新高考数学复习基础知识专题讲义05三角函数定义及同角三角函数(解析版).pdf

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1、1/22 新高考数学复习基础知识专题讲义 知识点 05 三角函数定义及同角三角函数 知识理解 一任意角(1)角的概念的推广 按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角 相同的角可写成 k360(kZ)(3)弧度制 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|lr，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 弧度与角度的换算：3602 rad；180 rad；1180 rad；1 rad180度 二任意角的三角函数 1.定义：在平面直角坐标系中，设 的

2、终边上任意一点 P 的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(rx2y20)则 sin yr，cos xr，tan yx(x0)2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin cos 2/22 tan 三同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：sin cos tan 2k，kZ.四同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos21 的变形公式：sin21cos2；cos21sin2；(2)tan sin cos 的变形公式：sin cos_tan_；cos sin tan.考向一 角度制与弧度制的转

3、换【例 1-1】（2020全国课时练习）填表（弧度数用含的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.度 0 45 90 135 150 180 225 270 315 360 弧度 【答案】填表见解析，作图见解析【解析】如表，度 0 45 90 135 150 180 225 270 315 360 弧度 0 4 2 34 56 54 32 74 2 如图：考向分析 3/22 对应的角的终边分别为图中的射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.【例 1-2】（2020全国课时练习）把下列各弧度化为角度.（1）12；（2）53；（3）310；（4）8；（5）32；（6）5

4、6.【答案】（1）15；（2）300；（3）54；（4）22.5；（5）270；（6）150.【解析】（1）1801512；（2）51803003；（3）18054310；（4）281802.5；（5）31802702；（6）51801506.【例 1-3】（2019全国高三专题练习）将1485改写成 2k(0，kZ)的形式是()A84B104 C874D1074【答案】D【解析】14851800+31510+74故选 D 【举一反三】【方法总结】n180 写成180，化简角度制n弧度制 4/22 1（2020全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36；（2）150；（3）1095；（4）1

5、440.【答案】（1）5（2）56（3）7312（4）8【解析】（1）361805；（2）51501806；（3）73109518012；（4）14408180 2（2020全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化.（1）20；（2）15；（3）712（4）115.【答案】（1）209；（2）1512；（3）712105；（4）115396.【解析】（1）20201809.（2）151518012.（3）712712180105.(4)115115180396.3（2020全国高三专题练习）把1125化成+2(0 2,)的形式是（）A4 6B74 6C4 8D74 8【答案】D【解析】1125=

6、1440+315=8+74，故选 D.4（2019全国高三专题练习）将1485化成2k(02，kZ)的形式是()A48B748 C410D7410【答案】D【解析】由题意，可知14855360315，又180，则 31574，故1485化成2k(02，kZ)的形式是7410 考向二 三角函数定义 5/22【例 2】（1）（2020云南）已知角的终边经过点3 4(,)5 5P，则sin等于（）A45B35C43D34（2）（2020广东）已知角的终边上一点(4,3)(0)Paa a，则sin（）A45B35C45D35【答案】（1）A（2）D【解析】（1）因为角的终边经过点3 4(,)5 5P，

7、所以x34,155yr，所以4sin5yr，故选：A（2）22435OPaaa 由三角函数的定义可得333sin55aaOPa 故选：D【举一反三】1（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P，那么sin的值是（）A35B34C45D43【答案】C【解析】由已知22345OP，所以4sin5故选：C 15（2020商南县高级中学）角的终边过点3,4Pa，若3cos5，则a的值为（）A1B1CD5【答案】B【解析】由条件可知2916rOPa，由三角函数的定义可知233cos5916xara，0a，解得：1a.故选：B 3（20

8、19吉林高三月考（文）若点cos,sin36在角的终边上，则tan的值是（）A-1B1C3D3 6/22【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan11cos32.故选：B.考向三 三角函数正负判断【例 3】（1）（2020山东高三专题练习）已知costan0，那么是（）A第一、二象限角 B第二、三象限角 C第三、四象限角 D第一、四象限角（2）（2020山东高三专题练习）若是第二象限角，则点sin,cosP在 （）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】（1）A（2）D【解析】（1）由costan0可知cos,tan同号，即costan=sin0，从而为第一、二象限角，故选：

9、A（2）因为是第二象限角，所以sin0,cos0，所以点sin,cosP在第四象限，故选 D 【举一反三】1（2019浙江高三专题练习）已知 sin0且cos0，则角 的终边所在的象限是（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在第二象限，故选 B.2（2020全国高三专题练习）若sintan0，且cos0tan，则角是（）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】C 7/22【解析】2sinsintan0cos，cos0，又2coscos0tansin，则sin0.因此

10、，角为第三象限角.故选：C.3（2020全国高三专题练习）已知sin cos0，且coscos，则角是（）A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角【答案】D【解析】由coscos，可知cos0，结合sin cos0，得sin0,cos0，所以角是第四象限角，故选:D 4（多选）（2020全国高三专题练习）对于sin0，sin0，cos0，cos0，tan0，tan0，则为第二象限角的充要条件为（）ABCD【答案】BC【解析】若为第二象限角，则sin0，cos0，tan0.所以，为第二象限角sin0cos0或sin0tan0或cos0tan0.故选：BC.考向四 同角三角公式【例

11、4】（1）（2019全国高三专题练习）已知是第四象限角，cos 1213，则 sin 等于（）A513B513 C512D512（2）（2020江西景德镇一中）已知2tan3，且2，则cos（）A3 1313B3 1313C2 1313D2 1313【答案】（1）B（2）A 8/22【解析】由条件知是第四象限角，所以sin0，即 sin 21 cos212113513.故选：B（2）2tan03且2，32，cos0，由22sin2tancos3sincos1得：3 13cos13.故选：A.【举一反三】1（2020海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知为第四象限的角，且3cos5，则tan的值为

12、（）A34B34C43D43【答案】D【解析】为第四象限的角，且3cos5，2234sin1 cos155 .4sin45tan3cos35.故选：D.2（2019北京海淀101 中学高三月考）已知3,22，且tan2，那么sin（）【方法总结】1.知弦求弦、知弦求切-平方关系，注意角象限对应函数值的正负 2.知切求弦-联立方程组即联立平方关系与商数关系 2222sincos1sincos1tansincossintancos 利用公式联立公式知sin求cos知cos 求sin知求、9/22 A33B63C63D33【答案】B【解析】因为3(,)22，sintan20cos，故3(,)2，si

13、n2cos，又22sincos1，解得：6sin3 故选：B 3.已知 tan 43，且是第三象限角，求 sin，cos 的值【答案】见解析【解析】由 tan sin cos 43，得 sin 43cos 又 sin2cos21 由得169cos2cos21，即 cos2925.又是第三象限角，cos 35，sin 43cos 45.考向五 弦的齐次【例 5】（1）已知 tan 2，则sin cos sin cos 的值为（2）（2020固原市五原中学高三）已知tan2，则2sinsincos2【答案】（1）3（2）45（1）原式tan 1tan 121213.（2）因为22sin+cos1，

14、sintancos 所以222sinsincos2sinsincos2cos 222222sinsincos2costantan2sin+costan+142244+15 故选：D.10/22 【举一反三】1（2020全国高三专题练习）已知1tan3，则2cossincos的值为（）A3B34C43D34【答案】A【解析】由1tan3，得2cos2232sincos1tan3.故选：A.2（2020福建省武平县第一中学高三月考）已知tan2，则22sinsincos2cos等于（）A43B54C34D45【答案】D【解析】222222sinsincos2cossinsincos2cossinc

15、os22tantan24224tan14 15.故选：D 3（2020西藏拉萨中学高三）1tan2，则sin 2（）A45B35C45D35【答案】C【解析】1tan2，2222122sincos2tan42sin21151()2sincostan故选：C 4（2020江苏南京田家炳高级中学）已知tan2，【方法总结】nn122coscossincos1 找分式：分子分母同时除以等式：式子左右同时除以注意：平方无分式，数字变弦 11/22 求：（1）sin2cossincos；（2）221sinsincos2cos.【答案】（1）4 （2）54【解析】（1）sin2costan2224sinc

16、ostan12 1（2）2222221sincossinsincos2cossinsincos2cos2222tan1215tantan22224 考向六 sincossincos 与【例 6】（1）（2020永寿县中学高三开学考试）已知4sincos3，则sin 2（）A79B29C29D79（2）（2020 广东华南师大附中高三月考）已知1sincos5，其中,2，则tan（）A247B43或34C34D43【答案】（1）A（2）D【解析】2sincos17sin22sincos19.所以选 A.（2）由1sincos5，平方可得112sincos25，解得242sincos25，又由22

17、49(sincos)sincos2sincos25，因为,2，可得sincos0，所以7sincos5，联立方程组1sincos57sincos5，解得43sin,cos55，所以sintans43co.故选：D.12/22 【举一反三】1（2020上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sincos17，0,，则tan _.【答案】158【解析】依题意7sincos17，两边平方得4924012sincos,2sincos0289289，而0,，所以sin0,cos0，所以224023sincossincos1 2sincos128917.由7sincos1723sincos17解得158sin

18、,cos1717，所以sin15tancos8.故答案为：158 2（2020 四川省南充高级中学高三月考（理）已知1sincos5，(0,)，则tan_.【答案】43【解析】已知1sincos5，平方得2221sincossincos2sin cos25，得12sin cos25，222sincossincos2sin cos125252449，(0,)，sin0,cos0，【方法总结】222ii:=sincosiii:cos222(1)sincos12sincos1sin2sincossin(2)tansincoscos(3)AsinBcosktansincos=sincos2sincos

19、=平方联立方程i:左右同时平方除1分子分母同除注意：（）12sincos 13/22 7sincos5，7tasincos1sincosn571t n51a，解得4tan3.故答案为：43 考向七 三角函数线运用【例 7】（2020全国高三专题练习）已知点(sincos,tan)P在第一象限，则在0,2 内的取值范围是（）A35,244B5,4 24 C353,2442D3,4 24 【答案】B【解析】由已知点(sincos,tan)P在第一象限得：sincos0，tan0，即sincos，tan0，当sincos，可得52244kk，kZ 当tan0，可得222kk或3222kk，kZ 22

20、42kk或5224kk，kZ 当0k 时，42或54 02，42或54故选：B 【举一反三】1（2020全国高三专题练习）已知点cos,tanP在第二象限，则角在（）14/22 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】C【解析】点cos,tanP在第二象限，则cos0tan0，所以角在第三象限.故选：C 2（2020海伦市第一中学高三期中（文）已知点cossin,sincosP在第三象限，则的取值范围是（）A2,2 42kkkZB32,2 4kkkZ C352,2 44kkkZD572,2 44kkkZ【答案】D【解析】cossin,sincosP在第三象限，cossin0sin

21、cos0，2222sincossin1 sinsin0sin0，21sin2sin0，2sin2，572,2 44kkkZ故选：D.3（2020贵州高三其他模拟）已知点(sincos,tan)P在第一象限，则在0,2内的的取值范围是（）A35(,)(,)244B5(,)(,)4 24 C353(,)(,)2442D33(,)(,)244【答案】B【解析】由已知点(sincos,tan)P在第一象限得：sincos0，tan0，即sincos，tan0，当sincos，可得52244kk，kZ 15/22 当tan0，可得222kk或3222kk，kZ 2242kk或5224kk，kZ 当0k

22、时，42或54 02，42或54故选：B 1（2020重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（）A60化成弧度是rad6Brad12化成角度是30 C1化成弧度是180radD1rad化成角度是180【答案】D【解析】由180得，对于 A 选项：60化成弧度是rad3，故 A 不正确；对于 B 选项：rad12化成角度是11801512，故 B 不正确；对于 C 选项：1化成弧度是180rad，故 C 错误；对于 D 选项：1rad化成角度是180，故 D 正确，故选：D.2（2020天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（）A30化成弧度是6B103化成度是600 C6

23、7 30化成弧度是27D85化成度是288【答案】C【解析】30化成弧度是6，A 正确；103化成度是600，B 正确；67 30是367.567.51808，C 错误；85化成度是288，D 正确.故选：C.3（2020江苏高三专题练习）225化为弧度为()强化练习 16/22 A34B74C54D34【答案】C【解析】225225356024 .故选 C 4（2019全国高三专题练习）下列结论不正确的是()A3rad60B1018rad C365radD58rad115【答案】D【解析】180，3rad60正确，1018rad 正确，365rad 正确，58rad112.5115，D不正确

24、故选D 5（2020浙江温州高二期中）已知角的终边上有一点1,2P，则tan的值为（）A-2B12C2 55D2 55【答案】A【解析】角的终边上有一点1,2P，2tan21.故选：A.6（2020 江苏镇江 高三期中）已知点51,3tan6P是角终边上一点，则cos的值为（）A12B32C12D32【答案】C【解析】因为533tan3363 ，所以1,3P ，所以 2211cos213 ，故选：C.17/22 7（2020河南高三月考（文）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴上，终边与单位圆交于13,22P，则sin（）A32B12C3D32【答案】D【解析】由三角函数的定义，3sin

25、2y.故选：D.8（2020北京人大附中高三月考）已知点52cos,16P是角终边上一点，则sin（）A12B22C12D22【答案】A【解析】由53cos62，可得点3,1P，根据三角函数的定义，可得2211sin231.故选：A.9（2020浙江高二开学考试）已知角的终边经过点(2,1)P，则（）A5sin5B2 5sin5 C5cos5Dtan2【答案】A【解析】角的终边经过点(2,1)P,所以P到原点的距离为5 根据三角函数定义得到：1522 5sin,cos5555a ，1tan2；故选 A.10（2020开鲁县第一中学高三月考（文）已知角的终边经过点P(4，3)，则2sincos的

26、18/22 值等于()A25B45C35D25【答案】A【解析】因为角的终边过点4,3,5PrOP，所以利用三角函数的定义，求得34,cos55sin，3422cos2555sin ，故选 A.11（2020宁夏银川二中高三其他模拟）如果角的终边过点(2sin30,2cos30)，则sin的值等于（）A12B12C32D33【答案】C【解析】由题意2sin30,2cos301,3 ，点1,3到原点的距离 22312r，由定义知3sin2yr 故选：C 12（2020扶风县法门高中高三月考（文）已知为第二象限角，则222sin1 sincos1 cos的值是（）A3B3C1D12【答案】C【解析

27、】由题意，22cos2sin1sin2sincossincos1cos，因为为第二象限角，所以sin0,cos0，所以cos2sin2sincos2 11sincossincos.故选：C.13（2020安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan,cos)P在第三象限，则角的终边位置在（）19/22 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】由于点(tan,cos)P在第三象限，所以tan0,cos0，所以在第二象限.故选：B 14（2020 全国高三专题练习（文）已知点(tan,cos)P在第三象限，则角在第几象限（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【

28、答案】B【解析】因为点(tan,cos)P在第三象限，所以tan0,cos0 所以角在第二象限故选：B 15（2020江苏高三专题练习）若sintan0，且cos0tan，则角是第（）象限角.A一 B二 C三 D四【答案】C【解析】由条件知sin与tan异号，则为第二或第三象限角；又cos与tan异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.故选：C 16（2020北京市第十三中学高三期中）已知0,，且3cos5，则tan（）A43B34C34D43【答案】A【解析】由3cos5 得2234sin1 cos155 ，因为0,，所以sin0，所以4sin5，所以4sin45tan3cos3

29、5，故选：A 20/22 17（2020陕西省定边中学高三月考（文）已知tan4，则21cos28sinsin2的值为（）A4 3B654C4D2 33【答案】B【解析】因为tan4，所以21cos28sinsin2，222cos8sin2sincos，228tan2tan，228 42 4，654故选：B 18（2020重庆南开中学高三月考）已知tan2，则2221 sin 2cossin2cos（）A32B52C4D5【答案】D【解析】22222221 sin2cossin2sincos2cossin2cossin2cos22tan2tan25tan2故选:D 19（2020全国高三专题练

30、习（文）已知02，1sincos5，则221cossin的值为()A75B257C725D2425【答案】B【解析】由题意，因为1sincos5，所以112sincos25，所以242sincos25，所以249cossin12sincos25，又因为02，所以sin0,cos0，所以7cossin5，所以221125cossin(cossin)(cossin)7，故选 B.21/22 20（2020全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（）A67 30化成弧度是38B103化成角度是600 C150化成弧度是76D12化成角度是5【答案】ABD【解析】对于 A,367 3067.51

31、808,正确;对于 B,101018060033 ,正确;对于 C,51501501806 ,错误;对于 D,180151212,正确.故选 ABD 21（2020天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角的终边经过点(,3)P x（0 x）且10cos10 x，则x _.【答案】1【解析】由余弦函数的定义可得210cos109xxx，解得0 x（舍去），或1x（舍去），或1x，1x.故答案为：1.22（2020湖南高二学业考试）已知角的终边经过点(3，4)，则 cos=_.【答案】35【解析】因为角的终边经过点(3，4)，所以2233cos534xr，故答案：35 23（2020 天津经济技

32、术开发区第二中学高三期中）已知2sincos0，则2sin2sincos_.【答案】35【解析】由2sincos0，得1tan2，22/22 则有222222sin2sincossin2sincostan2tan1sincostan1221123225112 ；故答案为：35.24（2020万载县第二中学高三月考（理）已知角的终边经过点(,6)Px，且3cos5，则11sintan_【答案】12【解析】点P的纵坐标为6，且3cos05 角的终边落在第三象限，4sin5，4tan3 115321sintan4442 .故答案为：12.25（2020山东高三专题练习）已知sin2cos3sin5cos5，那么 tan_.【答案】2316易知 cos0，由sin2cos3sin5cos5，得tan23tan55，解得 tan2316.故答案为：2316