平行四边形,三角形和梯形的面积公式教学研究校本教研活动方案(一).pdf

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1、“平行四边形、三角形和梯形的面积公式教学研究”校本教研活动方案(一)朱乐平 一、活动目标 1经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式教学的相关资料与问题。2明确化归法的含义。能够分清平行四边形、三角形与梯形的面积这三个公式教学时，教学目标上的相同与不同点。3能了解平行四边形面积计算公式教学的不同引入方法，并对不同的引入方法的优点与不足进行分析。4 能够明确如何引导学生探索平行四边形面积计算公式。二、活动时间 教研活动可以分成两个时间段，第一段是交流本方案中的问题 60分钟。然后是一个老师上课，上平行四边形面积计算公式这节课 40 分钟，评课再 50 分钟。共

2、2 个半小时，可以在同一个半天中，也可以分开。可以根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。三、活动前准备 先让全组数学教师解答下面的问题，并准备在小组或全数学组交流。(注：以下带有*号表示问题有一定的难度。)(一)你认为“平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积计算公式”这三块教学内容，小学生应该先学哪一块内容？为什么？现行的小学数学教材中，学生学习这三块内容的顺序是怎样的？平行四边形、三角形和梯形这三个图形的面积公式推导时，都运用了化归的方法(也有人叫它是转化的方法)。(1)请你写一写什么叫化归法？如果你不能直接写出化归法的含义，那么，请

3、你试着先举出运用化归法解决数学问题的例子，然后再试着写一写什么叫做化归法。(2)请你阅读下面的文章，阅读完后，请在数与代数和图形与几何的领域中各举一个运用化归法解决问题的例子。如果问，数学家与其他科学家在解决问题时，在思维方法上有什么特别的地方？可能的回答是：数学家的思维方式更善于运用化归法。有人曾对“化归法”作过生动的比拟。“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”。正确的回答是：“在水壶中放进水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着又提出第二个问题：“假设其他的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”。对此，人们往往回答说：“点

4、燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”这个比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得到解决，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。例如，我们在计算异分母分数加减法时，首先是通过通分的

5、办法把它化归成同分母分数加减法，计算出同分母分数加减法的结果，从而得到异分母分数加减法的结果，可以用下图直观的说明：计算异分母分数加减法问题同分母分数加减法计算结果异分母分数加减法计算结果（化归）通分计算同分母分数加减法问题 又如，当我们已经知道三角形内角和是 180后，(凸)多边形的内角和的问题可以按照下面的方法来解决。图1 如上图 1 所示，因为，四边形可以分割成两个三角形，所以，它的内角和是 2180=(4-2)180；因为，五边形可以分割成三个三角形，所以，它的内角和是 3180=(5-2)180；因为，六边形可以分割成四个三角形，所以，它的内角和是 4180=(6-2)180；因为

6、7 边形可以分割成 5 个三角形，所以，它的内角和是 5180=(7-2)180；一般地，因为 n 边形可以分割成(n-2)个三角形，所以，它的内角和是(n-2)180。从上面的分析可以知道，解决多边形内角和问题的关键是把多边形分割成(若干个)三角形，这实质上已经把原来的求多边形内角和的问题化归成求三角形内角和的问题。而三角形内角和的问题已经解决，从而多边形内角和的问题也可以解决。可以用下图直观的表示：计算多边形内角和问题三角形内角和等于180（化归）分割计算三角形内角和问题n边形内角和等于(n2）180 如果用三节新课分别教学平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式，那么这三节课的教学目标有哪

7、些相同的地方？有哪些不同的地方？大家知道，如果先学习平行四边形的面积计算公式，那么可以用两个完全相同的三角形或梯形拼成一个平行四边形的方法，推导出三角形或梯形的面积计算公式，因此，这两个面积计算公式的教学可以有不同的课时设计。以下是两个不同的教学顺序：教学顺序一：(1)三角形面积计算公式新课(一课时)；(2)三角形面积计算公式练习课(一课时)；(3)梯形面积计算公式新课(一课时)；(4)梯形面积计算公式练习课(一课时)；(5)三角形与梯形面积计算的综合练习课(一课时)。按照这样的教学顺序进行教学，一共安排 5 课时。教学顺序二：(1)三角形与梯形面积计算公式新课(一课时)；(2)三角形与梯形面

8、积的练习课(三课时)；(其中第一课时重点练习三角形面积计算公式的应用，但也有梯形面积公式的应用练习；第二课时重点练习梯形面积计算公式的应用，但也有三角形面积计算公式的应用练习。第三课时是三角形与梯形面积计算公式的综合应用练习。)共安排了 4 课时。请你回答下面的问题：(1)上面的两种不同的教学顺序你更喜欢哪一种？喜欢的主要理由是什么。(2)从学生作业错误率的高低来看，凭你的经验，觉得按照顺序一这样教学，一开始的错误率会高还是低？大约到第几节课时，学生的错误率最高？按照顺序二教学，错误率的高低又是怎样变化的？(3)有人认为：“不能简单地说上面的哪一种教学顺序更好。而应该根据对不同的学生实际，不同

9、难度的数学教学内容来确定不同的顺序。”你同意这个观点吗？以下的一些情况，你认为分别运用哪一种教学顺序更合适？请在括号内分别写出顺序一或二。并简要说明理由。班级学生的数学基础相对比较弱；()班级学生的数学基础相对比较好；()数学教学的内容比较抽象，学生学习的难度比较大；()学生学习的数学内容难度比较小；()(4)如果对两个基础差不多的班级学生，分别用上面的两种顺序进行教学，那么这两个班的学生，在三角形与梯形的面积计算公式的理解与掌握水平上会有差异吗？如果没有差异，主要原因是什么？如果有，主要差异是哪些？(5)*如果要运用上面的两种不同的教学顺序设计做一个对比教学实验，那么，这个实验的主要过程是哪

10、些？请你写一写。(二)按照现行教材的编写顺序，在学习平行四边形面积计算公式之前，学生有哪些知识和经验与学习这一知识密切相关？*在学生没有学习平行四边形面积公式之前，如果给他们一个平行四边形的纸片，让他们求出这个平行四边形的面积，他们可能会运用什么样的方法？(如果读者感兴趣，可以把了解学生学习平行四边形的面积计算公式的起点，作为一个专题来研究，写成专题研究文章，即通过调查，包括访谈，了解到学生的学习起点和解决问题的不同思路。)一个老师在上平行四边形面积计算公式这节课时，设计了开门见山的导入方式，上课一开始教师就在黑板上写出：平行四边形的面积。并问：看到这个课题，你想提出什么数学问题。（学生提问。

11、）教师根据学生的提问梳理筛选出学习目标：(1)什么是平行四边形的面积？(2)怎样计算平行四边形的面积？(3)计算平行四边形的面积有什么用处？你喜欢这样的开头方式吗？你觉得这样的设计有什么优点？有什么不足？大家知道，在学习平行四边形的面积计算公式之前，学生已经学过了长方形的面积计算公式，但在长方形的面积计算公式推导中，学生并没有学到“图形的面积大小与高有关”这一知识点，也没有相应的基本活动经验。在平行四边形的面积计算公式推导中，学生将第一次接触“图形的面积与高有关”这一知识。掌握这一知识对于推导三角形和梯形的面积计算公式，显然有着十分重要的意义。想一想，你有什么办法可以让学生明确平行四边形的面积

12、大小与高有关？下面的做法是否可以使学生明确到这一点？先用硬纸板做一个平行四边形的框架，然后拉动变形，使得变化出的平行四边形有不同的高。拉动时，先定格在一个位置，让学生观察这时平行四边形的底、高和面积等因素，再拉动定格在另一位置，让学生观察、想象、思考：两个不同位置时平行四边形的什么变了？什么没有变？再做一个课件，在网格中先出示一个平行四边形，然后慢慢的不断变化，把变化前后的几个平行四边形都呈现出来(如下图 2)，让学生观察、想象、思考：什么在变？什么没有变？平行四边形的面积大小是怎么变化的？底与高是怎样在变化？面积的大小与什么有关？高图2 有一个老师在备平行四边形面积教学这节课时，做了以下的预

13、设：今天我们来研究平行四边形的面积(板书课题)。这里有两个图形(如图 3)，一个是长方形，一个是平行四边形，请大家先测量出必要的数据，再通过计算求出它们的面积。图 3 预设：第一个图形是长方形，学生会先量出(或数出)它的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，从而计算出面积是 64=24(平方厘米)。第二个图形是平行四边形，学生可能会运用以下的一些方法求出它的“面积”：方法一：先量出横的(水平的)底是 6 厘米，斜的(倾斜的)底是 5 厘米，从而计算出面积是 65=30(平方厘米)。这实质上是学生的猜想，这部分学生认为平行四边形面积等于相邻两边的乘积。方法二：先测量出平行四边形相邻两条边的长度(也是两

14、条底边的长度)，分别是 6 厘米和 5 厘米,再计算出面积是(6+5)2=22(平方厘米)。这是学生的又一个猜想。方法三：先画出这个平行四边形底边上的高，再量出高是 4 厘米，底是 6 厘米，面积是 64=24(平方厘米)。这也是学生的一个猜想。在学生有这些猜想后，接着就是运用各种方法来验证猜想是否正确。在上面的预设中，你觉得：(1)学生有可能象方法一这样求平行四边形的面积吗？(2)认为平行四边形面积等于相邻两边乘积的学生数占全班的百分比大约是多少？(3)学生为什么会认为：平行四边形的面积等于相邻两边的乘积呢？也就是他们产生这一结论的主要原因是什么？(4)可以设计怎样的教学过程，逐步引导学生自

15、己认识到：“平行四边形面积等于相邻两边的乘积”这一结论是错误的？适当地改进上面第9 题的演示过程，可以让学生明确这一点吗？在平行四边形面积计算公式教学时，要运用化归的方法，把平行四边形转化成为已经知道面积计算公式的长方形。这是学生第一次接触到剪、拼转化的方法。想一想，你可以通过怎样的引导过程，能够使更多的学生自己想到用这种剪、拼的方法？下面是两个不同的引导过程，你更喜欢哪一个设计？为什么？(1)整体入手的方法：教师向学生说明，下面将出示一些图形，要求他们求出这些图形的面积。如果图形中有方格，那么一个小方格代表 1 平方厘米。(1)(2)(3)(4)(5)(6)图 4 出示上图 4(1)，让学生

16、说一说它的面积是多少。可以用什么方法知道这个长方形的面积。交流后得到可以用数方格(数方格法)和测量出长与宽的长度再计算出面积(公式法)这两种方法。板书：数方格法：要把图形放在网格中。公式法：要测量出相关线段的长度，然后运用这些长度进行计算，从而得出这个图形的面积。出示图 4(2)，让学生说出面积是多少。并进一步明确可以用数方格法和公式法得出面积。引出剪、拼转化的思想，讨论交流：剪、拼转化前后两个图形的什么变了(形状变了)，什么没有变(面积的大小没有变)。如果要用公式法计算这个图形的面积，需要测量出哪几条线段的长度(或者说哪几条线段的长度需要知道。)出示图 4(3)，与上述过程类似。并进一步讨论

17、出可以在不同的地方剪开，再拼。强调用剪、拼的方法转化成已经知道面积计算公式的图形时，要注意剪、拼前后两个图形的比较与分析。出示图 4(4)，让学生分别用数方格法和用剪、拼的方法得出这个平行四边形的面积。比较剪、拼前后的两个图形，得出如果要用公式法计算平行四边形面积，那么就要测量出平行四边形的底与高，公式是：平行四边形面积=底高。出示图 4(5)，让学生想一想，要求出这个平行四边形的面积需要测量哪几条线段的长度。这个图形的面积是多少。出示图 4(6)，与上述过程类似。要求学生自己画出高，测量后再求出面积。让学生自己在方格纸上任意画一个平行四边形，先用公式法求出面积，再用数方格的方法进行验证。(2

18、)局部入手的方法(数方格的方法)：学生在学习长方形面积计算公式时，是先用面积单位去度量，然后发现规律得到公式的。因此，用数方格的方法求出一个图形的面积学生有一定的活动经验。让学生用数方格的方法求平行四边形的面积，当遇到不是正好一格的时候，就要想办法拼成一整格，要找到两个(或几个)不到一整格的图形，使这些图形可以拼成一整格，即拼成一个小正方形。这样就会有部分学生想到把不到一格的剪下来，与另一个不到一格的图形拼在一起。在面积不变的情况下，把不是整格的图形转化为整格。这可能是最容易想到用剪、拼方法的地方，也可能是剪、拼方法产生的最直接原因。学生在小范围的部分剪、拼中(从理论上说，每次剪下的一块都是可

19、以是不足一整格的)，逐步发现较大范围的整体剪、拼，即可以剪下一个三角形(或梯形)，再通过两个三角形(或梯形)拼在一起，可以得到一个长方形，从而把平行四边形转化成了已经知道面积计算公式的长方形了。这就是剪拼转化思想的产生的整个过程。具体的操作过程如下：出示图 5，先说明每一个小方格表示 1 平方厘米，再让学生数一数(用数格的方法)这两个面积各是多少平方厘米。图 5 学生数后思考：哪一个图形的面积容易数出？为什么？这个平行四边形的面积是多少？你是怎样数的？交流后得出：长方形的面积容易数出，因为它都是整格的。长方形的面积计算已经有了公式，只要计算长宽就可以得到面积。平行四边形的面积不容易数出，因为有

20、不到一整格的情况。但可以先数整格的，再把不到一整格的拼起来再数：先数整个的小方格，一行有四个，有三行，共 12 个。另外左右两边各有三个半格，每行左右的两个半格可以拼成一个整格，这样可以拼出三个整格(如图 6(2)，所以这个平行四边形的面积是 12+3=15 平方厘米。(1)(2)图 6 比较图 6(1)、(2)两个图形，想一想，什么变了？什么没有变？在上面的过程中，老师要强调每一行的左右两个半格都可以通过剪、拼的方法得到一整格。先要求学生继续用数方格的方法求下面图 7 中左右两个平行四边形的面积。由于在下面图 7 中的两个平行四边形中，不到一格的又不是正好半格，这样的格子怎么计数，就需要学生动脑思考。由于有了上面左右两个半格剪拼成一格的经验，部分学生会先发现左右两个不到一整格可以剪拼成一整格。并进一步发现沿着高剪下三角形(或梯形)拼成长方形进行化归的过程。图 7 引导学生比较转化前后两个图形的关系，并思考测量出平行四边形中哪些线段的长度就可以通过计算求出它的面积。最终得到平行四边形的面积计算公式。(关于平行四边形、三角形、梯形的面积公式教学研究内容将在本刊 2011 年第 12 期“平行四边形、三角形、梯形的面积公式教学研究”校本教研活动方案(二)”中继续阐述，敬请关注!)(以上活动方案中问题的相应参考答案略)(浙江省杭州市上城区教育学院 310006)