北师大版七年级数学上册前三章知识点总结.pdf

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1、 1/11 北师大版七年级数学上册前三章知识点总结 前言：七年级上知识点很简单,主要是衔接作用,很多知识点在六年级涉及过,现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。第一章 丰富的图形世界 备注：本单元两个易错点：1、图形的展开与折叠 2、“三视图”判断图形个数 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。2、生活中的立体图形 圆柱 柱 生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱

2、（长方体、正方体）、五棱柱、(按名称分)锥 圆锥 棱锥 3、点、线、面、体（1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。面：包围着体的是面,分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线,线动成面,面动成体。4、常见的几何体及其特点 长方体：有 8 个顶点,12 条棱,6 个面,且各面都是长方形。（正方形是特殊的长方形）,正方体是特殊的长方体。棱柱：上下两个面称为棱柱的底面,其它各面称为侧面,长方体是四棱柱。棱锥：一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。圆柱：有上下两个底面和一个侧面（曲面）,两个底面是半径相

3、等的圆。圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。圆锥：有一个底面和一个侧面（曲面）。侧面展开图是扇形,底面是圆。球：由一个面（曲面）围成的几何体。5、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面,n 个侧面,共（n+2）个面；3n 条棱,n 条侧棱；2n 个顶点。6、正方体的平面展开图：11 种 2/11 7、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形,正方形、矩形、非矩形的平行四边形、非等腰梯形、等腰梯形、五边形、六边形、正六

4、边形 不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形 其他几何体的截面形状：正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形 圆柱：圆、长方形、（正方形）、圆锥：圆、三角形、球：圆 8、三视图 物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图,叫做主视图。左视图：从左面看到的图,叫做左视图。俯视图：从上面看到的图,叫做俯视图。第二章 有理数及其运算 备注：1*、数轴是新知识很多地方用到 2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要,有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论”这也是贯穿初高中的一个重要数学思

5、想）3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。1、有理数的分类 整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。正有理数 整数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 或 有理数 负有理数 分数 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零 在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相等.相反数是成对出现的,不能单独存在,单独的一个数不能说是相反数。3/11 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一个有理数都可以用数轴上的一

6、个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想,并能灵活运用。4、倒数：如果 a 与 b 互为倒数,则有 ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值时它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则 a0；若|a|=-a,则 a0。绝对值的有关性质 对任意有理数 a,都有|a|0；若|a|=0,则 a=0；若|a|=|b|,则 a=b 或 a=b；若|a|=b（b0）,则 a=b；若|a|b|=0,则 a=0 且 b=0；对任意有理数 a,都有|a|=|a|.6、有理数比较大小：正数大

7、于零,负数小于零,正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大；两个负数,绝对值大的反而小。7、有理数的运算 ：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积的符号为负；当负因数有偶数个时,积的符号为正。只要有一个数为零,积就为零。有理数加法法则：同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。异号两数相加,绝对值值相等时和为 0；绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加,仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为 0。有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数！有理数

8、乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘,积仍为 0。有理数除法法则：两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0。注意：0 不能作除数。有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方。a2是重要的非负数,即 a20；若 a2+|b|=0 则 a=0,b=0；据规律 底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位.注意：一个数可以看作是本身的一次方,如 5=51；当底数是负数或分数时,要先用括号将底数括上,再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；任何数的偶

9、数次幂都是非负数；（除 0 以外任何数的 0 次方都得 1）1 的任何次幂都得 1,0 的任何次幂（除 0 次）都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1；在运算过程中,首先要确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值。4/11（2）有理数的运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的。（3）运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 变形公式 ()abaca bc 8、科学记数法 一般地,一个大于 10 的数可以表示成 的形式,其中,n 是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。（n=整数位数-1）第三章 整式及其加减 备注：这章算是这册

10、比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的理解,其次是对同类项的理解和计算。容易出错的地方大多在化简计算,有几点：1、是化简计算过程中去括号变号。2、化简求值中“整体思想”的运用。3、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。知识点 一、字母表示数 A.字母可以表示任何数,用字母表示数的运算律和公式法则；1 加法交换律abba 加法结合律abca（bc）2 乘法交换律abba 乘法结合律（ab）ca（bc）乘法分配律a（bc）abac 用字母表示计算公式：1 长方形的周长 2（ab）,面积ab （a、b分别为长、宽）2 正方形的周长 4a,面积a2（a表示边长）3 长方体的体积abc,表面积 2

11、ab2bc2ac（a、b、c分别为长、宽、高）4 正方体的体积a3,表面积 6a2（a表示棱长）5 圆的周长 2r,面积r2（r为半径）6 三角形的面积21ah（a表示底边长,h表示底边上的高）B.在同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示。C.用字母表示实际问题中某一数量时,字母的取值必须使这个问题有意义,并且符合实际。4、注意书写格式的规范：(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号,乘号可以写成“”,但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2)数和字母相乘时,数字应写在字母前面；(3)带分数与字母相乘时,应把带分数化成假分数；(4)除法运算写成分数形式,分数线

12、具“”号和“括号”的双重作用。(5)在代数式的运算结果中,如有单位时,结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题：5/11 例题 1.有一大捆粗细均匀的钢筋,现要确定其长度,先称出这捆钢筋的总质量为 m 千克,再从中截取 5 米长的钢筋,称出它的质量为 n 千克,那么这捆钢筋的总长度为（）米 A、mn B、mn5 C、5m5 D、(5mn 5)例题 2.用代数式表示“2a 与 3 的差”为（）A2a3 B32a C2（a3）D2（3a）例题 3.如图 131,轴上点 A 所表示的是实数 a,则到原点的距离是（）A、a Ba Ca D|a|例题 4.已知 a=120 x+20,

13、b=120 x+19,c=120 x+21,那么代数式 a2+b2+c2abbcac 的值为（）A、4 B、3 C、2 D、1 练习：1、温度由t下降 3后是_.2、飞机每小时飞行a千米,火车每小时行驶b千米,飞机的速度是火车速度的_倍.3、无论a取什么数,下列算式中有意义的是（）A.、11a B.a1 C.121a D.121a 4、全班同学排成长方形长队,每排的同学数为a,排数比每排同学数的 3 倍还多 2,那么全班同学数为（）A.23aa B.)23(aa C.23 aa D.)2(3aa 5、轮船在 A、B 两地间航行,水流速度为m千米时,船在静水中的速度为n千米时,则轮船逆流航行的速

14、度为_千米时 6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x元的商品,甲超市连续两次降价 20%,乙超市一次性降价 40%,丙超市第一次降价 30%,第二次降价 10%,此时顾客要想购买这种商品最划算,应到的超市是（）（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙或丙 7、下列说法中：a一定是负数；|a一定是正数；若0abc,则cba、三个有理数中负因数的个数是0 或 2,其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是n,则它们三个数的和是 9、设三个连续奇数的中间一个数是x,则它们三个数的和是 10、设n为自然数,则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为 二、

15、代数式 1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。如：n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2bc+2ac（单独一个数或一个字母也是代数式）注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式,但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义,是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式的书写格式：代数式中出现乘号,通常省略不写,如 vt；数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如 4a；6/11 带分数与字母相乘时,应先把带分数化成

16、假分数,如a312应写作a37；数字与数字相乘,一般仍用“”号,即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时,一般写成分数的形式,如 4（a-4）应写作44a；注意：分数线具有“”号和括号的双重作用。在表示和（或）差的代数式后有单位名称的,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面,如)(22ba 平方米。例：下列不是代数式的是（）0.A .sBt 1.Cx 20.1.Dxy 2、单项式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数,所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个

17、非零数的次数是 0；3.书写时,当单项式的系数为 1 或-1 时,这个“1”应省略不写,如-ab 的系数是-1,ab 的系数是 1。4.是数字,不是字母。例：2ab的系数是 ；如2x的系数是 ；如212x的系数是 ；3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中,每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例：代数式251xyxx有 项,第二项的系数是 ,第三项的系数是 ,第四项的系数是 4、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分,在代数式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。练习：1、某商品售价为a元,打八折后又降价 20 元,则现价为_元 2、

18、橘子每千克a元,买 10kg以上可享受九折优惠,则买 20 千克应付_元钱.3、如图,图 1 需 4 根火柴,图 2 需_根火柴,图 3 需_根火柴,图n需_根火柴。（图 1）（图 2）（图 n）4、温度由t下降 3后是_.7/11 5、飞机每小时飞行a千米,火车每小时行驶b千米,飞机的速度是火车速度的_倍.6、无论a取什么数,下列算式中有意义的是（）A.11a B.a1 C.121a D.121a 7、全班同学排成长方形长队,每排的同学数为a,排数比每排同学数的 3 倍还多 2,那么全班同学数为（）A.23aa B.)23(aa C.23 aa D.)2(3aa 8、填空23x y的系数为_

19、,次数为_：232ab的次数为_；2ab的系数是 ；2x 的系数是 ；212x的系数是 ；代数式251xyxx有 项,第二项的系数是 ,第三项的系数是 ,第四项的系数是 9、下列不是代数式的是（）0.A .sBt 1.Cx 20.1.Dxy 三、合并同类项 1、同类项：所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。如：100a 和 200a,240b 和 60b,-2ab 和 10ba 2、合并同类项法则：把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。合并同类项

20、法则：（1）写出代数式的每一项连同符号,在其中找出同类项的项；（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.（3）不同种的同类项间,用“+”号连接（4）没有同类项的项,连同前面的符号一起照抄 如：合并同类项 3x2y 和 5x2y,字母 x、y 及 x、y 的指数都不变,只要将它们的系数 3 和 5 相加,即3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y 3合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加法交换律,把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则,把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果 4.注意:（1）不是同类项不能合并（2

21、）求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.例 1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：（1）23a2b 和-57a2 b （2）2m2 np 和-pm2n (3)0 和-1 8/11 例2.下列各组中：xyyx5152与；22515yxyx与；22515yxax 与；338x与；2x与212x；23x与x23x与2,同类项有 （填序号）例 3.如果13xky 与13x2y 是同类项,则 k=_,13xky+（-13x2y）=_ 例 4直接写出下列各式的结果：（1）-12xy+12xy=_；（2）7a2b+2a2b=_；（3）-x-3x+2x=_；（4）x2y

22、-12x2y-13x2y=_；（5）3xy2-7xy2=_ 例 5合并下列多项式中的同类项（1）4x2y-8xy2+7-4x2y+10 xy2-4；（2）a2-2ab+b2+a2+2ab+b2 （3）223561xxx （4）222226245xyxx yyxx 例 6.若0,0 xy,22102xyaxy,则a 练习：1、单项式22bax与yba3是同类项,则x ,y 2、下列各组中：xyyx5152与；22515yxyx与；22515yxax 与；338x与；2x与212x；23x 与x23x与2,同类项有 （填序号）3、合并同类项：223561xxx 222226245xyxx yyxx

23、 4、若0,0 xy,22102xyaxy,则a 四、去括号法则 1、根据去括号法则去括号：（1）括号前是“+”号,把括号和前面的“+”号去掉,括号里的各项的符号都不改变。（2）括号前是“”号,把括号和前面的“”号去掉,括号里的各项都要改变符号。2、根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号：若括号前有因式,应先利用乘法分配律展开,同时注意去括号时符号的变化规律。9/11 3、多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号 注意：1、添括号法则 添“”号和括号,添到括号里的各项符号都不改变；添“”号和括号,添到括号里的各项符号都要改变。2、整式的运算：整式的加减法：（1）

24、去括号；（2）合并同类项。例 1、一个两位数,十位数字是x,个位数字比十位数字 2 倍少 3,这个两位数是 例 2、去括号,合并同类项（1）3（2s5）+6s (2)3x5x（12x4）（3）6a24ab4(2a2+12ab)（4）)6(4)2(322xyxxyx（5）()()xyxy （6）2()3()2mnmxx （7）)35(13222xxxx （8）)21(4)3212(22aaaa （9）)2(2)35(babaa （10）mnmnnmnm2222612131 练习：1、化简：()()xyxy 2()3()2mnmxx 2、一个两位数,十位数字是x,个位数字比十位数字 2 倍少 3,

25、这个两位数是 3、化简：(1)35(13222xxxx (2)21(4)3212(22aaaa (3)2(2)35(babaa (4)mnmnnmnm2222612131 五、代数式求值先化简,再求值 代数式求值：10/11 1、用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式的运算关系计算,所得的结果是代数式的值。2、求代数式的值时应注意以下问题:（1）严格按求值的步骤和格式去做（2）一个代数式中的同一个字母,只能用同一个数值代替,若有多个字母,代入时要注意对应关系,千万不能混淆（3）在代入值时,原来省略的乘号要恢复,而数字和其他运算符号不变（4）字母取负数代入时要添括号（5）有乘方运算时,如果代

26、入的数是分数或负数,要加括号 例 1 当 x=13,y=-3 时,求下列代数式的值:（1）3x2-2y2+1；（2）2()1xyxy 例 2 当2x 时,求代数式5(41)xx的值 例 3 已知ba，互为倒数,nm，互为相反数,求代数式2(223)mnab的值 例 4 化简,求值：1)32(36922babbab,其中21a,1b )3123()31(22122yxyxx,其中32,2yx 经典例题 例题 1.若 abx与 ayb2是同类项,下列结论正确的是（）AX2,y=1 BX=0,y=0 CX2,y=0 D、X=1,y=1 例题 2.2xx 等于（）Ax Bx C3x D3x 例题 3.

27、x（2xy）的运算结果是（）Ax+y Bxy Cxy D3xy 练习：1、当2x 时,求代数式5(41)xx的值 2、已知ba，互为倒数,nm，互为相反数,求代数式2(223)mnab的值 11/11 3、已知32 nm,求733mn的值。4、化简,求值：1)32(36922babbab,其中21a,1b )3123()31(22122yxyxx,其中32,2yx 5、已知2221Ax yxy,22121,2,2Bx yxyxy ,求2AB 六、探索规律列代数式 例题 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律,猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_,第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n 的代数式表示,n 为正整数）例题 2.观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的_；如果等号左边的第一 个实数 用 x 表 示,第 二个实 数用 y 表示,那 么这 些等式 的共同特 征可用 含 x,y 的 等式 表示 为_.（2）将以上等式变形,用含 y 的代数式表示 x 为_；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数,并写出等式形式：_ 例题 3.一串有黑有白,其排列有一定规律的珠子,被盒子遮住一部分如图 133 所示,则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗