数学家传记大辞典欧拉小传之数学.pdf

《数学家传记大辞典欧拉小传之数学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学家传记大辞典欧拉小传之数学.pdf（11页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数学家传记(zhun j)大辞典欧拉小传(xiozhun)之数学（转自数学家传记(zhun j)大辞典，南开大学 张洪光）Read Euler,read Euler,he is the master of us all.P.-S.de Laplace 欧拉是 18 世纪数学界的中心(zhngxn)人物他是继 I牛顿(ni dn)(Newton)之后最重要的数学家之一在欧拉的工作中，数学紧密地和其他科学的应用、各种技术问题的应用以及公众的生活联系在一起他常常直接为解决力学、天文学、物理学、航海学、地理学、大地测量学、流体力学、弹道学、保险业和人口统计学等问题提供数学方法欧拉的这种面向实际的研究风

2、格，使得人们常说：应用是欧拉研究数学的原因其实，欧拉对数学及其应用都十分爱好作为一位数学家，欧拉把数学用到整个物理领域中去他总是首先试图用数学形式表示物理问题，为解决物理问题而提出一种数学思想并系统地发展和推广这一思想因此，欧拉在这个领域中的杰出成就作为一个整体，可以用数学语言加以系统的阐述他酷爱抽象的数学问题，非常着迷于数论就是例子欧拉的数学著作在其各种科学著作中所占的比重也明显地说明了这一点现代版的欧拉全集(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911)72 卷(74 部分；近况详见文献1)中有 29 卷属于纯粹数学 欧拉在连续和离散数学这两方面都同样有力，这是他的多

3、方面天才的最显著的特点之一但是，在他的数学研究中，首推第一的是分析学这同他所处的时代，特别是当时自然科学对分析学的迫切需要有关欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学的内容进行整理，为 19 世纪数学的发展打下了基础他还把微分积分法在形式上进一步发展到复数的范围，并对偏微分方程、椭圆函数论、变分法的创立和发展留下先驱的业绩在欧拉全集中，有 17 卷属于分析学领域他被同时代的人誉为“分析的化身”欧拉的计算能力，特别是他的形式计算和形式变换的高超技巧，无与伦比他始终不渝地探求既能简明应用于计算，又能保证计算结果足够准确的算法只是在 19 世纪开始的“注意严密性”方面，略显不足他没有适当地注

4、意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性欧拉还是许多新的重要概念和方法的创造者 这些概念和方法的重要价值，有时只是在他去世一个世纪甚至更长的时间以后才被人们彻底理解譬如，美籍华人数学家陈省身说过：“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉”欧拉是在数学研究中善于用归纳法的大师他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现但他告诫人们：“我们不要轻易(qng y)地把观察所发现的和仅以归纳为旁证的关于数的那样一些性质信以为真”欧拉从不用不完全的归纳来最后证明他提出的假定是正确的他的研究结果本质上是建立在严密的论证形式之上的 欧拉采用(ciyng)了许多简明、精炼的数学符号譬如，用

5、 e 表示(biosh)自然对数的底，f(x)表示(biosh)函数，n表示(biosh)数 n 的约数之和，y，2y表示 号，等等这些符号从 18 世纪一直沿用至今 在数学领域内，18 世纪可以正确地称为欧拉世纪约翰伯努利在给欧拉的一封信中说过：“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在把它带大成人”PS拉普拉斯(Laplace)常常告诉年轻的数学家们：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师”欧拉对数学发展的影响不限于那个时期19 世纪最著名的数学家 CF高斯(Gauss)、AL柯西(Cauchy)、M 罗巴切夫斯基(a)、切比雪夫()、CFB黎曼(Riemann)常从欧拉的工作出发开

6、展自己的工作高斯说过：“欧拉的工作的研究将仍旧是对于数学不同范围的最好学校，并且没有任何别的可以替代它”人们还可以从由切比雪夫奠基的圣彼得堡数学学派追溯欧拉开辟的众多道路 1数论 古代希腊和中国的数学家研究过数的性质17 世纪，Pde 费马(Fermat)开辟了近代数论的道路他提出了若干值得注意的算术定理，但几乎未留下任何证明欧拉的一系列成果奠定了作为数学中一个独立分支的数论的基础 欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关他很早就采用了同余概念1736 年，欧拉首先证明了数论中重要的费马小定理1760 要的发现是二次互反律它表述在 1783 年的一篇论文中，但未给予证明这个定理的叙述实际上早

7、已包含在欧拉以前写的论文中了，只是未引起同时代人的注意二次互反律是18 世纪数论中的最富首创精神、可能引出最多成果的发现后来，AM勒让德(Legendre)重新发现并不完全地证明了它高斯参考了欧拉、勒让德的著作，于 1801 年发表了二次互反律的完整的证明他把这个初等数论中至关重要的定理誉为“算术中的宝石”二次互反律后来引起了许多数学家，如 EE库默尔(Kummer)、D希尔伯特(Hilber)、E阿廷(Artin)等人对代数数域中高次互反律的研究，出现了不少意义深刻的工作1950 年，IR沙法热维奇(Shafarevich)建立了广义互反律 欧拉还致力于丢番图(Diophantus)分析的研

8、究费马重新发现了求解方程 x2-Ay2=1 的问题(其中，A 是整数但非平方数)，J沃利斯(Wallis)全部解出了这个问题欧拉在17321733 年的一篇论文中，误称其为佩尔(Pell)方程，这个名称也就这样固定下来了1759 年，后不久，JL拉格朗日(Lagra-nge)开始对这个问题进行全面研 究对费马关于“不定(bdng)方程 xnyn=zn(n2)没有(mi yu)正整数解”的著名猜测(此处 x，y，z 均为整数(zhngsh)，xyz0)，1753 年欧拉证明(zhngmng)n=3 时，它是正确的欧拉的证明建立在无穷递降法的基础(jch)上，并利用了形如 (Vollst ndig

9、e Anleitung Zur Algebra，1770，德文版)一书中详尽地叙述了这个证明此书两卷，最先以俄文发表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是关于丢番图分析的研究。欧拉用算术方法和代数方法研究上述问题，他还首先在数论中运用分析方法，开解析数论之先河他利用调和级数 的发散性，简单而巧妙地证明了素数个数无穷的欧几里得定理1737 年，欧拉推出了下列著名的恒等式：函数(s)1749 年，欧拉应用发散级数求和法和归纳法，发现了与(s)，(1-s)和(s)有关的函数方程，即：对于实的 s，有 黎曼后来重新发现并建立了这个函数方程，他是第一个定义 函数，也是第一个定义自变量为复值的 函数的科学家

10、19 世纪和 20 世纪，函数已成为解析数论最重要的工具之一，尤其在 PGL狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J阿达马(Hadama-rd)等人关于素数分布的研究中更是如此 欧拉还研究了数学常数以及同超越数论有关的重要问题JH兰伯特(Lambert)1768 年证明 e 和 是无理数时，曾用连分数表示 e，但连分式是欧拉首先采用并奠定理论基础的1873 年，C埃尔米特(Hermite)证明 e 是超越数1882 年，F林德曼(Lindemann)应用欧拉公式 ei=-1(欧拉 1728 年发现的)，证明了 是超越数，因此，用直尺和圆规作出一个正方形和已知圆面积相等是不可能的，从而

11、解决了古希腊遗留下来的“化圆为方”问题欧拉常数 的超越性的猜测，则至今(zhjn)尚未解决 2代数(dish)17 世纪，代数是人们(rn men)兴趣的一个重要中心到了 18 世纪，它变成从属于分析，人们很难把代数和分析互相区别(qbi)开来欧拉很早就把对数定义为指数，并于 1728年在其一篇(y pin)未发表的手稿中引入 e 作为自然对数的底1732 年，欧拉对 G卡尔达诺(Cardano)的三次方程解法作出了第一个完整的讨论他还试图找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，诚然这是徒劳的1742 年，欧拉在给尼古拉第伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有实系数的 n 次多项式都可

12、以分解为实一次或实二次因式的定理，即具有 n 个形如 abi 的根这是和代数基本定理等价的重要命题，先后由达朗贝尔和欧拉证明他们的证明思路不同，但都不够完全19 世纪有了更精确的证明前述的欧拉代数学入门一书，是 16 世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结此书出版后，很快被译成英文、荷兰文、意大利文、法文等多种文字，对于 19 世纪和 20 世纪代数学教科书的编写产生极大影响 3无穷级数 在 17 世纪建立微积分的同时，无穷级数也进入了数学的实践18 世纪是级数理论的形式发展时期在欧拉的著作中，无穷级数起初主要用作解题的辅助手段，后来成为他研究的一个科目，实际知识达到了很高水平前面提到的对著名

13、的 函数的研究就是一个例子其出发点是整数平方的倒数求和问题 伯努利兄弟、J斯特灵(Stirling)和其他一些数学家都曾徒劳地探讨过它1735年，欧拉解决了一个普遍得多的问题，证明了对于任意偶数 2K0，(2K)=a2k2k，这里 a2k是有理数，它后来分别通过欧拉-马克劳林求和公式的系数与伯努利数来表示欧拉还给出了当 2K1 是前面几 性质至今尚不清楚 欧拉大约在 1732 年发现了上述求和公式，他于 1735 年给出了证明C马克劳林(Maclaurin)不谋而合地在几年后又独立地发现了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法这个公式是有限差演算的最重要的公式之一有限差演算方法是由

14、B泰勒(Tayler)和斯特灵奠基的欧拉的微分学原理(Introductio calculi differentialis，1755)是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子借助于这个求和公式，1735 年，欧拉把前述的欧拉常数 的值计算到小数点后第 16 位=0.57721566 欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类1744 年他在给哥德巴赫的一封信中，谈到了用三角级数表示代数函数的例子：它发表(fbio)在 1755 年的微分学原理中此后(c hu)，他又得到了其他的展开式1777 年，为了把一个给定(i dn)函数展成在(0，)区间上的余弦(yxin)级

15、数，欧拉又推出了傅里叶系数公式欧拉的论文迟至 1798 年才发表他采用的正是(zhn sh)现行通用的逐项积分方法JBJ傅里叶(Fourier)对欧拉的工作并不了解，他于 1807 年得到相同的公式欧拉也不知克莱罗 1759 年的相应工作 欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位无穷级数、无穷乘积和连分式之间许多相互变换的方法也是欧拉发现的 形式观点在 18 世纪无穷级数的工作中占统治地位级数被看成是无穷的多项式，并且就当作多项式来处理，对其收敛和发散的问题是不太认真对待的欧拉多少意识到收敛性的重要，他也看到了关于发散级数的某些困难，特

16、别是用它们进行计算时产生的困难为了寻求收敛的一般理论，欧拉确信且着手进行建立发散级数转变为收敛级数的法则这一艰苦的工作为此，他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义他还提出两种求和法这些丰富的思想，对 19 世纪末、20 世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响 4函数概念 18 世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自己的工作它们系统地概括在欧拉的无穷分析引论(图 1)、微分学原理和积分学原理组成的分析学三部曲中这三部书是分析学发展的里程碑式的著作它们至今饶有兴味，尤其无穷分析引论的第一卷更是如此专家们可以从这些著作中追寻分析学许多富有成果的方

17、法的发展足迹 图 1 无穷分析引论的扉页，洛桑，1948 年 无穷分析引论(yn ln)共两卷，它是第一本沟通微积分与初等分析的书在这部书中，欧拉第一次清晰地论述了数学分析是研究函数的科学，并对函数概念作了更加透彻的研究他一开头，就把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式在这一点上，他继承了约翰伯努利的思想欧拉写道，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量与常量的组合法不同他在书中给出了现今还广泛应用的函数的分类欧拉还区分了显函数与隐函数，单值函数与多值函数他按照自己和所有同时代的人的经验，坚信所有的函数都能展成级数欧拉认为函数的自变量不仅可以取实值，也可以是虚值，这一见解极

18、其重要 在欧拉、达朗贝尔和丹尼尔伯努利等许多数学家卷入的关于(guny)弦振动问题的研究中，发生了关于函数概念的争论它促使欧拉去推广自己的函数概念1755 年，欧拉在微分学原理一书中给函数下了一个新定义：“如果某些量这样地依赖于另一些量：当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数”不过，在无穷(wqing)分析引论中，欧拉就已把函数当作对应值加以论述 5初等(chdng)函数 无穷分析(fnx)引论第一卷共 18 章，主要研究初等函数论其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗(de Moivre)公式exi=cosxisinx 的一个推导虽然 R柯特斯(Co

19、tes)在 1714 年发表了这个公式且与欧拉给出的略有不同，但只有欧拉才使该公式得到了广泛的应用欧拉在无穷分析引论中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式 虑了正自变量的对数函数1751 年，欧拉发表了完备的复数理论他断言：对正实数而言，对数只有一个实值，其余都是虚值；但对于负实数或虚数而言，对数的一切值都是虚的欧拉对这个问题的成功解答，实际上结束了此前 17471748 年在莱布尼茨和约翰伯努利之间，达朗贝尔和欧拉本人之间通过信件进行的关于负数的对数的争论但他的工作当时并未被人们接受 6单复变函数 通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在 17471751 年间先后得到了(用现代术语表

20、达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论他们两人还在解析函数的一般理论方面取得了最初的进展1752 年，达朗贝尔在研究流体力学时发现了把解析函数 u(x，y)iv(x，y)的实部和虚部连结在一起的方程177 年，欧拉在提交圣彼得堡科学院的一篇论文中推出了同样的方程 其要点是借助于虚代换 z=xiy，利用实函数去计算复函数的积分，展 欧拉还借助于保角映射把复变解析函数(hnsh)用于理论制图学等方面的研究他在 1768年的一篇论文中，利用复变函数(hnsh)，设计了一种从一个平面到另一个平面的保角映射的表示方法1775 年，他又证明球面不可能全等地映入平面(pngmin)这里，他再一次用了复

21、变函数而且讨论了相当一般的保角表示 欧拉的这些(zhxi)思想，19 世纪在柯西、黎曼阐发解析函数的一般理论时，都获得了深入的发展譬如(pr)，上述达朗贝尔和欧拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的 7微积分学 欧拉的微分学原理和积分学原理二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富了无穷小分析的这两个分支 在微分学原理中，欧拉详尽地研究了变量替换下的微分公式他在 1734 年的一篇论文中证明，若 z=f(x，y)，则 导出了函数 f(x，y)恰当微分的必要条件1736 年，他又揭示了关于齐次函数的定理，即若 z 是 x 和 y 的 n 次齐次函数，则 他还就函数 f(

22、x)和 f(x，y)的极值问题，得到许多重要的结果 欧拉在积分学原理第一卷中，用相当现代的方式叙述了不定积分的方法他创造了“欧拉代换”等许多新方法他计算了许多困难的定积分，进一步奠定了特殊函数论的基础例如，1729 年欧拉就研究了序列 1！，2！，n！，的插值法他引入了 B 函数和 函数，继而还发现了 B 函数和 函数的许多性质，如：在椭圆积分理论上，欧拉的主要贡献是发现了加法定理1770 年他对二重定积分有了清楚的概念，还给出了用累次积分计算这种积分的程序 微分学原理和积分学原理是欧拉那个时代的标准课本他的形式化方法使微积分从几何中解放出来，从而使它建立在算术和代数的基础上这至少为后来基于实

23、数系统的微积分的根本论证开辟了道路 8微分方程(wi fn fn chn)积分学原理还展示了欧拉在常微分方程和偏微分方程理论方面(fngmin)的众多发现他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科 在常微分方程(wi fn fn chn)方面，欧拉在 1743 年发表(fbio)的论文中，用代换 y=ekx给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法(ji f)，最早引入了“通解”和“特解”的名词1753 年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低欧拉早在 1740 年左右就知道并且在潮汐和行星轨道摄动的著作中应用过常数变易法他在 17341735

24、 年领会了积分因子的概念，提供一个方法，并在17681770 年的工作中广泛地发展了积分因子法，把它应用于许多一阶微分方程类型，还推广到高阶方程欧拉对黎卡提(Riccati)方程的性质多有研究1768 年，他给出了一个从特殊积分鉴别奇解的判别法这一年，欧拉在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求带有初值条件 x=x0，y=y0的方程 的近似解的方法，次年又把它推广到二阶方程这个现称“欧拉折线法”的方法，为 19世纪柯西关于解的存在性的严格证明和数值计算提供了重要途径 欧拉在 18 世纪 30 年代就开始了对偏微分方程的研究他在这方面的最重要的工作，是关于二阶线性方程的数学物理中的许多问题

25、都可以归结为二阶线性方程弦振动问题是一个著名的例子1747 年，达朗贝尔首次建立了弦振动方程 得到形如两个任意函数之和的解：欧拉随即对达朗贝尔的方法作了进一步研究他在允许什么函数可以作为初始曲线，因而也可以作为偏微分方程的解的问题上，有全然不同的想法于是，这两位数学家，还有丹尼尔伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些数学家，都卷进了一场旷日持久的激烈论战，延续了半个多世纪，直到傅里叶的热的分析理论(The-rie analytique de la chaleur，1822)发表为止其间，欧拉把特征线法发展得更加完善了欧拉还在流体动力学和鼓膜振动、管内空气运动等问题中接触到数学物理方程例如，位势方

26、程 最早就出现在他 1752 年关于流体运动的论文中1766 年，欧拉从圆膜振动问题得到后来所称的贝塞尔(Bassel)方程，并借助于贝塞尔函数 Jn(x)来求解 9变分法 欧拉从 1728 年解决(jiju)约翰伯努利提议的测地线问题开始从事变分法的研究1734 年，他推广了最速降线问题然后，着手(zhushu)寻找关于这种问题的更一般的方法1744 年，欧拉的寻求(xnqi)具有某种极大或极小性质的曲线的方法(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(图 2)一书出版这是变分学史上的里

27、程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分支(fnzh)的诞生该书广泛使用了几何论证书中系统地总结了欧拉在 18 世纪(shj)30 年代和 40年代初的一些成果，其中，包括欧拉 1736 年成功证明的关于使积分 取极大或极小值的函数 y(x)必须满足的常微分方程 以及大量应用的例子这个以欧拉名字命名的方程，迄今仍是变分法的基本微分方程 18 世纪 50 年代中期，拉格朗日循着欧拉的思路和结果，从纯分析方法的角度，创造了应用于变分演算的新算法和新符号，得到了更完善的结果欧拉随后放弃了自己以前的说明，并对拉格朗日的方法作了详细、清晰的解释欧拉认为拉格朗日的方法是一种新的计算方法，并在自己的论文中正式

28、将它命名为“变分法”(the calculus of variation)1770 年，欧拉在积分学原理第三卷中把变分法应用于具有常数限的二重积分的极值问题其后不久，欧拉又提出了变分演算的另一种解释方法他早期变分法研究中使用的直接方法，一个半世纪以后，也在寻找变分问题及相应的微分方程的精确解或近似解中获得独立的价值 10几何学 18 世纪，坐标几何得到广泛的探讨(tnto)欧拉在无穷分析引论第二卷中引入了曲线的参数表示他从二次曲线的一般方程着手，超越同时代的人，对二次曲线理论的代数发展做出了重要贡献他用类比法研究三次曲线，还讨论了高次平面曲线但是，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角

29、，彻底地研究了二次曲面的一般方程 在微分几何(j h)方面，欧拉于 1736 年首先引进了平面曲线的内在(nizi)坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究他将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率欧拉关于曲面测地线的研究是众所周知的然而，更重要的是他在曲面论方面的开拓性研究1760年，欧拉在关于曲面上曲线(qxin)的研究(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面(qmin)的理论这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑G蒙日(Monge)和其他几何学家

30、后来的研究就是从曲面论开始的18 世纪 60 年代和 70 年代，欧拉继续研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截线曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分条件1775 年，他还成功地重新阐述了空间曲线的一般理论 欧拉对拓扑学的研究也具有第一流的水平1735 年，欧拉用简化(或理想化)的表示法解决了著名的哥尼斯堡七桥游戏问题(如图 3，有 7 座桥，问是否可一次走遍，不许重复也不许遗漏)他得到具有拓扑意义的河-桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理1750 年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质其中，有一条是：如果用 V，E 和 F 分别表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有 V-EF=2次年他给出了这条性质的一个证明尽管 100 年后人们发现笛卡儿早就知道这一性质，但是，第一个认识 V-EF 这个“交错和”重要意义的人似乎是欧拉他之所以对这一关系感兴趣，是要用它来作多面体的分类欧拉示性数 V-EF 以及由 H庞加莱(Poicar)提出的在多维复形中的推广是现代拓扑学的主要不变量之一，陈省身言简意赅地说过：“欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点”他用图形(图 4)表示了这种关系（转自数学家传记(zhun j)大辞典，张洪光）内容总结