高中数学专题练习19几何体中与球有关的切、接问题(新高考地区专用)解析版.pdf
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1、几何体中与球有关的切、接问题 球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r R2d2 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R,若球为正方体的外接球,则 2R 3a;若球为正方体的内切球,则 2Ra;若球与正方体的各棱相切,则 2R 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2Ra2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.一、题型选讲 题型一、几何体的外接球 解决多面体的外接球问题,关键
2、是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 例 1、【2020 年高考全国卷理数】已知,A B C为球O的球面上的三个点,1O为ABC的外接圆,若1O的面积为4,1ABBCACOO,则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32 例 2、【2020 年高考天津】若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144 例 3、已知边长为 2 的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕
3、进行折叠,使折后的2BDC,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A3 B4 C5 D6 例 4、已知四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正方形,PAB是等边三角形,平面PAB 平面ABCD,则四棱锥PABCD外接球体积为()A28 21 B99112 C6372 D108 3 例 5、中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知PA 平面ABCE,四边形ABCD为正方形,5AD,3ED,若鳖臑PADE的外接球的体积为9
4、2,则阳马PABCD的外接球的表面积等于_.题型二、几何体的内切球 求解多面体的内切球的问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 例 6、【2020 年高考全国卷理数】已知圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 例 7、如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的表面积为_;若该六面体内有一小球,则小球的最大体积为_ 二、达标训练 1、已知正三棱锥SABC的侧棱长为4 3,底面边长为 6,则该正三棱锥外接球
5、的表面积是()A16 B20 C32 D64 2、【2020 年高考全国 II 卷理数】已知ABC 是面积为9 34的等边三角形,且其顶点都在球 O 的球面上.若球O 的表面积为 16,则 O 到平面 ABC 的距离为 A3 B32 C1 D32 3、【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上,PA=PB=PC,ABC 是边长为 2 的正三角形,E,F 分别是 PA,AB 的中点,CEF=90,则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6 4、【2018 年高考全国卷理数】设ABCD,是同一个半径为 4 的球的球面上四点,ABC为等边三角形且其面积为9
6、 3,则三棱锥DABC体积的最大值为 A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 5、【2020 年新高考全国卷】已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2,BAD=60以1D为球心,5为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_ 6、已知三棱锥SABC,SA平面 ABC,6ABC,3SA,1BC,直线 SB 和平面 ABC 所成的角大小为3.若三棱锥SABC的四个顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_.7、如图,在三棱锥 P-ABC 中,,PAABPCBC,,ABBC22,ABBC5PC,则 PA 与平面ABC 所成角的大小为_;三棱锥 P-ABC 外接球的表面积是_.8、已知
7、三棱锥PABC的四个顶点都在球O的表面上,PA 平面ABC,6PA,2 3AB,2AC,4BC,则:(1)球O的表面积为_;(2)若D是BC的中点,过点D作球O的截面,则截面面积的最小值是_ 9、在四面体SABC中,2SASB,且SASB,5BC,3AC,则该四面体体积的最大值为_,该四面体外接球的表面积为_.10、下图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD,现将四边形ABCD沿BD折成直二面角ABDC,则三棱锥ABCD的外接球的体积为_3cm 几何体中与球有关的切、接问题 球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面;(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面;(3)
8、球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 的关系为 r R2d2 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R,若球为正方体的外接球,则 2R 3a;若球为正方体的内切球,则 2Ra;若球与正方体的各棱相切,则 2R 2a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2Ra2b2c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31.一、题型选讲 题型一、几何体的外接球 解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其
9、他顶点确定球心的准确位置对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 例 1、【2020 年高考全国卷理数】已知,A B C为球O的球面上的三个点,1O为ABC的外接圆,若1O的面积为4,1ABBCACOO,则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32【答案】A【解析】设圆1O半径为r,球的半径为R,依题意,得24,2rr,ABC为等边三角形,由正弦定理可得2 sin602 3ABr,12 3OOAB,根据球的截面性质1OO 平面ABC,222211111,4OOO A ROAOOO AOOr,球O的表面积2464SR.故选:A.本题考查球的表面积,应用球的截面性质是解题的
10、关键,考查计算求解能力,属于基础题.例 2、【2020 年高考天津】若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 A12 B24 C36 D144【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,即 2222 32 32 332R,所以,这个球的表面积为2244336SR.故选:C 本题考查正方体的外接球的表面积的求法,求出外接球的半径是本题的解题关键,属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题,常用方法有:(1)三条棱两两互相垂直时,可恢复为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行,借助
11、球的对称性,球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求球的半径;(3)如果设计几何体有两个面相交,可过两个面的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心.例 3、(2020 届山东省潍坊市高三上学期统考)已知边长为 2 的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕进行折叠,使折后的2BDC,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】边长为 2 的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕进行折叠,使折后的2BDC,构成以 D 为顶点的三棱锥,且三条侧棱互相垂直,可构造以其为长宽高的长方体,其对角线即为球的直径,三条棱长分别为 1,
12、1,3,所以21 135R ,球面积254()52S,故选 C.例 4、(2020 届山东省日照市高三上期末联考)已知四棱锥PABCD的体积是36 3,底面ABCD是正方形,PAB是等边三角形,平面PAB 平面ABCD,则四棱锥PABCD外接球体积为()A28 21 B99112 C6372 D108 3【答案】A【解析】设AB的中点为Q,因为PAB是等边三角形,所以PQAB,而平面PAB 平面ABCD,平面PAB 平面ABCDAB,所以PQ 平面ABCD,四棱锥PABCD的体积是36 3,136 33ABABPQ 1336 332ABABAB,所以边长6AB,3 3PQ,设OHx,3 3OM
13、x,2222223 33 2ROAOMAMx,2222223ROPOHPHx,2 3x,2212321R 3428 213VR球.故选:A.例 5、(2020 届山东省德州市高三上期末)中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体,已知PA 平面ABCE,四边形ABCD为正方形,5AD,3ED,若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2,则阳马PABCD的外接球的表面积等于_.【答案】20【解析】四边形ABCD是正方形,ADCD,即ADCE,且5A
14、D,3ED,所以,ADE的外接圆半径为221222AEADEDr,设鳖臑PADE的外接球的半径1R,则3149 23R,解得13 22R.PA 平面ADE,22112PARr,可得22111022PARr,10PA.正方形ABCD的外接圆直径为22210rACAD,2102r,PA 平面ABCD,所以,阳马PABCD的外接球半径222252PARr,因此,阳马PABCD的外接球的表面积为22420R.故答案为:20.题型二、几何体的内切球 求解多面体的内切球的问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 例 6、【2020
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