高考数学二轮复习专题四数列第一讲等差数列、等比数列学案理人教版高三全册数学学案.pdf

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1、第一讲 等差数列、等比数列 考点一 等差、等比数列的基本运算 1等差数列的通项公式及前n项和公式 ana1(n1)d；Snna1an2na1nn12d.2等比数列的通项公式及前n项和公式 ana1qn1(q0)；Sn na1q1，a11qn1qa1anq1qq1.对点训练 1在等差数列an中，已知a5a1012，则 3a7a9()A12 B18 C24 D30 解析 设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为a5a1012，所以 2a113d12，所以 3a7a93(a16d)a18d4a126d2(2a113d)21224.答案 C 2(2018山东青岛模拟)公差不为 0 的等差数列an的前

2、n项和为Sn，若a63a4，且S9a4，则的值为()A18 B20 C21 D25 解析 设公差为d，由a63a4，且S9a4，得 a15d3a19d，9a198d2a13d，解得18，故选 A.答案 A 3已知等比数列an满足a114，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C.12 D.18 解析 设等比数列an的公比为q，由a114，a3a54(a41)，可知q1，则a1q2a1q44(a1q31)，116q6414q31，q616q3640，(q38)20，即q38，q2，a212，故选 C.答案 C 4在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.解析 设等比数列an的

3、公比为q，则 a1q3a1q6，a1q4a115，两式相除，得q1q225，即2q25q20，解得q2 或q12.所以 a11，q2或 a116，q12.故a34 或a34.答案 4 或4 快速审题 看到求项、求和，想到求a1，d，q及通项公式、前n项和公式 等差(比)数列的运算注意两点(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素(2)在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量 考点二 等差、等比数列的性质 对点训练 1(2018山西太原一模)已知等差数列an的前n项

4、和为Sn，若a2a3a109，则S9()A3 B9 C18 D27 解析 设等差数列an的公差为d，a2a3a109，3a112d9，即a14d3，a53，S99a1a929a527，故选 D.答案 D 2(2018山东菏泽一模)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20 的根，则a2a16a9的值为()A2 B 2 C.2 D 2或 2 解析 设等比数列an的公比为q，由a2，a16是方程x26x20 的根，可得a2a162，所以a292，则a2a16a9a9 2.故选 D.答案 D 3(2018合肥模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若S51，S103，则S15的值是_ 解析 数列

5、an是等比数列，S5，S10S5，S15S10成等比数列，(S10S5)2S5(S15S10)，41(S153)，得S157.答案 7 探究追问 3 题中条件不变，如何求S100的值？解析 在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S51，S103，所以S100可表示为等比数列 1,2,4，的前 20 项和，故S10011220122201.答案 2201 快速审题 看到等差、等比数列，想到等差、等比数列项的性质、和的性质 等差(比)数列性质应用策略 解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 考点三 等差、等比数

6、列的判定与证明 1证明数列an是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明 2anan1an1(n2)2证明数列an是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明a2nan1an1(n2)解(1)证明：由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13.由Sn14an2 知当n2 时，有Sn4an12 得an14an4an1，an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为 2 的等比数列(2)由(1)可得bnan1

7、2an32n1，an12n1an2n34，数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列 an2n12(n1)3434n14，an(3n1)2n2.等差、等比数列的判定与证明应注意的两点(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式的特征，但不能作为证明方法(2)a2nan1an1(n2)是数列an为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零 对点训练 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列an的通项公式 解(1)证明：当n2 时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以1Sn

8、1Sn12，又1S11a12，故1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列(2)由(1)可得1Sn2n，Sn12n，当n2 时，anSnSn112n12n1 n1n2nn112nn1.当n1 时，a112不适合上式 故an 12，n1，12nn1，n2.1(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若 3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C10 D12 解析 解法一：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，33a1322d2a1d4a1432d，解得d32a1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选 B.解法二：设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，3S3S3a

9、3S3a4，S3a4a3，3a1322dd，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选 B.答案 B 2(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8 解析 解法一：等差数列an中，S6a1a66248，则a1a616a2a5，又a4a524，所以a4a22d24168，得d4，故选 C.解法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得 2a17d24，6a1652d48，即 2a17d24，2a15d16，解得 a12，d4，故选 C.答案 C 3(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0

10、.若a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为()A24 B3 C3 D8 解析 设等差数列an的公差为d，依题意得a23a2a6，即(12d)2(1d)(15d)，解得d2 或d0(舍去)，又a11，S661652(2)24.故选 A.答案 A 4(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.32f B.322f C.1225f

11、D.1227f 解析 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为122的等比数列，设该等比数列为an，则a8a1q7，即a81227f，故选 D.答案 D 5(2017江苏卷)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S374，S6634，则a8_.解析 设等比数列an的公比为q.当q1 时，S33a1，S66a12S3，不符合题意，q1，由题设可得 a11q31q74，a11q61q634，解得 a114，q2，a8a1q7142732.答案 32 高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)，该部分以选择题、填空题为主，在47 题的位置或 1314 题的位置，难度不大，以两类

12、数列的基本运算和基本性质为主 热点课题 10 数列中的最值问题 感悟体验 1(2018江西五校联考)在等差数列an中，已知a3a80，且S90，S90，S99a1a929a50，a50，S1、S2、S9中最小的是S5，故选 A.答案 A 2(2018山东青岛模拟)已知ann 2017n 2018(nN*)，则在数列an的前 50 项中，最小项和最大项分别是()Aa1，a50 Ba1，a44 Ca45，a50 Da44，a45 解析 ann 2017n 2018 n 2018 2018 2017n 2018 12018 2017n 2018.结合函数yacxb(c0)的图象，要使an最大，则需n

13、 2018最小且n 20180，当n45 时，an最大，当n44 时，an最小 答案 D 专题跟踪训练(十八)一、选择题 1(2018长郡中学摸底)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4a12a88，a10a64，则S23()A23 B96 C224 D276 解析 设等差数列an的公差为d，依题意得a4a12a82a8a8a88，a10a64d4，解得d1，所以a8a17da178，解得a11，所以S23231232221276，选 D.答案 D 2已知数列an为等比数列，且a11，a34，a57 成等差数列，则公差d为()A2 B3 C4 D5 解析 设an的公比为q，由题意得 2(a3

14、4)a11a572a3a1a52q21q4q21，即a1a3，da34(a11)413，选 B.答案 B 3等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15的值为()A1 B2 C3 D5 解析 因为an为等比数列，所以a5a7是a1a3与a9a11的等比中项，所以(a5a7)2(a1a3)(a9a11)，故a9a11a5a72a1a34282；同理，a9a11是a5a7与a13a15的等比中项，所以(a9a11)2(a5a7)(a13a15)，故a13a15a9a112a5a72241.所以a9a11a13a15213.答案 C 4已知等比数列an中a21，则其前 3 项

15、的和S3的取值范围是()A(，1 B(，0)1，)C3，)D(，13，)解析 因为等比数列an中a21，所以S3a1a2a3a21q1q1q1q.当公比q0 时，S31q1q12q1q3；当公比q0 时，S31q1q12q1q1，所以S3(，13，)故选 D.答案 D 5(2018江西七校联考)等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn38n142n1(nN*)，则a6b7()A16 B.24215 C.43223 D.49427 解析 令Sn38n214n，Tn2n2n，a6S6S53862146(3852145)381114；b7T7T62727(2626)2131，a6b7

16、38111421314322716.故选 A.答案 A 6(2018河南郑州二中期末)已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a11，Sn是数列an的前n项的和，则2Sn16an3(nN*)的最小值为()A4 B3 C2 32 D.92 解析 a11，a1、a3、a13成等比数列，(12d)2112d.得d2 或d0(舍去)an2n1，Snn12n12n2，2Sn16an32n2162n2.令tn1，则2Sn16an3t9t2624 当且仅当t3，即n2 时等号成立，2Sn16an3的最小值为 4.故选 A.答案 A 二、填空题 7(2018福建四地六校联考)已知等差数列

17、an中，a34，则 cos(a1a2a6)_.解析 在等差数列an中，a1a2a6a2a3a43a334，cos(a1a2a6)cos3422.答案 22 8(2018山西四校联考)若等比数列an的前n项和为Sn，且S4S25，则S8S4_.解析 解法一：设数列an的公比为q，由已知得S4S21a3a4a1a25，即 1q25，所以q24，S8S41a5a6a7a8a1a2a3a41q411617.解法二：由等比数列的性质可知，S2，S4S2，S6S4，S8S6成等比数列，若设S2a，则S45a，由(S4S2)2S2(S6S4)得S621a，同理得S885a，所以S8S485a5a17.答案

18、17 9已知数列xn各项均为正整数，且满足xn1 xn2，xn为偶数，xn1，xn为奇数，nN*.若x3x43，则x1所有可能取值的集合为_ 解析 由题意得x31，x42 或x32，x41.当x31 时，x22，从而x11 或 4；当x32 时，x21 或 4，因此当x21 时，x12，当x24 时，x18 或 3.综上，x1所有可能取值的集合为1,2,3,4,8 答案 1,2,3,4,8 三、解答题 10(2018沈阳市高三第一次质量监测)已知数列an是等差数列，满足a12，a48，数列bn是等比数列，满足b24，b532.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn

19、.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得da4a132，所以ana1(n1)d2(n1)22n.设等比数列bn的公比为q，由题意得q3b5b28，解得q2.因为b1b2q2，所以bnb1qn122n12n.(2)由(1)可得，Snn22n2212n12n2n2n12.11(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值 解(1)设an的公差为d，由题意得 3a13d15.由a17 得d2.所以an的通项公式为an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以当n4 时，Sn取得最小值，最小值为16.12

20、已知数列an和bn满足：a1，an123ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论 解(1)证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22a1a3，即2332494，故492494924，即 90，这与事实相矛盾所以对任意实数，数列an都不是等比数列(2)因为bn1(1)n1an13(n1)21(1)n123an2n14 23(1)n(an3n21)23bn，b1(18)，所以当18 时，b10(nN*)，此时bn不是等比数列；当18 时，b1(18)0，则bn0，所以bn1bn23(nN*)故当18 时，数列bn是以(18)为首项，23为公比的等比数列