多面体与球切、接的问题(二).pdf

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1、21 3 多面体与球切、接的问题（二）3 球与球相切问题 对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个 小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 8 已知有半径分别为 2、3 的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球的半径为 .思路分析：结合图形，分析四个球的球心 A、B、C、D 的位置，知 AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设 AB 中点为 E、CD 中点为 F，连结 EF.在ABF 中可得 BF ，在EBF 中可得 EF 2.由于对称性可得第五个球的球心 O 在 EF 上，连结 O

2、A、OD.设第五个球的半径为 r，根据 OE+OF=EF 建立r 的方程.3 例 9 把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离 思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定 组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2 4 球与几何体的各条棱相切问题 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对 棱的一半：r 2 a.4 例 10 把一

3、个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）Al0 cm B10 cm 2 3 2 2 2 C10 cm D30cm 思路分析：根据题意球心 O 在图中 AP 上，过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N，ON=R，OM=R，由各个棱都为 20，得到 AM=10，BP=20,BM=10，AB=10,设BPA，在 Rt BPM 中，由 BP2 BM 2 PM 2,得 PM 10.在 Rt PAM 中,由 PM 2 AM 2 AP2,得 PA 10 2.在 Rt ABP 中得,sin AB 10 2

4、 ，在 Rt ONP 中得,BP 20 2 sin ON R,从 而 R ，OP 2R.在 Rt OAM 中,由OM 2 AO2 AM 2,OP OP OP 2 建立方程 R2 (10 2R)2 100即可得解.2 5 球与旋转体切接问题 首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系 例 11 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比 思路分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与 几何体之间元素的关系 例 12 在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之

5、和最小 思路分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球 的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图的截面图，在图 中，观察 R 与r 和棱长间的关系即可 综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.