解:如图:连接 AC,交 BD 于 O,在三角形 CC1A 中,易证 OEC1A,从而 C1A平面 BDE,直线 AC1与平面 BED 的距离即为点 A 到平面 BED 的距离,设为 h,在三棱锥 EABD 中,VEABD=SABDEC=22=在三棱锥 ABDE 中,BD=2,BE=,DE=,SEBD=2=2 VABDE=SEBDh=2h=h=1 故选:D 【点评】本题主要考查了线面平行的
11、判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题 5(5 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列的前 100 项和为()A B C D 【考点】85:等差数列的前 n 项和;8E:数列的求和【专题】11:计算题【分析】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求 a1,d,进而可求 an,代入可得=,裂项可求和【解答】解:设等差数列的公差为 d 第8页(共24页)由题意可得,解方程可得,d=1,a1=1 由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n1)d=1+(n1)1=n=1=故选:A【点评】本题主要考查了等差数列的通项
12、公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试题 6(5 分)ABC 中,AB 边的高为 CD,若=,=,=0,|=1,|=2,则=()A B C D 【考点】9Y:平面向量的综合题【分析】由题意可得,CACB,CDAB,由射影定理可得,AC2=ADAB 可求 AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求【解答】解:=0,CACB CDAB|=1,|=2 AB=由射影定理可得,AC2=ADAB 第9页(共24页)=故选:D 【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用,向量的基本运算的应用,向量的数量积的性质的应用 7(5 分)已知 为第二象限角,则 cos2=()A B
13、C D 【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数【专题】56:三角函数的求值【分析】由 为第二象限角,可知 sin0,cos0,从而可求得 sincos=,利用 cos2=(sincos)(sin+cos)可求得 cos2【解答】解:sin+cos=,两边平方得:1+sin2=,sin2=,(sincos)2=1sin2=,为第二象限角,sin0,cos0,sincos=,cos2=(sincos)(sin+cos)=()=故选:A【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得 sin 第10页(共24页)cos=是关键,属于中档题 8(5
14、分)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()A B C D 【考点】KC:双曲线的性质【专题】11:计算题【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求 cosF1PF2的值【解答】解:将双曲线方程 x2y2=2 化为标准方程=1,则 a=,b=,c=2,设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|PF2|=2a 可得 m=2,|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=2c=4,cosF1PF2=故选:C【点评】本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考
15、查余弦定理的运用,属于中档题 9(5 分)已知 x=ln,y=log52,则()Axyz Bzxy Czyx Dyzx 【考点】72:不等式比较大小【专题】11:计算题;16:压轴题【分析】利用 x=ln1,0y=log52,1z=,即可得到答案【解答】解:x=lnlne=1,0log52log5=,即 y(0,);第11页(共24页)1=e0=,即 z(,1),yzx 故选:D【点评】本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题 10(5 分)已知函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=()A2 或 2 B9 或 3 C1 或 1
16、D3 或 1 【考点】53:函数的零点与方程根的关系;6D:利用导数研究函数的极值【专题】11:计算题【分析】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数 y=x33x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点,可得极大值等于 0 或极小值等于 0,由此可求 c 的值【解答】解:求导函数可得 y=3(x+1)(x1),令 y0,可得 x1 或 x1;令 y0,可得1x1;函数在(,1),(1,+)上单调增,(1,1)上单调减,函数在 x=1 处取得极大值,在 x=1 处取得极小值 函数 y=x33x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,极大值等于 0 或极小值等于 0 13+c=0 或1+3
17、+c=0,c=2 或 2 故选:A【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,解题的关键是利用极大值等于 0 或极小值等于 0 11(5 分)将字母 a,a,b,b,c,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有()A12 种 B18 种 C24 种 D36 种 第12页(共24页)【考点】D9:排列、组合及简单计数问题【专题】11:计算题;16:压轴题【分析】由题意,可按分步原理计数,对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁【解答】解:由题意,可按分步原理计数,首先,对第一列进行排列,第一列为 a,b,c 的全排列,共有种,再分析第二列的情况,
18、当第一列确定时,第二列第一行只能有2 种情况,当第二列一行确定时,第二列第 2,3 行只能有 1 种情况;所以排列方法共有:211=12 种,故选:A【点评】本题若讨论三行每一行的情况,讨论情况较繁琐,而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程 12(5 分)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,动点 P从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14 C12 D10 【考点】IG:直线的一般式方程与直线的性质;IQ:与直线关于点、直线对称的直线方
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