综合评价建模.pdf

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1、 1 综合评价建模 综合评价方法一般有三种：传统的评判方法、模糊综合评判方法、层次分析法。一、传统的评判方法 传统的评判方法有总评分法和加权评分法：总评分法：根据评判对象的评价项目),2,1(niui，首先，对每个项目确定出评价 的等级和相应的评分数),2,1(nisi，并将所有项目的分数求和niisS1，然后，按 总分的大小排序，从而确定出方案的优劣 加权评分法：根据评判对象的诸多因素（或指标）),2,1(niui所处的地位或所起的作用一般不尽相同因此，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分),2,1(nisi的加权和niiiswS1其中iw为第),2,1(nii个因素（指标）的权值 二、

2、层次分析法 层次分析（Analytic Hierarchy Process，简记AHP）是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，使人们的思维过程层次化通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行分析的复杂问题，为解决这类问题提供一种简便实用的方法因此，它在计算、制定计划、资源分配、排序、政策分析、军事管理、冲突求解及决策预报等领域都有广泛的应用 层次分析法解决问题的最突出的特点是分层比较，综合优化其解决问题的基本步骤如下：2 1系统的递阶层次结构 分析系统中各

3、因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出一个树状结构的层次结构模型，称为层次结构图 一般问题的层次结构图分为三层，如下图所示 最高层为目标层(O):问题决策的目标或理想结果，只有一个元素 中间层为准则层(C):包括为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素为一准则，当准则多于个时可分为若干个子层 最低层为方案层(P):方案层是为实现目标而供选择的各种措施，即为决策方案 一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定 层次结构图 2构造两两比较矩阵（判断矩

4、阵）对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵 构造比较矩阵不是把所有因素放在一起比较，而是将同一层的各因素进行两两对比比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难同时，要尽量依据实际问题具体情况，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响 设要比较n个因素nCCC,21对上一层（如目标层）O的影响程度，即要确定它在O中所占的比重对任意两个因素iC和jC，用ija表示iC和jC对O的影响程度之比，按决策目标(O)准则1(C1)准则2(C2)准则m1(Cm1)子准则1(C1(1)子准则2(C2(1)方案1(P1)方案2(

5、P2)方案n(Pn)子准则m2(Cm2(1)3 的比例标度来度量),2,1,(njiaij 于是，可得到两两成对比较矩阵nnijaA)(，又称为判断矩阵，显然 0ija,),2,1,(,1,1njiaaaiiijji 因此，又称判断矩阵为正互反矩阵 比例标度的确定：ija取的个等级，而jia取ija的倒数（见下表）比例标度值 标度ija 含 义 1 iC与jC的影响相同 3 iC比jC的影响稍强 5 iC比jC的影响强 7 iC比jC的影响明显地强 9 iC比jC的影响绝对地强 2,4,6,8 iC与jC的影响之比在上述两个相邻等级之间 91,21 iC与jC的影响之比为上面ija的互反数 由

6、正互反矩阵的性质可知，只要确定A的上（或下）三角的2)1(nn个元素即可在特殊情况下，如果判断矩阵A的元素具有传递性，即满足),2,1,(nkjiaaaijkjik 则称A为 一致性矩阵，简称为一致阵 3计算权重，进行一致性检验 由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致 4 性检验 相对权重向量确定 （1）和法 取判断矩阵n个列向量归一化后的算术平均值，近似作为权重，即 ),2,1(111niaanwnjnkkjiji 类似地，也可以对按行求和所得向量作归一化，得到相应的权重向量 （2）求根法（几何平均法）将A的各列（或行）向量求几何平均后归一化，可以近似作为权重，即

7、),2,1(111111niaawnjnknnjkjnijnji （3）特征根法 设想把一大石头Z分成n个小块nccc,21，其重量分别为nwww,21，则将n块小石头作两两比较，记jicc,的相对重量为),2,1,(njiwwajiij，于是可得到比较矩阵 nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwww212221212111A 显然，A为一致性正互反矩阵，记Tnwww),(21W，即为权重向量且 nwww1,1,121WA 则 5 WWWWAnwwwn1,1,121 这表明W为矩阵A的特征向量，且n为特征根 事实上：对于一般的判断矩阵A有WWAmax，这里)(maxn是A的最大特征根，W

8、为max对应的特征向量 将W作归一化后可近似地作为A的权重向量，这种方法称为特征根法（是一种最常用的方法）一致性检验 通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性实际中，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内主要考查以下指标：(1)一致性指标：1maxnnCI (2)随机一致性指标：RI，通常由实际经验给定的，如下表 随机一致性指标 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.

9、56 1.58 1.59 (3)一致性比率指标：RICICR，当10.0CR时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，则max对应的特征向量可以作为排序的权重向量此时 niinjjijniiiwwannw111max1WA 其中i)(WA 表示WA 的第i个分量 4计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行排序 计算组合权重和组合一致性检验 6 （1）组合权重向量 设第1k层上1kn个元素对总目标（最高层）的排序权重向量为 Tknkkkkwww)1()1(2)1(1)1(1,W 第k层上kn个元素对上一层(1k层)上第j个元素的权重向量为 1)()(2)(1)1(,2,1,kTkjnkj

10、kjkjnjpppkP 则矩阵)()(2)(1)(1,knkkkk PPPP 是1kknn阶矩阵，表示第k层上的元素对第1k层各元素的排序权向量那么第k层上的元素对目标层（最高层）总排序权重向量为 Tknkkkknkkkkkkkwww)()(2)(1)1()()(2)(1)1()()(,1WPPPWPW 或 kkjnjkijkiniwpwk,2,1,)1(1)()(1 对任意的2k有一般公式)2()2()3()1()()(kkkkWPPPW 其中)2(W是第二层上各元素对目标层的总排序向量 （2）组合一致性指标 设k层的一致性指标为)()(2)(11,knkkkCICICI，随机一致性指标为)

11、()(2)(11,knkkkRIRIRI 则第k层对目标层的（最高层）的组合一致性指标为)1()()(2)(1)(1,kknkkkkCICICICIW 7 组合随机一致性指标为)1()()(2)(1)(1,kknkkkkRIRIRIRIW 组合一致性比率指标为)3()()()1()(kRICICRCRkkkk 当10.0)(kCR时，则认为整个层次的比较判断矩阵通过一致性检验 例 1 一类选优排序问题 在任何一个单位(如院校、科研单位等)都有根据某些条件对所属人员进行选优的问题（如职称评定、选调职级、教学成果奖、科研成果奖等）为了使选优的结果更合理、更科学、更具有广泛的民主性，我们以某院校选优

12、的实际问题为背景来分析研究这一问题 1 问题的提出 设 有)1(N个 参 评 对 象),2,1(NnPn，评 判 条 件 有 九 个 方 面，分 别 记 为)9,2,1()1(kCk，评委会由八个部门组成，分别记为)8,2,1()2(iCi，其中)2(1C、)2(2C对所有参评对象的各项条件都有评判权，并且具有决定性作用；)2(3C对所有参评对象的条件)1(1C、)1(2C和)1(9C具有评判权；)2(4C对所有参评对象的条件)93()1(kCk具有评判权；)2(5C、)2(6C、)2(8C对部分有关的参评对象的所有条件具有评判权；)2(7C仅对有主要关系的参评对象的)1(3C、)1(4C和)

13、1(9C具有评判权现在要解决的问题是根据各评判员对各参评对象的评判结果综合排序选优 2 模型的假设与分析 2 1 模型假设:（1）各评判员按照业务主管部门的统一制定的量化标准对参评对象进行评判；（2）问题中所确定的评判员及权限是合理的，并具有充分的民主性；8 （3）问题中所确定的参评条件能够充分反映出参评对象的真实水平；（4）各评判员对参评对象的量化打分都是公平的 2 2 模型的分析：这是一个一般性、又有代表性的选优排序问题，鉴于这一问题所考虑的因素较多，需要在多层次多因素中相互比较，综合排序选优，我们利用层次分析法对此做出决策首先建立层次结构,共分四层：最上层为目标层(O):选择优秀对象；第

14、二层为准则I 层()1(C):评优的条件，共有九个因素，依次记为)9,2,1()1(kCk；第三层为准则层()2(C):评判员,共有八个因素，依次记为)8,2,1()2(iCi；第四层为方案层(P):N(2)个参评对象，依次记为),2,1(NnPn 由问题的条件可知各层次之间的关系，)9,2,1()1(kCk都与O关联；)2(1C、)2(2C、)2(5C、)2(6C、)2(8C与所有)9,2,1()1(kCk关联；)2(3C与)1(1C、)1(2C和)1(9C关联；)2(4C与)93()1(kCk关联；)2(7C与)1(3C、)1(4C、)1(9C关联；所有)8,2,1()2(iCi与全体参评

15、对象),2,1(NnPn关联 3 模型的建立与求解 3 1 确定准则I 层()1(C)对目标层(O)的权重0W 根据具体评优问题的实际，充分考虑各项条件)1(kC在评优中所起的作用的大小，构造出成 对比较矩阵 99ijaA，A是一9 阶正互反矩阵求A的最大特征值max及相应的特征向量，并对特征向量作归一化得 Twww0902010,W 由随机一致性指标45.1RI，计算一致性指标)1(CI和一致性比率指标RICICR)1()1(,若1.0)1(CR，则说明0W可作为权向量，否则要对A的元素进行调整 9 3 2 确定准则层()2(C)对目标层(O)的权重1W (1)求)2(C对)1(kC的权重向

16、量)(1kW 根据各评判员对各项条件)1(kC评判的权威性程度来确定相应的比较矩阵，设)2(C对)1(kC的比较矩阵为)9,2,1()(kbkijkB 注意到:如果有)91(00 jj个评判员对条件)1(kC不具有评判权，那么在构造比较矩阵kB时先不考虑该评判员的作用，即kB的阶数应为09j，求出kB的特征向量后在相应位置上补0j个 0 类似如上的方法可以求出每个kB的最大特征值)(maxk与相应的特征向量，并作一致性检验，将kB的特征向量作归一化即为)2(C对)1(kC的权重向量，记为 )9,2,1(,)(18)(12)(11)(1kwwwTkkkkW （1.1）若某个kB不满足一致性，则需

17、对其进行调整，至使)91(1.00)2(0kCRk，且记)2(9)2(2)2(1)2(*)2(9)2(2)2(1)2(*,RIRIRICICICIRICI (2)确定)2(C层对O层的权重1W 由(1.1)式得 )9(18)2(18)1(18)9(12)2(12)1(12)9(11)2(11)1(111wwwwwwwwwW 计算01WW,并作归一化有 Twww1812111,W (3)组合一致性检验 由上可得0)2(*)2(0)2(*)2(,WRIWCIRICI,则组合一致性比率指标为 10 )2()2()1()2(RICICRCR 若1.0)2(CR,则通过一致性检验，否则调整kB 3 3

18、确定方案层(P)对准则层()2(C)的权重2W 假设各评判员按统一的标准对所有参评对象的量化打分是已知的设各评判员对第n个参评对象)1(NnPn量化打分记为矩阵),2,1(98)(NnTnijnT,即为参评对象)1(NnPn的分数矩阵其中)(nijT表示第i个评判员)2(iC对nP的第j项条件)1(jC的打分 根据模型的假设，由于每项条件)9,2,1()1(kCk对O的权重向量为0W，于是对所有参评对象nP的分数矩阵作相应转化，令 ),2,1(,)(8)(2)(10NnrrrTnnnnnWTR 即为参评对象nP的水平向量，其中)81()(krnk表示第k个评判员对参评对象nP的综合评价指标记)

19、8,2,1(,)()2()1(krrrTNkkkkR，由此可构造方案P层对)2(kC比较矩阵NNkijkd)(D，其中),2,1,(,0,00,)()()()()(Njirrrrdjkjkjkikkij时当时当，而且所有kD均为一致阵 于是可知kD的最大特征值0,)3()(maxkkCRN，其任一列向量都是)(maxk的特征向量将其归一化可得P层对)2(kC层的权重向量记作 )8,2,1(,)()(2)(1)(kwwwTkNkkkW 故矩阵)8()2()1(2,WWWW为方案P层对准则层的权重,且一致性比率指标为01)3()3(nkkCRCR 11 3 4 确定方案层(P)对目标层(O)的组合

20、权重W 由于)2(C对O的权重1W和P对)2(C的权重为2W，于是P对O的权重为 TNwww,211)8()2()1(12WWWWWWW (1.2)如果组合一致性比率指标为1.0)3()2()1(CRCRCRCR,则组合权重W可作为目标决策的依据.3 5 排序选优 由于(1.2)式中的),2,1(Nnwn是参评对象nP对目标O层的权重，即nw就表示参评对象nP的综合水平指标，按其大小依次排序选优 4 模型的评价与应用 上面我们给出了一般的选优模型，利用此模型可以解决了实际中多因素的排序选优的一类问题，这种决策方法较其它的方法更具有公平合理性和广泛的民主性，可有效地排除人为因素对选优结果的影响为

21、选拔优秀人才提供了科学的理论依据，方法简便，可操作性强，易于实现，应用价值高该模型虽然仅以由八个评判员，九项评判条件的选优排序问题提出的，但模型可以直接推广到任何半定量和半定性多层次、多因素的选优排序问题模型的应用步骤如下：（1）由业务主管部门或领导机关制定各项条件的量化标准，确定评判员及评判权限；（2）组 织 各评判 员 对 所有参 评 对 象的各 项 条件量 化 打 分，给 出 量 化分数 矩 阵),2,1(98)(NnTnijnT （3）根据各评判条件对评优目标的影响和各评判员的权限及权威性，合理选择比较矩阵A和)9,2,1(kkB使得更符合实际 （4）将分数矩阵nT输入计算机 （5）由

22、计算机根据该模型提供的方法进行科学计算，最后输出排序结果（6）根据排序结果选出优秀者 12 例 2 合理分配住房问题 1 问题的提出 许多单位都有一套住房分配方案，一般是不同的某院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法，其原则是：“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房，任职时间相同时再考虑其它条件（如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”我们认为这种分配方案仍存在不合理性，例如，同档次的排队主要有任职先后确定，任职早在前，任职晚在后，既便是高职称、高学历，或夫妻双方都在同一单位（干部或职工），甚至有的为单位做出过突出贡献，但任职时间晚，则也只能排在

23、后面这种方案的主要问题是“按资排辈”，显然不能充分体现重视人才，鼓励先进等政策 根据民意测验，百分之八十以上人认为相关条件为职级、任职时间（为任副处的时间）、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况 要解决的问题是：请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N 人的合理分配住房方案用你的方案根据表1 中的40 人情况给出排队次序，并分析说明你的方案较原方案的合理性 表 1:40 个人的基本情况及按原方案排序 人员 职级 任职时间 工作时间 职称 学历 爱人情况 出生年月 奖励加分 P1 8 1991.6 1971.9 中级 本科 院外 1954.9 0 P2 8 19

24、92.12 1978.2 高级 硕士 院内职工 1957.3 4 P3 8 1992.12 1976.12 中级 硕士 院外 1955.3 1 P4 8 1992.12 1976.12 中级 大专 院外 1957.11 0 P5 8 1993.1 1974.2 中级 硕士 院外 1956.10 2 P6 8 1993.6 1973.5 中级 大专 院外 1955.10 0 P7 8 1993.12 1972.3 中级 大专 院内职工 1954.11 0 P8 8 1993.12 1977.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 3 P9 8 1993.12 1972.12 中级 大专 院外

25、1954.5 0 P10 8 1993.12 1974.8 高级 本科 院内职工 1956.3 4 P11 8 1993.12 1974.4 中级 本科 院外 1956.12 0 P12 8 1993.12 1975.12 高级 硕士 院外 1958.3 2 P13 8 1993.12 1975.8 中级 大专 院外 1959.1 0 P14 8 1993.12 1975.9 中级 本科 院内职工 1956.7 0 P15 9 1994.1 1978.10 高级 本科 院内干部 1961.11 5 P16 9 1994.6 1976.11 高级 硕士 院内干部 1958.2 0 P17 9 1

26、994.6 1975.9 高级 本科 院内职工 1959.6 1 P18 9 1994.6 1975.10 高级 本科 院内职工 1955.11 6 P19 9 1994.6 1972.12 初级 中专 院外 1956.1 0 13 P20 9 1994.6 1974.9 中级 大专 院内职工 1957.1 0 P21 9 1994.6 1975.2 高级 硕士 院外 1958.11 2 P22 8 1994.6 1975.9 中级 硕士 院内职工 1957.4 3 P23 9 1994.6 1976.5 中级 本科 院外 1957.7 0 P24 9 1994.6 1977.1 中级 本科

27、院内干部 1960.3 0 P25 8 1994.6 1978.10 高级 硕士 院内干部 1959.5 2 P26 9 1994.6 1977.5 中级 本科 院内职工 1958.1 0 P27 9 1994.6 1978.10 中级 硕士 院内干部 1963.4 1 P28 9 1994.6 1978.2 中级 本科 院外 1960.5 0 P29 9 1994.6 1978.10 高级 博士后 院内干部 1962.4 5 P30 9 1994.6 1979.9 中级 本科 院外 1962.9 1 P31 8 1994.12 1975.6 中级 大专 院内干部 1958.7 0 P32 8

28、 1994.12 1977.10 高级 硕士 院内干部 1960.8 2 P33 8 1994.12 1978.7 高级 博士后 院外 1961.12 5 P34 9 1994.12 1975.8 高级 博士 院外 1957.7 2 P35 9 1994.12 1978.10 高级 博士 院内干部 1961.4 3 P36 9 1994.12 1978.10 高级 博士 院内干部 1962.12 6 P37 9 1994.12 1978.10 中级 本科 院内职工 1962.12 0 P38 9 1994.12 1979.10 中级 本科 院内干部 1963.12 0 P39 9 1995.1

29、 1979.10 中级 本科 院内干部 1961.7 0 P40 9 1995.6 1980.1 高级 硕士 院内干部 1961.3 4 2 模型的分析 由题意可知，该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们的主要利用层次分析法对此作出决策 鉴于原来的按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑于是，可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的，应有轻重缓急之分因此，假设八项条件所起的作用依次为任

30、职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，这样能够符合大多数人的利益任职时间早、工龄长、职级高、高职称、双职工、高学历、年龄大、受奖多的人员都能够得到充分的体现任何一种条件的优越，在排序中都不能是绝对的优越，需要的是综合实力的优越 由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1 分计算；职级差为1 分，8 级（处级）算 2 分，9 级（副处级）算1 分；职称每差一级1 分，初级算1 分，中级算2 分，高级算3分；学历每差一档差1 分，中专算1 分，大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、

31、4、5、6 分；爱人情况：院外算1 分，院内职工算2 分，院内干部算3 分；对原奖励得分再加1分对40 人的量化分数见表2 14 表 2:40 人的量化分数表 人员 nP 任职时间 1nT 工作时间 2nT 职级)3(nT 职称 4nT 爱人情况 5nT 学历 6nP 出生年月 7nT 奖励加分 8nT 1P 8.3 32.0 2 2 1 3 52.4 1 2P 6.5 24.3 2 3 2 4 49.4 5 3P 6.5 25.7 2 2 1 4 51.8 2 4P 6.5 25.7 2 2 1 2 48.6 1 5P 6.4 29.1 2 2 1 4 49.9 3 6P 5.9 30.0

32、2 2 1 2 51.1 1 7P 5.3 31.4 2 2 2 2 52.2 1 8P 5.3 24.7 2 3 3 4 45.3 4 9P 5.3 30.5 2 2 1 2 52.8 1 10P 5.3 28.5 2 3 2 3 50.6 5 11P 5.3 28.9 2 2 1 3 49.7 1 12P 5.3 26.9 2 3 1 4 48.2 3 13P 5.3 27.3 2 2 1 2 47.2 1 14P 5.3 27.2 2 2 2 3 50.2 1 15P 5.2 23.5 1 3 3 3 43.6 6 16P 4.7 25.8 1 3 3 4 48.3 1 17P 4.7

33、27.2 1 3 2 3 46.8 2 18P 4.7 27.1 1 3 2 3 51.0 7 19P 4.7 30.5 1 1 1 1 50.8 1 20P 4.7 28.4 1 2 2 2 49.6 1 21P 4.7 27.7 1 3 1 4 47.4 3 22P 4.7 27.2 2 2 2 4 49.3 4 23P 4.7 26.4 1 2 1 3 49.0 1 24P 4.7 25.6 1 2 3 3 45.8 1 25P 4.7 23.5 2 3 3 4 46.9 3 26P 4.7 26.2 1 2 2 3 48.4 1 27P 4.7 23.5 1 2 3 4 42.1 2

34、28P 4.7 24.3 1 2 1 3 45.6 1 29P 4.7 23.5 1 3 3 6 43.3 6 30P 4.7 22.4 1 2 1 3 42.8 2 31P 4.1 27.5 2 2 3 2 47.8 1 32P 4.1 24.7 2 3 3 4 45.3 3 33P 4.1 23.8 2 3 1 6 43.5 6 34P 4.1 27.3 1 3 1 4 49.0 3 35P 4.1 23.5 1 3 3 5 44.5 4 36P 4.1 23.5 1 3 3 5 42.2 7 37P 4.1 23.5 1 2 2 3 42.2 1 38P 4.1 22.3 1 2 3 3

35、 41.0 1 15 39P 4.0 22.3 1 2 3 3 44.2 1 40P 3.5 22.0 1 3 3 4 44.6 5 3 模型的假设 (1)题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；(2)八项条件在分房方案中所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；(3)每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能够充分反映出每个人的实力；(4)在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到1998 年 5 月 4 模型的建立 4 1 建立层次结构 问题的层次结构共分三层：第一层为目标层 O：综合选优排序；第二层为准则层 C：相关条件，共有八个因素

36、，依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况，分别记为C(1,2,8)kk；第三层为方案层 P：2N 个参评人员，依次记为1,2,nPnN 4 2 确定准则层 C对目标层 O的权重1W 根据假设（2），C层的八个因素是依次排列的，我们可以认为对决策目标的影响程度也是依次排列的，且相邻两个的影响程度之差可以认为基本相等因此，构造比较矩阵如下：123456781 212345671 31 21234561 41 31 2123451 51 41 31 212341 61 51 41 31 21231 71 61 51 41 31 2121 81 71 61 51 41

37、 31 21A 这是一个8 阶的正互反矩阵，经计算求得A的最大特征值为max8.28828，相应的特征向量作归一化有 16 10.331315,0.23066,0.157235,0.105903,0.070 9356,0.0476811,0.0326976,0.0235625TW (6.2)对应的随机一致性指标11.41RI，则一致性指标max180.04118381CI，一致性比率指标1110.0292080.1CICRRI，于是1W作为C层对O层的权重向量 4 3 确定方案层 P对准则层 C的权重2W 根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力由此

38、可以分别构造P层对准则Ck的比较矩阵 ,1,2,;1,2,8kkkiki ji jkNNjTBbbi jN kT其 中 （2.1）显然，所有的1,2,8kBk 均为一致阵，由一致阵的性质可知，kB的最大特征值()max2,0kkN CR，其任一列向量都是()maxk的特征向量，将其归一化可得P对kC的权重向量，记作 12,1,2,8TkkkkNWwwwk （2.2）记 11828,NWWWW （2.3）即为P层对C层的权重，且一致性比率指标为 82210kkCRCR 4 4 确定方案层 P对目标层 O的组合权重W 由于C对O的权重1W和P对C的权重2W，则P对O的权重为 12821112,TN

39、WWWWWWWwww (2.4)其组合一致性比率指标为210.0292080.1CRCRCR，因此，组合权重W可作为目标决策的依据 17 4 5 综合排序 由于（2.2）式中的1,2,nwnN是参评人员nP对目标O层的权重，即nw就表示参评人nP的综合实力指标，按其大小依次排序，就可以得到决策方案 5 模型的求解 在上面的模型中，取40N 40个人的八项条件的量化指标如表2，由（2.1）、（2.2）式经计算可得P层对C层的权重矩阵2W，其矩阵的每一列表示2W的一列向量 kW，即P层对准则Ck的权重向量1,2,8k 由（2.3）、（2.4）和（2.1）式可得P对O组合权重为 211240,(0.

40、0315587,0.0300782,0.0277362,0.0267428,0.0285133,0.0267332,0.0269690,0.0287756,0.0258714,0.0286668,0.0258207,0.0272656,0.0250687,0.0263636,0.0257468,0.0247239,0.0239682,0.025151TWWWwww4,0.0207114,0.0225957,0.0237618,0.0263821,0.0215905,0.0231776,0.0273104,0.0224454,0.0232328,0.0210685,0.0259746,0.020

41、8275,0.0249390,0.0265460,0.0258889,0.0226997,0.0241848,0.0248248,0.0207412,0.021365 1,0.0212535,0.0227248)T 以W的 40 个分量作为40 名参评人员的综合实力指标，按大小依次排序，结果如表3 表 3：40 人的排序结果 人员 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8P 9P 10P 名次 1 2 6 10 5 11 9 3 17 4 人员 11P 12P 13P 14P 15P 16P 17P 18P 19P 20P 名次 18 8 21 14 19 24 26 20 40 32 人

42、员 21P 22P 23P 24P 25P 26P 27P 28P 29P 30P 名次 27 13 34 29 7 33 28 37 15 38 人员 31P 32P 33P 34P 35P 36P 37P 38P 39P 40P 名次 22 12 16 31 25 23 39 35 36 30 6 模型的结果分析 18 利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案综合40 人的相关条件得到了一个排序结果从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益

43、但是，每一个单项条件的优势都不是绝对的优势因此，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益譬如，1P在任职时间、工龄和年龄有绝对的优势，尽管其它条件稍弱，他仍然排在第一位8P与3P、4P、5P、6P、7P相比，虽然任职时间晚，工龄短，年龄小，但是，在职称、学历、爱人情况、奖励情况都具有较强的优势，因此，他排在第三位是应该的类似情况还有25P、32P、40P等相反的，4P、6P、9P、19P较其他人的任职稍早、工龄稍长、年龄稍大，但其他条件明显的弱，因此，次序明显靠后也是应该的在多项条件相同时，只要有一项略强，就排在前面，如35P与36P，38P与39P等这些都是符合决策原则的 三、模糊综合评判方法

44、 模糊综合评判是模糊决策中最常用的一种有效方法在实际中，常常需要对一个事物做出评价（或评估），一般都涉及到多个因素或多个指标，此时就要求我们根据这些因素对事物做出综合评价，这就是所谓的综合评判，即综合评判就是要对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价，故模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策 在这里，首先要介绍模糊数学方法的一些基本概念。（一）模糊数学与隶属度（二）隶属函数的确定方法 我们知道，模糊数学的基本思想是隶属程度的思想应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题这里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法

45、 19 1.模糊统计方法 模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：(1)论域U；(2)U中的一个固定元素0 x；(3)U中的一个随机变动的集合*A（普通集）；(4)U中的一个以*A作为弹性边界的模糊集A，对*A的变动起着制约作用其中*0Ax，或*0Ax，致使0 x对A的隶属关系是不确定的 假设我们做n次模糊统计试验，则可计算出：0 x对A的隶属频率nAx的次数*0 事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0 x对A的隶属度，即 nAxlim)(0nAx的次数*0 2.指派方法 指

46、派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布 所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数常用的模糊分布如表1 所示.实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等偏向小的程度的模糊现象偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等偏向大的程度的模糊现象而中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适中”、“不太多

47、”、“不太少”、“不太深”、“不太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数 20 表 1:常用的模糊分布 (a)偏小型(b)中间型(c)偏大型 矩形分布 axaxxA,0,1)(bxaxbxaxA或,0,1)(axaxxA,0,1)(梯 形 分 布 bxbxaabxbaxxA,0,1)(dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxA,0,1,)(bxbxaabaxaxxA,1,0)(正 态 分 布 axeaxxaxA,1)(2 2)(axAex axeaxxaxA,1,

48、0)(2 k次抛 物 型 分 布 bxbxaabxbaxxkA,0,1)(dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxkkA,0,1,)(bxbxaabaxaxxkA,1,0)(型 分 布 axekaxxaxkA,)0(,1)()(bxekbxaaxexbxkaxkA,)0(,1,)()()(axekaxxaxkA,1)0(,0)()(柯 西 型 分 布 )0,0(,)(11,1)(axaxaxxA 且为偶数）0,0()(11)(axxA)0,0(,)(11,0)(axaxaxxA 3.其它方法 实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义 21 来确定譬如，在

49、经济管理、社会管理中，可以直接借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度如果论域U表示机器设备，在U上定义模糊集A“设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A的隶属度如果U表示产品，在U上定义模糊集A“质量稳定”，则可用产品的“正品率”作为A的隶属度如果U表示家庭，在U上定义模糊集A“家庭贫困”，则可以用Engel 系数总消费食品消费作为A的隶属度 另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需要的隶属函数 （三）模糊聚类分析方法 在许多工程技术和经济管理中，

50、常常需要对某些指标按一定的标准（相似的程度、亲疏关系等）进行分类处理例如，根据生物的某些性态对其进行分类、根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对地质土壤的分类、水资源中的水质分类等等这种对客观事物按一定标准进行分类的数学方法主要就是聚类分析法，而模糊聚类分析法就是根据事物的某些模糊性质进行分类的一种数学方法下面给出模糊聚类分析方法的一般步骤.1数据标准化 (1)获取数据：设论域,21nxxxU为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即),2,1(,21nixxxximiii，于是，可以得问题的原始数