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1、 1 几何专题辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但许多初中生对几何证实题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证实题,往往束手无策。一、辅助线的定义:为了证实的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线。二、几种常用的辅助线:连结、作平行线、作垂线、延长等 注意:1)添加辅助线是手段,而不是目的,它是沟通已知和未知的桥梁,不能见到题目,就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多,图形越乱,反而妨碍思考问题。2)添加辅助线时,一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助
2、线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证实有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径
3、连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证实是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆 假如碰到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证实题目少困难。辅助线,是虚线,画图注重勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时把握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩
4、上升成直线。几何证题难不难,关键常在辅助线;知中点、作中线,中线处长加倍看;底角倍半角分线,有时也作处长线;线段和差及倍分,延长截取证全等;公共角、公共边,隐含条件须挖掘;全等图形多变换,旋转平移加折叠;中位线、常相连,出现平行就好办;四边形、对角线,比例相似平行线;梯形问题好解决,平移腰、作高线;两腰处长义一点,亦可平移对角线;正余弦、正余切,有了直角就方便;非凡角、非凡边,作出垂线就解决;实际问题莫要慌,数学建模帮你忙;圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;弦心距、要垂弦,碰到直径周角连;切点圆心紧相连,切线常把半径添;两圆相切公共线,两圆相交公共弦;切割线,连结弦,两圆三圆连心线;基本图形要熟
5、练,复杂图形多分解;以上规律属一般,灵活应用才方便。2 五、总结常见添加辅助线的方法(一)定义类:1、和角平分线有关的问题,通常可以作这个角的两边的平行线 例 1:在ABC 中,AD 是BAC 的角平分线,与 BC 交于 D,求证:ABAC=BDCD EABCD 解析:这个习题的证实方法很多,但均离不开添加BAC 的两边的平行线。过 D 做DEAC 与 AB 交于 E。过 D 做 DFAB 与 AC 交于 F。过 B 做 BHAC 与 AD 交于 H。过 C 做 CGAB 与 AD 的延长线交于 G。2、如遇垂直平分线的问题,往往构成等腰三角形,利用等腰三角形的性质解题 例 2:已知在三角形
6、ABC 中,BD,CE 分别是 AC,AB 边上的高,G、F 为分别为 ED、BC 的中点,求证:FGED jGDEFBCA 分析:G 是 ED 的中点,要证实 FGED,说明 FG 必为 ED 的垂直平分线,自然考虑添加辅助线 DF 与 EF,只要证得 DF 与 EF 相等,就可利用等腰三角形的三线合一定理推出结论。(二)、梯形问题。梯形没有平行四边形、矩形等特殊四边形有那么多性质,所以有关梯形的证明题、计算题,常有一定的难度,假如能巧借辅助线,则能有效地化难为易。1、移腰 1、移动一腰 例 1:梯形两底长分别为 14cm 和 24cm,下底与腰的夹角分别是 60和 30,求较短腰长。DBC
7、A 解析:如图,在梯形 ABCD 中,AD/BC,AD=14cm,BC=24cm,B=60,C=30。过点A 作 AE/DC 交 BC 于 E,得到平行四边形 AECD 和ABE,故 AE=DC,AD=EC,C=AEB=30。这样,梯形的两腰,两底之差,下底与腰的两个夹角都集中于 RtABE 中,于是得到较短腰。3 EDBCA、移动两腰 例 2:如图,梯形 ABCD 中,AD/BC,E、F 分别是 AD、BC 的中点,且 EFBC。求证:B=C。CFEADB 分析:过点 E 作 EM/AB,EN/DC,分别交 BC 于点 M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于EMN 中,由 E、F 分别是
8、 AD、BC 的中点轻易得到,又由 EFBC,得 EM=EN,故EMN=ENM,所以B=C。MNCFEADB 2、移对角线 例 3:已知梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=DC,对角线 AC、BD 互相垂直,梯形的两底之和为 8。求梯形的高与面积。CADB 解析:过点 D 作 DE/AC 交 BC 的延长线于点 E,过点 D 作 DMBC 于点 M,这样得到平行四边形 ACED,所以 AC=DE,AD=CE。由 ACBD,得 BDDE。这样将两对角线,两底和,两对角线夹角集中于BDE 中。轻易得到 DM 为等腰直角BDE的 BE 边上的高,所以,即梯形的高为 4。MECADB 3、移底 例
9、4:如图,梯形 ABCD 中,AB/CD,E 为腰 AD 的中点,且 AB+CD=BC。4 求证:BDCE。CEABD 分析:延长 CE 交 BA 的延长线于点 F,因为点 E 为 AD 的中点,可得DCEAFE,故 CE=FE,CD=AF,由 AB+CD=BC,得 BC=BF,故 BECE。FCEABD 4、作高 例 5:如图,在梯形 ABCD 中,AB/CD,两条对角线 AC=20cm,BD=15cm,梯形高为 12cm,求梯形 ABCD 的面积。ABDC 解析:此题有两种解法。法一:如图 6,分别过点 C、D 作 CEAB 于点 E,DFAB 于点 F,得矩形 DCEF,在 RtACE中
10、,AC=20cm,CE=12cm,可得 AE=16cm。同理 BF=9cm,显然 BF+AE=AB+CD=25,可求梯形面积为。如图6EFABDC 法二:如图 7,过点 D 作 DE/CA 交 BA 的延长线于点 E,过点 D 作 DFBA 于点 F,在 RtDEF 中,DE=AC=20cm,DF=12cm,由勾股定理可得 EF=16cm。同理,FB=9cm,所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25,进而求得梯形面积为。5 如图7FEABDC 通过添加辅助线,将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题,从而解决问题。梯形添加辅助线的规律可归纳为以下几点:1、当两腰具备非凡关系时,移腰,构造等腰
11、三角形或直角三角形。2、当涉及面积时,作高,构造直角三角形。3、当涉及腰的中点时,可添加辅助线构造全等三角形。4、当涉及两底的和或差时,可灵活利用上述三点,将两底移到同一直线上。(四)涉及到圆的辅助线可以归纳如下:遇有直径,常把圆上的一个点和直径的两个端点连接,构成直角三角形;有关弦的问题常做弦心距和将圆心与弦的两个端点连接;两圆相切或相交,则可以按以下规律进行:“相切做条公垂线,相交做条共弦;相切相交连心线,必定过切点,垂直公共弦”。例 1、AB,CD 是圆 O 中的两弦,相交于 M,且 ABCD,求证:AM2+BM2+CM2+DM2等于定值。DCMOAB 例 2:已知直角 ABC中,C=9
12、00,AC=6cm,BC=8cm,以 C 为圆心,CA 长为半径画圆交斜边AB 于 D,求 AD 的长。解:过 C 作 CEAD 于 E 依垂径定理有 AE=DE 由勾股定理得 6 AB=(AC2-BC2)1/2=10cm 由 ACE ABC得 AE/AC=AC/AB AE=AC2/AB=3.6cm AD=2AE=7.2cm 答:AD 长为 7.2cm 例 3:已知在 ABC中,AB=AC,以 AB 为直径作O 交 BC 于 E,求证:DE 是O 的切线 证明:连结 AD、OD。AB 为O 的直径 ADB=90。,ADBC AB=AC,BAD=CAD DEAC,CDE=CAD 即CDE=BAD
13、OA=OD,OAD=ODACDE=ODACDE+ADE=90。ODA+ADE=90。ODDE D 在O 上 DE 是O 上 DE 是O 的切线。例 4:已知 PA 和O 相切于 A,PO 交O 于 B、C,ADPO,D 为垂足。求证:OBCP=CDOP 分析:要证 OBCP=CDOP,只要证 CD/OB=CP/OP,即要证 CD-OB/DB=CP-OP/OP 由于 OC=OB,问题转化为证:OB2=ODOP。在这里就想要到连 OA,由 OA=OB,只需要 OA2=ODOP。而 PA 是切线,即 OAAP,又 ADAP,有 OA2=ODOP 成立.例 5:如图O1和O2相交于 A、B,在O1上取
14、一点 P,连结 PA,PB,交O2于 C、D 两点,求证 CD 与过 P 点的切线 PE 平行。证明:连接 AB ACBD在O2上CAB=CDB,又CAB=BPECDB=BPE 所以 PECD 例 6、如图,已知M 和N 相切于 C,过 C 作大圆的弦 CBCE,分别交小圆于 A,D,连 BEAD 证明:过切点 C 作外公切线 CPCP 为N 的切线PCD=CAD同理CAD=CBE CAD=CBEBEAD 为了便于记忆,把上述六例编一个顺口溜:与圆有关辅助线,加添规律人可循。遇弦就添弦心距,遇有直径找直角。7 切线切点连圆心,两圆连心关系好。相切两圆公切线,相切两圆公弦妙。解题方法有多样,并非
15、一定限此道。(五)和线段的中点有关的问题往往可以联系到三角形和梯形的中位线 例如:如图四边形 ABCD 是圆的外切四边形,其周长是 S,E,F 分别是 AD,BC 的中点,求证:4EFS FCEDAB 证实方法:连接 AC,N 是 AC 和 EF 的交点 1)若 N 是 AC 的中点,则 EFDCAB,四边形 ABCD 是梯形,那么 EF 是梯形 ABCD 的中位线,则有 4EF=2(DA+BC)=AB+BC+CD+DA=S 2)若 N 不是 AC 中点则可以做出 AC 的中点 M,连接 EM,FM,则有 2EM=DC,2FM=AB,从而可以得出 4=2=S,而在三角形 EMF 中 EFEM+
16、MF,可得 4EFS。(六)暗示类:1、截长补短:一条线段等于另外两条线段的和差。例如:已知 RtABC 中,C=90,AC=BC,AD 是BAC 的角平分线,求证:AB=BC+CD DACB 方法一:截长,在 AB 上截取 AE 等于 AC,连接 DE 从而就有了AEDACD,可得 DE=DC,因为C=90,从而又可得BED 是等腰三角形,因此有 DE=DC=BE,得出 AB=AC+CD 方法二:补短延长 AC 到 F,使 CF=CD,连接 D、F,可证ABDAFD,可得 AF=AB,得出结论。8 2、当比例式不能直接证实时,往往可以考虑“中间比”或等线段,为此往往需要添加平行线或寻找等线段
17、实现这种比的转移。例:已知在三角形 ABC 中,D 在 CB 的延长线上,E 在 AC 上,BD=AE,DE 交 AB 于 F,求证:DFEF=ACBC。FABCED 分析:所证实的四条成比例线段,构不成两个相似三角形,因此考虑作 EGAB,将 DFEF转化为 DBBG,最后转化为 ACBC。GFABCED 3、一条线段等于另外一条线段的倍分。例:已知在三角形 ABC 中,B=2C,AD 为高,E 为 BC 的中点,求证:AB=2DE。EDBCA 证:取 AC 中点 F,连接 EF,DF,则 EF 为中位线,且 EFAB、FEC=B=2C,在直角三角形 ACD 中,F 是斜边 AC 的中点,所以有 DF=CF、可得DEF=C,即有 2FDC=FEC,从而有EFC=FDC+DFE,所以 2DFE=FEC=2FDC 得出 DE=EF,得出 2DE=AB 得证。四、注重强调添加辅助线的原则:聚拢集中原则 通过添置适当的辅助线,将图形中分散,远离的元素,通过变换和转化,是他们相对集中,聚拢到有关图形上来,使题设条件与结论建立逻辑关系,从而推导出要求的结论 化繁为简原则 9 对一类几何命题,其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中,其逻辑关系不明朗,通过添置适当辅助线,把复杂图形分解成简单图形,从而达到化繁为简,化难为易的目的
限制150内