数学模型的建立过程.pdf

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1、 数 学 模 型 方 法 函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法掌握数学模型方法是非常必要的在此，对数学模型方法作一简述 数学模型方法（Mathematical Modeling)称为 MM 方法它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法 一、数学模型的含义 数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构它或者能解释特定对象的现实性态，或者能

2、预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机 二、数学模型的建立过程 建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环可用流程图表示如下：数学模型的解答 现实对象的信息 数学模型 表达（归纳）现实对象 验证（检验）解释（实际解答）（演绎）

3、求解 数学模型的解答 表述 根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来 这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型 求解 选择适当的方法，求得数学模型的解答 解释 数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答 验证 检验解答的正确性 例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图 1 所示18 世纪哥

4、尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于 1736 年，建立了一个数学模型解决了这个问题他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图 2 所示 1 小岛 A 陆地 D 陆地 C 半岛 B C A B D 图 1 图 2 人们步行七桥问题，就相当于图 2 的一笔画问题，即能否将图 2 所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质 哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型经过理想化抽象所得到的如图 2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型在一笔画的模型里，

5、只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的 数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释

6、而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题 三、模型的建立 研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的建立模型的步骤可分为：(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2)根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3)具体写出解析式)(xfy，并指明定义域 例 重力为P的物体置于地平面上，设有一与水平方向成角的拉力F，使物体由静止 开始移动，求物体开始移动时拉力F与角之间的函数模型（图 3）解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力sinFP 成正比的（设摩擦系数为），故有

7、)sin(cosFPF,即 sincosPF（090）.建立函数模型是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握 F P 图3 2 四、数学建模方法 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段 常用的数学建模方法如下：（一）机理分析法 从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法 1.比例分析法 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2.代数方法求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3

8、.逻辑方法是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4.常微分方程解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式 5.偏微分方程解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律 （二）数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法 1.回归分析法用于对函数()f x的一组观测值(,()(1,2,)iixf xin，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法 2.时序分析法处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法 (三)仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）实质上是统计估计方法，等效于抽样试验

9、 离散系统仿真有一组状态变量 连续系统仿真有解析表达式或系统结构图 2.因子试验法在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构 3.人工现实法基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统 五、几个数学模型 1.如何预报人口的增长 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果 建立模型的目的:在对出生和死亡的概率作出适当假

10、设的基础上，寻求人口 X(t)的变化规律，用它描述人口的发展状况 先看一种最简单的计算方法 要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的 记今年人口为 x0，k 年后人口为 xk，年增长率为 r，则预报公式为 xkx0(1+r)k 显然，这个公式的基本前提是年增长率 r 保持不变这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?3 历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题 早在 18 世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型

11、)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l7661834)根据百余年的人口统计资料，于 1798 年提出了著名的人口指数增长模型 这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比 记时刻 t 的人口为 x(t)，初始时刻(t0)的人口为 x0，人口增长率为 r，r 是单位时间内 x x(t)的增量与 x(t)的比例系数根据 r 是常数的基本假设，t 到 t+t 时间内人口增量为 x(t+t)(tx=r x(t)t 于是 x(t)满足如下的微分方程 0)0(xxrxdtdx 由这个线性常系数微分方程容易解出 rtextx0)(表明人口将按指数规律无限增长

12、(r0)将 t 以年为单位离散化，人口以re为公比的等比数列增长因为这时 r 表示年增长率，通常 r 020nnC 从而 tttenCeentEtGtD)(220)(2)(02)()()(ttenen)(20)(0 所以 1)()()(0tteentD (12)9)(tD的大小表示了人口)(tX在期望值)(tE附近的波动范围(12)式说明这个范围不仅随着时间的延续和净增长概率r的增加而变大，而且即使当r不变时，它也随着和的上升而增长这就是说，当出生和死亡频繁出现时，人口波动范围变大。5.报童的诀窍 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回报童每天如果购进的报纸太少，不够卖会少赚

13、钱；如果购进太多，卖不完要赔钱 建立模型的目的:为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入 模型假设 1.零售价为 a，购进价为 b，退回价为 c，abc;即：售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔 b-c 2.每天报纸的需求量是随机变量，且 Rr 的概率是 PRr=f(r)(r=0,1,2,)将 R 视为连续变量更便于分析和计算，这时 概率 f(r)转化为概率密度函数 p(r).3.报童每天购进 n 份报纸时的收人为 W,4.报童每天购进 n 份报纸时的平均收人为 G(n)，建模与求解 根据假设条件知 .,)(,0 ,)()(nRnbanRRncbRbaW (1)那么 nn

14、drrnpbadrrprncbrbaEWnG)()()()()()(0 (2)nnndrrpbandrrpcbndrrprcbrba)()()()()()()(00 问题归结为:求 n 使 G(n)最大 计算 nndrrpbannpbarnpcbdrrpcbnnpcadndG)()()()()()()()()()(0 nndrrpbadrrpcb)()()()(0 令0dndG,得到 cbbadrrpdrrpnn)()(0 (3)10 因为1)()()(00drrpdrrpdrrpnn，所以(3)式又可化表为 nndrrpbadrrpcb00)(1)()()(badrrpbadrrpcbnn0

15、0)()()()(得 cabadrrpn0)(4)使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足(4)式 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n。在下图中用 p1、p2分别表示曲线 p(r)下的两块面积，则(3)式可记作 cbbaPP21 (5)因为当购进 n 份报纸时,ndrrpP01)(是需求量 r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率；ndrrpP)(2是需求量 r 超过 n 的概率，即卖完的概率.所以(3)式 cbbadrrpdrrpnn)()(0 表明:购进的份数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔的钱 b-c之比 显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多 例 零售价为 0.50，购进价为 0.30，退回价为 0.10 那么 5.010.050.030.050.0caba 若 R 服从参数 300 的泊松分布，即)300(PR，11 报童每天购进 n 份报纸，有 nkknkknekpdrrpcaba030000!300)(5.0,计算后知,每天购进 n=300 份,获得的收入最大.n:=200;sum(300*k*exp(-300)/k!,k=0.n);evalf();