高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广北师大版4讲解.pdf

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1、 1 1.2 角的概念的推广 整体设计 教学分析 教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意

2、角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S=|=+k360,kZ的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角

3、、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2.通过自主探究、合作学习,认识集合S 中 k、的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.重点难点 教学重点:将 0360范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.教学难点:用集合来表示终边相同的角.课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的

4、游戏引入,激起学生的探求兴趣.如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释?在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.2 图 1 思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的?所学的角的范围是什么?用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象?由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.推进新课 知识探究 提出问题 你的手

5、表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确?当时间调整准确后,分针转过了多少度角?体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度?请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度?活动:让学生到讲台利用准备好的教具钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线

6、的端点是O,它从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角,点 O 是角的顶点,射线OA、OB 分别是角 的始边和终边.如图2.图 2 我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以简记作“”.如果一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转,终止位置OB 与起始位置OA 重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果 是零角,记作=0.讨论结果:顺时针方向旋转了30;逆时针方向旋转了450.顺时针方向旋转了72

7、0或逆时针方向旋转了720.-180或+180或-540或+540或900或1 260 提出问题 能否以同一条射线为始边作出下列角:210,-45,-150.如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思?0角又是什么意思?活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢?并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而

8、复始”的现象.3 今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.讨论结果:能.如图3.图 3 使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:210角是第三象限角;-45角是第四象限角;-150角是第三象限角.特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0角.可以借此进一步设问:锐角是第几象限角?钝角是第几象限角?直角是

9、第几象限角?反之如何?将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一?如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系?提出问题 在直角坐标系中标出210,-150的角的终边,你有什么发现?它们有怎样的数量关系?328,-32,-392角的终边及数量关系是怎样的?终边相同的角有什么关系?所有与 终边相同的角,连同角 在内,怎样用一个式子表示出来?活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0到360间的某一角有

10、什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,形成-32角后提问学生这是第几象限角?是多少度角?学生对后者的回答是多种多样的.至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.讨论结果:210与-150角的终边相同;328,-32,-392角的终边相同.终边相同的角相差360的整数倍.设 S=|=-32+k360,kZ,则328

11、,-392角都是S 的元素,-32角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32角的终边相同的角,连同-32在内,都是集合S的元素;反过来,集合S 的任何一个元素显然与-32角终边相同.所有与终边相同的角,连同角在内,可以构成一个集合S=|=k360+,k Z,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成角 与周角的整数倍的和.教师适时引导学生认识:kZ;是任意角;4 终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍.应用示例 例 1 判定下列各角是第几象限角:(1)-60;(2)585;(3)-95012.解:(1)因为-60角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因

12、为585=360+225,所以585与225角的终边重合,而 225的终边在第三象限,所以585是第三象限角.(3)因 为-95012=(-2)360-23012,而-23012的 终 边 在 第 二 象 限,所 以-95012是第二象限角.变式训练 在 0360范围内,找出与-95012角终边相同的角,并判定它是第几象限角.解:-95012=12948-3360,所以在0360的范围内,与-95012角终边相同的角是12948,它是第二象限的角.点评:教师可引导学生先估计-95012大致是360的几倍,然后再具体求解.例 2 在直角坐标系中,写出终边在y 轴上的角的集合.(用 0360的角表

13、示)活动:终边落在y 轴上,应分y 轴的正方向与y 轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与90,270的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.解:在 0360范围内,终边在y 轴上的角有两个,即 90和270角,如图4.图 4 因此,所有与90的终边相同的角构成集合 S1=|=90+k360,kZ.而所有与270角的终边相同的角构成集合 S2=|=270+k360,kZ.于是,终边在y 轴上的角的集合 S=S

14、1S2=|=90+2k180,kZ|=90+180+2k180,kZ=|=90+2k180,kZ|=90+(2k+1)180,kZ=|=90+n180,nZ.点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.变式训练 写出终边在坐标轴上的角的集合.5 答案:S=|=n90,nZ.3.写出与60角终边相同的角的集合S,并把S 中适合不等式-360 720的元素写出来.解:S=|=60+k360,kZ.S 中适合-360 720的元素是:60-1360=-300,60+0360=60,60+1360=420.变式训

15、练 写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360 720的元素写出来.解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45,在0360范围内,终边在直线y=x 上的角有两个:45和225,因此,终边在直线y=x 上的角的集合 图 5 S=|=45+k360,kZ|=225+k360,kZ.S 中适合-360 720的元素是:45-2180=-315,45-1180=-135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585.点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k 的值,应

16、训练学生掌握这一方法.例 4 写出在下列象限的角的集合:第一象限;第二象限;第三象限;第四象限.活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把中的范围写成090,可引导学生分析360450范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:终边在第一象限的角的集合:|n360 n360+90,nZ.终边在第二象限的角的集合:|n360+90 n360+180,nZ.终边在第三象限的角的集合:|n360+180 n360+270,nZ.终边在第四象限的角的集合:|n360+270 n360+360,nZ.点评:教师给

17、出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.知能训练 课本习题1 2 1、2.6 课堂小结 提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识?你是怎样获得这些新知识的?你从本节课上都学到了哪些数学方法?让学生自己得到以下结论:本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角 终边相同的角,这些角的集合为S=|=

18、k360+,k Z;(2)在0360内找与已知角终边相同的角,其方法是用所给的角除以360,所得的商为k,余数为(必须是正数),即为所找的角.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.作业 习题1 2 3.预习下一节:弧度制.设计感想 1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.

19、在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.3.几点说明:(1)列举不在0360的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k 的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.习题详解 习题1 2 1.点拨:由锐角的集合(0,90);第一象限角的集合x|k360 xk360+90，k Z可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对

20、于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.2.解:-5418=-1360+30542,故 0到360范围内与其终边相同的角为30542,第四象限角.3958=1360+358,故 0到360范围内与其终边相同的角为358,第一象限角.-1 19030=-4360+24930,故 0到360范围内与其终边相同的角为24930,第三象限角.1 563=4360+123,故 0到360范围内与其终边相同的角为123,第二象限角.点拨:把角化为k360+,k Z,0 360的形式,即可回答.3.解:|=k360+60,kZ,当-720 360时,为-300,-

21、660,60|=k360-45,kZ,7 当-720 360时,为-405,-45,315.|=k360+1 30318,kZ,当-720 360时,为-13642,22318,-49642.|=k360-225,kZ,当-720 360时,为-225,-585,135.点拨:利用终边相同的角的定义写出 的集合,再取k 的值,求出符合条件的角.备课资料 备用习题 1.若角 与 终边相同,则一定有()A.+=180 B.+=0 C.-=k360(kZ)D.+=k360(kZ)2.集合A=|=k90-36,kZ,B=|-180 180,则AB 等于()A.-36,54 B.-126,144 C.-

22、126,-36,54,144 D.-126,54 3.在直角坐标系中,若角 与角 的终边互相垂直,则角 与角 的关系是()A.=+90 B.=90 C.=+90+k360(kZ)D.=90+k360(kZ)4.集合Z=x|x=(2n+1)180,nZ,Y=x|x=(4k1)180,kZ之间的关系是()A.ZY B.ZY C.Z=Y D.Z 与 Y 之间的关系不确定 5.已知角 的终边与168角的终边相同,则在(0,360)范围内终边与3角的终边相同的角是_.6.若集合A=|k180+30 k180+90,kZ,集合B=|k360+315 k360+405,kZ,求 AB.7.写出终边在四个象限

23、角平分线上的角的集合.参考答案:1.C 2.C 3.答案:D 点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90后,知 90与角 的终边重合.4.答案:C 点拨:先分别将n 和 k 赋以不同的整数值,找出角x 的终边,然后再比较.5.答案:56,176,296 点拨:根据已知条件有=k360+168,kZ,3=k120+56,kZ.又0k120+56 360,满足条件的k 为 0,1,2.6.解:B=|k360-45 k360+45,kZ.采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A 和集合B 中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是AB,可以求得 AB=x|30+k360 x45+k360,kZ.7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为|=n90-45,nZ.