教师用全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法.pdf

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1、 教师用：全等三角形问题中常见的 8 种辅助线的作法 教师用 2014、8、11 周一-2-全等三角形问题中常见的辅助线的作法 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为 30、

2、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。教师用 2014、8、11 周一-3-8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构

3、造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点教师用 2014、8、11 周一-4-教师用 2014、8、11 周一-5-EDFCBA 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+

4、CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知 EGEF 在BEG 中，由三角形性质知 EGBG+BE 故：EFBE+FC 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.EDCBA 解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC，GDC=ACD 教师用 2014、8、11 周一-6-由于 DC=AC，故 ADC=DAC 在ADB 与ADG 中，BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+

5、ACD=ADC+GDCADG 故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE 应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC 为 腰分 别 向 外 作 等 腰 RtABD和 等 腰 RtACE，90,BADCAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系 （1）如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 ABC教师用 2014、8、11 周一-7-EDCBA 二、截长补短 1、如图，ABC

6、中，AB=2AC，AD 平分BAC，且 AD=BD，求证：CDAC 解：（截长法）在 AB 上取中点 F，连 FD ADB 是等腰三角形，F 是底 AB 中点，由三线合一知 DFAB，故AFD90 ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC 2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC 教师用 2014、8、11 周一-8-PQCBA解：（截长法）在 AB 上取点 F，使 AFAD，连FE ADEAFE（SAS）ADEAFE，ADE+BCE180 AFE+BFE180 故ECBEFB FBECBE（AAS）故有 BFBC 从而;ABAD+

7、BC 3、如图，已知在ABC 内，060BAC，040C，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 解：（补短法,计算数值法）延长 AB至D，使 BDBP，连 DP 在等腰BPD 中，可得BDP40 教师用 2014、8、11 周一-9-DCBA从而BDP40ACP ADPACP（ASA）故 ADAC 又QBC40QCB 故 BQQC BDBP 从而 BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分ABC，求证：0180CA 解：（补短法）延长 BA 至 F，使BFBC，连 FD BD

8、FBDC（SAS）故DFBDCB ，FDDC 又 ADCD 故在等腰BFD 中 DFBDAF 故有BAD+BCD180 5、如图在ABC 中，ABAC，12，P 为AD 上任意一点，求证;AB-ACPB-PC 教师用 2014、8、11 周一-10-P21DCBA 解：（补短法）延长 AC 至 F，使 AFAB，连 PD ABPAFP（SAS）故 BPPF 由三角形性质知 PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA 例 2 如图，在ABC 的边上取两点 D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,

9、连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等 教师用 2014、8、11 周一-13-OEDCBA1、在ABC 中，ABAC.求证：BC (答案与解析)证明：作A 的平分线，交 BC 于 D，把ADC 沿着 AD 折叠，使 C 点与 E 点重合.在ADC 与ADE 中 ACAECADEADADAD ADCADE（SA

10、S）AEDC AED 是BED 的外角，AEDB，即BC.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE=AC 证明(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60 度,则BAC+BCA=120 度;AD,CE 均为角平分线,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.则OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60 度.教师用 2014、8、11 周一-14

11、-FEDCBA则COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=OD DC+AE=CF+AF=AC.3、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DC DG 垂直平分 BC，故 BDDC 由于 AD 平分BAC，DEAB 于E，DFAC 于 F，故有 EDDF 故 RTDBERTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AE AE（a

12、+b）/2 BE=(a-b)/2 五、旋转 例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上EDGFCBA教师用 2014、8、11 周一-15-的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形 ABG 则 GE=GB+BE=DF+BE=EF 又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG 所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF 又EAF+BAE+DAF=90 所以EAF=45 度 例 2 D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。

13、(1)当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值法)（1）连接 DC，D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDA CD 平分BCA90，ECDDCA45 由于 DMDN，有EDN90 由于 CDAB，有CDA90 教师用 2014、8、11 周一-16-从而CDEFDA 故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2,S四 DECF=SACD=1 应用：如图，ABC是边长为 3 的等边三角形，BDC是等腰三角形，且0120BDC，以 D 为顶点做一个060角，使其两边分别交 AB 于点 M，交

14、 AC 于点 N，连接 MN，则AMN的周长为 ；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC 的延长线与 BD 的延长线交于点F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBM ABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，教师用 2014、8、11 周一-17-DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DE MDN=EDN=60 DN=DN DMNDEN，MN=NE 在DMA 和DEF 中，DM=DE MDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30 DMNDEN (AAS)，MA=FE AMN的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6 教师用 2014、8、11 周一-18-