多面体与球切、接的问题(一).pdf

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1、多面体与球切、接的问题（一）纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见.首先明确定义 1

2、：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形 态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关 问题.1.1 球与正方体 如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1，设正方体的棱长为 a，E,F,H,G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形

3、 EFGH 和 a 其内切圆，则 OJ r ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 EFGH 和其外 2 接圆，则 GO R 2 a；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACAC 和其外接 2 1 1 圆，则 A1O R 3 a.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工 2 具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确 定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.（1）正方体的内切球，如图 1.位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中 心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2

4、r a.（2）正方体的外接球，如图 2.位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中 心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r 3a.（3）正方体的棱切球，如图 3.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与 AD1 球心重合；数据关系：设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，这时有 2r 2a.例 1 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球O 的表面上，E，F 分别是棱 AA1，DD1 的中点，则直线 EF 被球O 截得的线段长为（）A 2 2 B1 C1 2 D 2 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面

5、 AA1DD1 截面所得圆面的半径 R 2 2,得知直线 EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径.2 1.2 球与长方体 例 2 自半径为 R 的球面上一点 M，引球的三条两两垂直的弦 MA,MB,MC，求 MA2 MB 2 MC 2 的值 思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导 学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联 2 例 3（全国卷 I 高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个 球的表面积为（）.A.16B.20C.24D.32 思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积 16 及高

6、 4 可以求出长方体的底面边长为 2，可得长方体的长、宽、高分别为 2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.2 球与锥体的切接 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和 内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题.2.1 正四面体与球的切接问题 （1）正四面体的内切球，如图 4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四 面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R h 6 a；（可 3 以利用体积桥证明）（2）正四面体的外接球

7、，如图 5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为h；球的半径为 R，这时有 4R 3h 6a；（可用正四面体高 h 减去内切球的半径得到）（3）正四面体的棱切球，如图 6.位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体 的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为 a，高为 h；球的半径为 R，这时有 4R 3h 2a,h 6 a.3 例 4 设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比 思路分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两 个球的

8、半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的 2.2 其它棱锥与球的切接问题 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球 6 6 面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 R 这 样 求球 的 半 径 可 转 化 为 球 球 心 到 三 棱 锥 面 的 距 离，故 可 采 用 等 体 积 法 解 决，即 四 个 小 三 棱 锥 的体积和为正三棱锥的体积.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等 进行求解.

9、例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.例 5 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积 思路分析：此题求解的关键是搞清球的半径与正三棱锥的高及底面边长的关系，由等体积法 可得：V P ABC VO PAB VO PAC VO PBC VO ABC，得到 R 2 2 3 2 3 3 3 例 6（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面 积是 .思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球 的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.

10、三条侧棱两两垂直，使我们很快联想 到长方体的一个角，马上构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这 是解决几何体与球切接问题常用的方法 例 7【2012 年新课标高考卷】已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 是球O 的直径，且 SC 2；则此棱锥的体积为（）A.2 6 B.3 6 C.2 3 D.2 2 思路分析：ABC 的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点O 到面 ABC 的距离.由 SC 为球O 的直径 点 S 到面 ABC 的距离即可求得棱锥的体积.