最短路径(将军饮马)问题.pdf

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1、最短路径（将军饮马）问题与拓展 相关定理或公理：线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边；垂线段性质：垂线段最短。问题提出：唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。如图，将军在观望烽火后从山脚下的 A 点出发，走到河边饮马后 再走到 B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？模型【1】一定直线，异侧两定点 已知：直线 l 和它异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB 最小 模型【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB 最小 模型【3

2、】两定直线，两定点 已知：MON 内部有两点 P、Q，在 OM、ON 上分别作点 A、B，使四边形 PQBA 周长最小 模型【4】两定直线，一定点 已知：MON 内部有一点 P 在 OM、ON 上分别作点 A、B，使PAB 周长最小 lABlABMONPQMONP模型【5】两定直线，一定点 已知：MON 内部有一点 P 在 OM、ON 上分别作点 A、B，使 ABPB 最小 注意：模型 4 与模型 5 的联系与区别 变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点 已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PAPB最大 模型【7】一定直线，异侧两定点 已知：直线

3、 l 和它同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使PAPB最大 造桥选址问题 利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。原题再现 如图 1，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN。桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第 86 页）MONPlABlAB变式拓展 模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点 已知：直线 l 和它同侧两点 A、B，在直线求作一条线段 CD（长度不变），使 ACCDDB 最小 巩固练习 1、如图，在四边形 ABCD 中，BD90，BAD110，在

4、 BC 上存在一点 M，在 CD 上存在点 N，使AMN 的周长最短，则MAN 的度数为 ；2、如图，RtABC 中，BC3，AC4，AB5，BD 平分BAC，点 E、F 分别为 BD、BC 上的动点，连接 CE、EF，则 CEEF 的最小值是_ 3、如图，若 AP4，CAB30，在 AB 上有一动点 M，AC 上有一动点 N，则 PMN 周长的最小值是_ 4、如图，ABC 在平面直角坐标系中，且 A(1，3)、B(4，1)、若 M（a-1，0）、N（a，0），当 BMMNNA 最小时，直接写出 a 的值是_ 几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或

5、几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1特殊位置与极端位置法；2几何定理(公理)法；3数形结合法等 lDABC第1题图 DCBABACPDCABEF例 1、如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，ADBC，垂足是点 D，点 E 为直线 AD 上一点，以 CE 为边作等边三角形 CEF，则 DF 的最小值是_ 练习：1、如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，点 D 为 BC 中点，点 E 为直线 BC 上一点，以 AE 为边作等边三角形 AEF，则 DF 的最小值是_ 2、平面直角坐标系中，C(0，4)，K(2，0)，A 为 x 轴上一动点，连接 AC，将 AC 绕 A 点顺时针旋转 90得到AB，当点 A 在 x 轴上运动，BK 取最小值时，点 B 的坐标为 FDABCEFDCABExyBKCOA