指数函数公式.pdf

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1、1数学术语 指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的写为 e，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧拉数。当 a1 时，指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀升，在 x 等于 0 的时候 y 等于 1。当 0a0 且1)(xR)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 a0 且 a1 如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。在函数中可以看到 ：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1

2、。对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时 a 等于 0 函数无意义一般也不考虑。（2）指数函数的值域为大于 0 的实数集合。（3）函数图形都是下凸的。（4）a1 时，则指数函数单调递增；若 0a0,a1 方法一：()指数函数=特殊地，当 a=e 时，()=(ln x)=1/x。方法二：设 ，两边取对数 ln y=xln a 两边对 x 求导：y/y=ln a，y=yln a=axln a 特殊地，当 a=e 时，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。e=1 3函数图像 指数函数（1）由指数函数 y=ax 与直线 x=1 相交于点（1，

3、a)可知：在 y 轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。（2）由指数函数 y=ax 与直线 x=-1 相交于点（-1，1/a）可知：在 y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在 y 轴右边“底大图高”；在 y轴左边“底大图低”。（如右图）。(4)与 的图像关于 y 轴对称。4幂的比较 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递性得到 A 与 B 之间的大小。比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注

4、意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：，因为 3 大于 1 所以函数单调递增（即 x 的值越大，对应的 y 值越大），因为 5 大于 4，所以 大于 。（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数 以利用指数函数图像的变化规律来判断。例如：,因为 1/2 小于 1 所以函数图像在定义域上单调递减；3 大于 1，所以函数图像在定义域上单调递增，在 x=0 是两个函数图像都过（0，1）然后随着 x 的增大，y1 图像下降，而y2 上升，在 x 等于 4 时，y2 大于 y1.（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利

5、用中间值来比较。如：对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与 0、1 的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数 a 和 1 与指数 x 与 0 之间的不等号同向（例如：a 1 且 x 0，或0 a 1 且 x 0）时，大于 1，异向时 小于 1.3例：下列函数在 R 上是增函数还是减函数？说明理由.因为 41，所以 在 R 上是增函数；因为 01/40 且 a1，即说明 y0。所以

6、值域为（0,)。a=1 时也可以，此时值域恒为 1。7化简技巧（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.指数函数（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化 8对应关系（1）曲线沿 x 轴方向向左无限延展=函数的定义域为 。（2）曲线在 x 轴上方，而且向左或向右随着 x 值的减小或增大无限靠 指数函数 近 X 轴（x 轴是曲线的渐近线）=函数的值域为（0，+）（3）曲线过定点（0，1）=x=0 时，函数 （零次方）=1（a0 且 a1）（4）当 a1 时，曲线由左向右逐渐上升，即 a1 时，函

7、数在 上是单调递增函数；当 0a1 时，曲线逐渐下降即 0a1 时，函数在 上是单调递减减函数。9概念（1）指数函数的定义域为实数的集 R，这里的前提是 a 大于 0，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2）指数函数的值域为（0，+）。（3）函数图形都是下凹的。1（4）a 大于 1，则指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5）可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中（当然不能等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴，永不相交。（7）函数总是通过（0，1）这点。（8）显然指数函数无界。