高考一轮总复习082.古典概型与几何概型(基础)知识讲解.pdf

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1、高考总复习：古典概型与几何概型【考点梳理】知识点一、古典概型 1.定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。2.古典概型的基本特征（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是1n。如果某个事件 A 包含m个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件 A 发生的概率为其所含m个基本事件的概

2、率之和，即nmAP)(。所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为：试验的基本事件总数包含的基本事件数事件AAP)(4.求古典概型的概率的一般步骤：（1）算出基本事件的总个数n；（2）计算事件 A 包含的基本事件的个数m；（3）应用公式()mP An求值。5古典概型中求基本事件数的方法：（1）穷举法；（2）树形图；（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。知识点二、几何概型 1.定义：事件 A 理解为区域的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。2.几

3、何概型的两个特点：（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。3.几何概型的概率计算公式：随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：AAP)(其中表示试验的全部结果构成的区域的几何度量，A表示构成事件 A 的区域的几何度量。要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量.对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.【典型例题】

4、类型一、古典概型 例 1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 错误!未找到引用源。次，每次抽取 错误!未找到引用源。张，将抽取的卡片上的数字依次记为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(1)求“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。不完全相同”的概率【解析】(1)由题意，错误!未找到引用源。的所有可能为 共 错误!未找

5、到引用源。种 设“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。”为事件 错误!未找到引用源。，则事件 错误!未找到引用源。包括 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，共 错误!未找到引用源。种，所以 因此“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。”的概率为 错误!未找到引用源。(2)设“抽取的卡片上的数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。不完全相同”为事件 错误!未找到引用源。，则事件 错误!未找到引用源。包括 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，共 错误!未找到引用源。种，所以 因此“抽取的卡片上的

6、数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。不完全相同”的概率为 错误!未找到引用源。举一反三：【变式】(2015 天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 错误!未找到引用源。名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的 错误!未找到引用源。名运动员进行编号，编号分别为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。现从这 错误!

7、未找到引用源。名运动员中随机抽取 错误!未找到引用源。人参加双打比赛 用所给编号列出所有可能的结果；设 错误!未找到引用源。为事件“编号为 错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。的两名运动员中至少有 错误!未找到引用源。人被抽到”，求事件 错误!未找到引用源。发生的概率【解析】(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(2)从 错误!未找到引用源。名运动员中随机抽取 错误!未找到引用源。人参加双打比赛的所有可能结果为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未

8、找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，共 错误!未找到引用源。种 编号为 错误!未找到引用源。和 错误!未找到引用源。的两名运动员中至少有 错误!未找到引用源。人被抽到的所有可能结果为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，共 错误!未找到引用

9、源。种 因此，事件 错误!未找到引用源。发生的概率 错误!未找到引用源。【例 2】抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现 7 点的概率；（2）出现两个 4 点的概率.【思路点拨】根据条件列举出事件 A 所包含基本事件个数。【解析】作图，从下图中容易看出基本事件空间与点集 S=（x，y）|xN，yN，1x6，1y6中的元 素一一对应.因为 S 中点的总数是 66=36（个），所以基本事件总数 n=36.Oxy665544332211（1）记“点数之和出现 7 点”的事件为 A，从图中可看到事件 A 包含的基本事件数共 6 个：（6，1），（5，2），（4，3），（3，4），（2，5），（1，6），

10、所以 P（A）=61366.（2）记“出现两个 4 点”的事件为 B，则从图中可看到事件 B 包含的基本事件数只有 1 个：（4，4）.所以 P（B）=361.【总结升华】在古典概型下求 P（A），关键要找出 A 所包含的基本事件个数然后套用公式试验的基本事件总数包含的基本事件数事件AAP)(【例 3】在一次口试中，考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答，答对其中 2 道题为优秀，答对其中 1 道题为及格，某考生能答对 5 道题中的 2 道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】设

11、这 5 道题的题号分别为 1,2，3，4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4）,（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共 10 个基本事件 （1）记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A 中包含的基本事件个数为 3，故3()10P A （2）记“获得及格及及格以上”为事件 B，则随机事件 B 中包含的基本事件个数为 9，故9()10P B 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】从含有两件正品 a1，a2和一件次品 b1的三件产品中，每次任

12、取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.【解析】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个，即（a1，a2），（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）.其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产用 A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则 A=（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）事件 A 由 4 个基本事件组成，因而，P（A）=64=32【例 4】甲、乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有 1，2，3，4，5

13、，6 六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为 12 的有多少种情况?数字之和为 6 的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.【思路点拨】这是一道古典概率问题，须用枚举法列出基本事件数.【解析】（1）甲有 6 种不同的结果，乙也有 6 种不同的结果，故基本事件总数为 66=36 个.其中十位数字共有 6 种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有 61=6 种不同的结果，即概率为6

14、1366.（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.从中可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为361.出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为365.【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.举一反三：【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法

15、比赛一等奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4.2 名获绘画比赛一等奖的同学编号为 5，6.从 6 名同学中任选 2 名的所有可能结果如下：（1，2）,(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 个.（1）从 6 名同学中任选 2 名，都是书法比赛一等奖的所有可能是（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共 6 个。所以选出的 2 名志愿者都是书法比赛一等奖的

16、概率321561P (2)从 6 名同学中任选 2 名，1 名是书法比赛一等奖，另 1 名是绘画比赛一等奖的所有可能是（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共 8 个。所以选出的 2 名志愿者 1 名是书法比赛一等奖，另 1 名是绘画比赛一等奖的概率是 1582P 类型二、与长度有关的几何概型 1如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为()AP A 构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度 2将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生

17、则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。【例 4】在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是 【思路点拨】解决概率问题先判断属于什么概率模型，本题属几何概型，把问题转化为化成：直径上到圆心 O 的距离小于12的点构成的线段长与直径长之比。【解析】记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦，当弦为 CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF（此

18、时 F 为OE 中点），由几何概型公式得：1212()=22P A。【总结升华】将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。举一反三：【变式】取一根长度为 60cm 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm 的概率有多大？【解析】从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 60cm 的绳子上的任意一点.如上图,记“剪得两段绳子的长度都不小于 20cm”为事件 A,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事

19、件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳子长的31,于是事件 A 发生的概率 P(A)=31.【例 5】平面上画了一些彼此相距 2a 的平行线，把一枚半径 ra 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率【思路点拨】本题属几何概型，把问题转化为化成：长度之比。60cm 20cm 20cm 60cm【解析】把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件 A，为了确定硬币的位置，由硬币中心 O 向靠得最近的平行线引垂线 OM，垂足为 M，如图所示，这样线段 OM 长度（记作 OM）的取值范围就是o,a，只有当 rOMa 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件 A 的概率就是 P（A）=(

20、,0,r aa的长度的长度=ara 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：()AP A 构成事件 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度 类型三、与面积（体积）有关的几何概型 1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：()AP A 构成事件 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积 2“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。3如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为：()AP A 构成事件 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积【例 6】如图，射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的

21、分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫做“黄心”。奥运会的比赛靶面直径是 122cm，靶心直径是 12.2cm，运动员在 70 米外射箭。假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？【思路点拨】求出大圆的面积 n 和“黄心”的面积 m，再由几何概型的概率求法得()mP An。【解析】记“射中黄心”为事件 B，由于中靶点随机地落在面积为221122()4ncm的2a r o M 大圆内，而当中靶点落在面积为22112.2()4mcm的黄心时，事件 B 发生，于是事件 B发生的概率为 22112.24()0.0111224mP

22、Bn，即“射中黄心”的概率是 0.01。【总结升华】1如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：()AP A 构成事件 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积 2“面积比”是求几何概率的一种重要类型，也是在高考中常考的题型。举一反三：【变式】设有关于x的一元二次方程2220 xaxb（）若 a 是从 0，1，2，3 四个数中任取的一个数，b 是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（）若 a 是从区间0,3任取的一个数，b 是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【答案】设事件A为“方程2220aaxb有实根”当0a，0b 时，方

23、程2220 xaxb有实根的充要条件为ab（）基本事件共 12 个：(0 0)(01)(0 2)(10)(11)(12)(2 0)(21)(2 2)(3 0)(31)(3 2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值 事件A中包含 9 个基本事件，事件A发生的概率为93()124P A （）试验的全部结束所构成的区域为()|0302abab，构成事件A的区域为()|0302ababab，所以所求的概率为213 22223 23 【例 7】将长为l的棒随机折成 3 段，求 3 段构成三角形的概率.【解析】设 A=“3 段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第 3 段的长度为lx

24、y.则实验的全部结果可构成集合(,)0,0,0 x yxlylxyl，要使3 段构成三角 形，当 且 仅 当 任 意 两 段 之 和 大 于 第 三 段，故 所 求 结 果 构 成 的 集 合1,222llAx y xyyx 所求的概率为221122()42AlSP AlS【总结升华】用几何概型解题的一般步骤是：（1）适当选择观察角度；（2）把基本事件转化为与之相应的区域；（3）把事件 A 转化为与之对应的区域；（4）利用概率公式计算.举一反三：【变式】一海豚在水池中自由游弋，水池为长 30 m，宽 20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率.【解析】对于几何概型，关键是要构造

25、出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如下图，区域是长 30 m、宽 20 m 的长方形.图中阴影部分表示事件 A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在下图中阴影部分的概率.由于区域的面积为 3020=600（m2），阴影 A 的面积为 30202616=184（m2）.P（A）=7523600184.30m20m2m 类型四、生活中的几何概型【例 8】两人约定在 20：00 到 21：00 之间相见，并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20：00 到 21：00 各时刻相见的可能性是相等的，求两人0

26、l l 在约定时间内相见的概率。【思路点拨】两人不论谁先到都要等迟到者 40 分钟，即23小时。设两人分别于 x 时和 y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当2233xy，因此转化成面积问题，利用几何概型求解。【解析】设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当2233xy。两人到达约见地点所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的单位正方形内（包括边界）的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻（x,y）的各种可能结果可用图中的阴影部分（包括边界）不表示。因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能

27、性的大小，也就是所求的概率为 2211-()83=91SPS阴影单位正方形【总结升华】对于活生生中的几何概型问题：（1）要注意实际问题中的可能性的判断；（2）将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件 A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域。（3）如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为：()AP A 构成事件 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度。解决此类问题事件 A 的角必须含在事件的全部构成的角之内。举一反三：【变式】两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等候另一人 20 分钟，过时离去.求两人能够会面的概率.【答案】设两人到达的时间分别为 7 点到 8 点之间的 x 分钟、y 分钟.用xy（，）表示每次试验的结果，则所有可能结果为：；记两人能够会面为事件 A，则事件 A 的可能结果为：.如图所示，试验全部结果构成区域为正方形 ABCD.而事件 A 所构成区域是正方形内两条直线2020yxxy，所夹中间的阴影部分.根据几何概型公式，得到：222602060252609SP AS阴影正方形（）（）所以，两人能够会面的概率为59.