贵州省贵阳市第二中学20212022学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022 高考数学模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数 y=2xsin2x 的图象可能是 A B C D 2如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角

2、三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A20 B27 C54 D64 3函数 5sin 20312fxxx的值域为（）A1,12 B10,2 C 0,1 D1,02 4向量1,tan3a，cos,1b，且/ab，则cos2（）A13 B2 23 C23 D13 5在311(21)xx展开式中的常数项为()A1 B2 C3 D7 6已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为（）A1

3、18 B54 C14 D18 7已知集合3|02xAxZx，ByN|yx1，xA，则 AB（）A1，0，1，2，3 B1，0，1，2 C0，1，2 Dx1x2 8已知抛物线C：28xy，点P为C上一点，过点P作PQx轴于点Q，又知点5,2A，则PQPA的最小值为（）A132 B4 102 C3 D5 9已知函数()(1)(2)x ef xm xxe（e 为自然对数底数），若关于 x 的不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则实数 m 的最大值为（）A32ee B22ee C32ee D22ee 10已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)ypx p的准线分别交于点、，O 为坐标原点若双曲线

4、的离心率为 2，三角形 AOB 的面积为3，则 p=（）A1 B32 C2 D3 11已知0 x，0y，23xy，则23xyxy的最小值为（）A32 2 B2 21 C21 D21 12 设a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线sin0A xayc与sinsin0bxB yC的位置关系是（）A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知平面向量,2am，1,3b，且bab，则向量a与b的夹角的大小为_ 14现有一块边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的

5、最大值是_ 15已知数列na的各项均为正数，满足11a，1kkiaaa(,1,2,ik k3,1)n，若na是等比数列，数列na的通项公式na _ 16已知0a，0b，4c，且2ab，则522acccbabc的最小值为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(1,)2且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为2 3.（1）求椭圆 C 的标准方程：（2）设 A 是椭圆的左顶点，过右焦点 F 的直线1l，与椭圆交于 P，Q，直线 AP，AQ 与直线2:4lx 交于 M，N，线段 MN 的中点为 E.

6、求证：EFPQ；记PQE，PME，ONE的面积分别为1S、2S、3S，求证：123SSS为定值.18（12 分）已知命题p：xR，20 xxm；命题q：函数()ln2mf xxx无零点.（1）若q为假，求实数m的取值范围；（2）若pq为假，pq为真，求实数m的取值范围.19（12 分）椭圆E：222210 xyabab的离心率为33，点3,2 为椭圆上的一点.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若斜率为k的直线l过点 01A,，且与椭圆E交于,C D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的实数k，直线,BC BD的斜率之积为定值.20（12 分）已知动圆M经过点(2,0)N，且动圆M被y轴截得的

7、弦长为4，记圆心M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的标准方程；（2）设点M的横坐标为0 x，A，B为圆M与曲线C的公共点，若直线AB的斜率1k，且00,4x，求0 x的值 21（12 分）如图 1，四边形ABCD为直角梯形，/ADBC，ADAB，60BCD，2 3AB，3BC，E为线段CD上一点，满足BCCE，F为BE的中点，现将梯形沿BE折叠（如图 2），使平面BCE 平面ABED.（1）求证：平面ACE 平面BCE；（2）能否在线段AB上找到一点P（端点除外）使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.22（10 分）为提供市民的健身素质，某市

8、把,A B C D四个篮球馆全部转为免费民用（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从,A B C D四场馆的使用场数中依次抽取1234,a a a a共 25 场，在1234,a a a a中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x，其相应维修费用为y元，根据统计，得到如下表的数据：x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 43430.12yze 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 用最小二

9、乘法求z与x的回归直线方程；40yx叫做篮球馆月惠值，根据的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值 参考数据和公式：7723114.5,()700,()()70,20iiiiizxxxx zze71721()()()iiiiixx zzbxx，azbx 参考答案 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(,)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2 sin 2xf xx，因为,()2sin 2()2 sin 2()xxxR fxxxf x ，所以()2 sin 2xf

10、 xx为奇函数，排除选项 A,B;因为(,)2x时，()0f x，所以排除选项 C，选 D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复 2、B【解析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，利用概率模拟列方程即可求解。【详解】设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则223122200

11、xxNx，解得：27N 故选：B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。3、A【解析】由50,12x计算出23x的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数 yf x的值域.【详解】50,12x，72,336x，1sin 2123x，因此，函数 5sin 20312fxxx的值域为1,12.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】/a b 1costansin3 1cossin23 故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平

12、行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.5、D【解析】求出3(21)x展开项中的常数项及含x的项，问题得解。【详解】3(21)x展开项中的常数项及含x的项分别为：3033121Cx,1123216Cxx，所以311(21)xx展开式中的常数项为：11 167xx.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。6、D【解析】设BAa，BCb，作为一个基底，表示向量1122DEACba，3324DFDEba，1324AFADDFaba 5344ab，然后再用数量积公式求解.【详解】设BAa，BCb，所以1122DEACba，3324DFDEba，1

13、324AFADDFaba 5344ab，所以531448AF BCa bb b .故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7、A【解析】解出集合 A 和 B 即可求得两个集合的并集.【详解】集合3|02xAxZxxZ|2x31，0，1，2，3，ByN|yx1，xA2，1，0，1，2，AB2，1，0，1，2，3 故选：A【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.8、C【解析】由2PQPF,再运用,P F A三点共线时和最小，即可求解.【详解】22523PQPAPFPAFA.故选：C【点睛】本题考查

14、抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题 9、A【解析】若不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则(1)ym x的图象在 yg x图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出 g x的最小值，分别画出 yg x与(1)ym x的图象，结合图象可得.【详解】解：()(1)(2)0 xfeexm xx，(1)(2)xm xxee，设()(2)xyg xxee，()(1)xg xxe，当1x 时，0gx，函数 g x单调递增，当1x 时，0gx，函数 g x单调递减，()(1)0g xg，当x时，f x，当x ，fxe，函数(1)ym x恒过点1,0，分别画出 yg

15、x与(1)ym x的图象，如图所示，若不等式 0f x 有且只有一个正整数解，则(1)ym x的图象在 yg x图象的上方只有一个正整数值，3(3 1)(32)eme且(2 1)(22)xmee，即32(3)mgee，且me 32eeem，故实数 m 的最大值为32ee，故选：A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.10、C【解析】试题分析：抛物线22,(0)ypx p的准线为x ，双曲线的离心率为 2，则222221=4cbeaa，3ba，渐近线方程为3yx，求出交点3(,)22ppA，3(,)22ppB，13

16、2AOBSp 23324pp，则2p；选 C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；11、B【解析】23xyxy2(2)2211212 2xxy yxyxyxyyxyx ,选 B 12、C【解析】试题分析：由已知直线sin0A xayc的斜率为，直线sinsin0bxB yC的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直 考点：直线与直线的位置关系 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、4【解析】由bab，解得4m，进而求出2cos,2a b，即可得出结果.【详解】解：因为()bab，所以 1,31,11 30mm，解得4m，所以 22224,21,32

17、cos,24213a b，所以向量a与b的夹角的大小为4 都答案为：4.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题 14、3227a【解析】由题意容积22Vaxx，求导研究单调性，分析即得解.【详解】由题意：容积22Vaxx，02ax，则22(2)(2)(2)(2)(6)Vaxxaxax ax ，由0V 得6ax 或2ax（舍去），令0,(0,);0(,)66 2aa aVxVx 则6ax 为 V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时3max227Va.故答案为：3227a【点睛】本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模

18、，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15、12n【解析】利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为211aaa，所以212aa，因为na是等比数列，所以数列na的公比为 1 又1,1,2,3,1)kkiaaa ik kn（，所以当ik时，有12kkaa 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12nna，故答案为：12n.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.16、5 52【解析】由2()22ab，先将112abab变形为2254abab，运用基本不等式可得最小值，再求55115(2)12222cccc的最小

19、值，运用函数单调性即可得到所求值.【详解】解：因为0a，0b，4c，且2ab，所以51152222acccacbabcbabc 2(22)522caababc 因为2()22ab，所以222()222222abaabaababab 2252 55442abababab，当且仅当5ba时，取等号，所以51152222acccacbabcbabc 2(22)522caababc 5522cc 115(2)122cc 令2(2)tct，则11115(2)1=5(1)222ctct，令11()=1(2)2f tttt，则211()=02f tt，所以函数()f t在2,)上单调递增，所以115()(2

20、)21222f tf 所以111155 55(2)1=5(1)5=22222ctct 则所求最小值为5 52 故答案为：5 52【点睛】此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简和运算能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）22143xy；（2）证明见解析；证明见解析【解析】（1）解方程2222219143abbcabc即可；（2）设直线1:1lxmy，11,P x y，22,Q xy，将E点的坐标用m表示，证明1EFPQkk 即可；分别用m表示PQE，PME，ONE的面积即可.

21、【详解】（1）2222219143abbcabc 解之得：2224,3,1abc 的标准方程为：22143xy（2）2,0A，1,0F，设直线1:1lxmy 代入椭圆方程：22223(1)412(34)690myymymy 设11,P x y，22,Q xy，122634myym，122934y ym 直线11:(2)2yAP yxx，直线22:(2)2yAQ yxx 116(4,)2yMx，226(4,)2yNx 121212121166()3222233EMNyyyyyyyxxmymy 2212122221212229182233434339183993434mmmy yyymmmmm y

22、 ym yymm 363336mm (4,3)Em，33EFmkm，1PQkm，1EFPQkk，EFPC.2222223636 34121|13434mmmPQmmm，2|31EFm 221218111|234mmSPQEFm 23121211144|8224SSMExNExMNxx 212122121166666443334MNyymyym yymymym 21222121211083934yymm y ym yym 2222222222363634343611110836343434mmmmmmmmm 所以12312SeSS.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的

23、定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.18、（1）2me（2）1 2(,4 e【解析】（1）q为假,则q为真，求导，利用导函数研究函数()ln2mf xxx有零点条件得m的取值范围；（2）由pq为假，pq为真，知,p q一真一假；分类讨论列不等式组可解.【详解】（1）依题意，q为真，则ln02mxx无解，即ln2xmx无解；令ln()xg xx，则21 ln()xg xx，故当0,xe时，()0g x，()g x单调递增，当,xe，()0g x，()g x 单调递减，作出函数()g x图象如下所示，观察可知，1()2mg ee，即

24、2me；（2）若p为真，则140m ，解得14m；由pq为假，pq为真，知,p q一真一假；若p真q假，则实数m满足142mme，则124me；若p假q真，则实数m满足142mme，无解；综上所述，实数m的取值范围为1 2(,4 e.【点睛】本题考查根据全(特)称命题的真假求参数的问题.其思路：与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围 19、（1）22164xy；（2）证明见解析【解析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得a

25、，b，进而得到椭圆方程；（2）设直线:1l ykx，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值【详解】（1）因为33e，所以33ca，22233aba 又椭圆过点32，所以22321ab 由，解得226,4ab 所以椭圆E的标准方程为22164xy.（2）证明 设直线l：1ykx，联立221641xyykx得2232690kxkx，设1122,C x yD xy，则12122269,3232 kxxx xkk 易知0,2B 故121222BCBDyykkxx121233=kxkxxx212121239=k x xk xxx x 2121212

26、3()9=k xxkx xx x222=3323kkkk=2 所以对于任意的k，直线,BC BD的斜率之积为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题 20、见解析【解析】（1）设(,)M x y，则点M到y轴的距离为|x，因为圆M被y轴截得的弦长为4，所以22|4|MNx，又222|2|()MNxy，所以2224|2|()xxy，化简可得24yx，所以曲线C的标准方程为24yx（2）设211(,)4yAy，222(,)4yBy，因为直线AB的斜率1k，所以可设直线AB

27、的方程为yxm，由yxm及24yx，消去x可得2440yym，所以124yy，124y ym，所以21212|2()44 2|1AByyy ym 设线段AB的中点为T，点M的纵坐标为0y，则,(2)2Tm，MTAB，所以直线MT的斜率为1，所以0021(2)yxm，所以00200444mxyyy，所以0024 214|342yABmy 易得圆心M到直线AB的距离02001|222|4dymyy，由圆M经过点(2,0)N，可得2420202|42(2)162yABMNdy，所以200042032()4342(2)416yyyy，整理可得4200643200yy，解得20328 11y 或2032

28、8 11y，所以082 11x 或082 11x，又00,4x，所以082 11x 21、（1）证明见解析；（2）存在点P是线段AB的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34.【解析】（1）在直角梯形ABCD中，根据3BEBC，60BCD，得BCE为等边三角形，再由余弦定理求得AE，满足222AEBEAB，得到AEBE，再根据平面BCE 平面ABED，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34，且APAB，0,1，求得平面PCF的一个法向量，再利用线面角公式223342 33 2141cos,CA n求解.【

29、详解】（1）证明：在直角梯形ABCD中，3BEBC，60BCD，因此BCE为等边三角形，从而3BE，又2 3AB，由余弦定理得：212922 33cos303AE ，222AEBEAB，即AEBE，且折叠后AE与BE位置关系不变，又平面BCE 平面ABED，且平面BCE平面ABEDBE.AE平面BCE，AE 平面ACE，平面ACE 平面BCE.（2）BCE为等边三角形，F为BE的中点，CFBE，又平面BCE 平面ABED，且平面BCE平面ABEDBE，CF 平面ABED，取AB的中点G，连结FG，则/FGAE，从而FGBE，以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则33,02A，3 30,

30、0,2C，则33 33,22CA，假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34，且APAB，0,1，30,02B，3,3,0AB ，故3,3,0AP，33 33 1,21,22CPCAAP，又3 30,0,2FC，该平面PCF的法向量为,nx y z，33 33 121002203 302xyzn CPn FCz，令21y得 3 21,21,0n，223342 33 2141cos,CA n，解得12或76（舍），综上可知，存在点P是线段AB的中点，使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为34.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的

31、思想和运算求解的能力，属于中档题.22、（1）见解析，12.5（2）0.12zx20【解析】(1)运用分层抽样，结合总场次为 100，可求得1234,a a a a的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;(2)由公式可计算77211(),()()iiiiixxxx zz的值，进而可求z与x的回归直线方程；求出()g x，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时x的值.【详解】解：（1）抽样比为2511004，所以1234,a a a a分别是，6，7，8，5 所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15 1106p，1123p，1133p，1156p 所以分布列为 期望为1111()1012131512.56336E（2）因为77211()700,()()70,iiiiixxxx zz 所以71721()()()iiiiixx zzbxx，701,4.50.1 25270010a，0.12zx；43430.12yze0.12x，设2401ln4343ln(),()43434040(40)xyxxg xg xxxx，所以当0,20,()0,()xg xg x递增，当20,),()0,()xg xg x递减 所以约惠值最大值时的x值为 20【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.