深圳优质课教案八年级数学最短路径问题教学设计.pdf

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1、BAl 最短路径教学设计 授课教师姓名 微课名称 最短路径问题 知识点来源 学科：数学 年级：八年级 教材版本：人教版 所属章节：第十三章第四节课题学习 录制工具和方法 Camtasia Studio 设计思路 教学设计 内 容 教学目的（1）运用动画等手段让学生体验最短路径问题在实际生活中的应用；（2）引导学生学会利用轴对称等相关知识解决最短路径问题；（3）帮助学生建构该类问题的数学模型，归纳解决此类问题的一般方法。教学重点难点 重点：利用轴对称将同侧点转化为异侧点；难点：利用轴对称解决最短路径问题；教学过程 2.1 创设情境，引入课题 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、

2、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：牧马人从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地牧马人到河边什么地方饮马，可使他所走的路径最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”同学们，你能解决这个问题吗？2.2 将实际问题转化为数学问题 追问 1：你

3、能用自己的语言说明这个问题的意思？从 A 地出发，到河边 C 处饮马，然后到 B 地，他所走的路径就是 AC+CB 的和；追问 2：这是一个实际问题，你能把它抽象为数学问题吗？引导学生注意：将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线，把饮马图 1 数学问题 实际问题 通过轴对称转化同侧点为异侧点 作出符合条件的点 lABClCAB处记为C点，C点可以在直线l上任意变动，当C点位于河边哪个位置时，AC+BC的和最小？于是“将军饮马问题”就转化成问题 2。问题 2：如图 2，点 A、B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 l 上的一个动点，当点 C 运动到直线 l 的什么位置时，AC

4、与 CB 的和最小？2.3 探索引导，探求方法 由这个问题，我们可以联想到之前的问题：如图 3，点 A、B 分别是直线 l 异侧的两个点，线段 AB 与直线 l 的交点 C，使得 AC 与 BC 的和最短.现在要解决的问题是：点 A、B 在直线 l 的同侧，点 C 是直线 l 上的一个动点，当点 C 运动到直线 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小？引导学生思考：能把 A、B 两点转化为直线的异侧吗？如果我们能把点 B 移动到 l 的另一侧 B处，同时对直线 l 上的任一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等，就可以把问题转化为如图 4，从而使新问题得到解决。你能利用轴对称的有关知识，

5、找到符合条件的点 B吗？如图4，作出点B关于直线l的对称点B，利用轴对称的性质，可以得到CB=CB。这样，问题就转化为：点 C 在直线 l 的什么位置时，AC 与 CB的和最小？如图 5，在连接 A，B两点的线中，线段 AB最短，因此，线段 AB与直线 l的交点 C 的位置即为所求。具体作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B；（2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求 2.4 证明“最短”问题 3 你能用所学的知识证明 AC+BC 最短吗？如图，根据前面的分析，我们认为线段 AB与直线 l 的交点 C 可使 AC+BC 的和最小，最短路径是走 A-C-B,它在长度上

6、=AC+CB=AB 为了证明点 C 的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点 C，(与 C 点不重合)，则 C的新路径是 A-C-B,长度是 AC+CB，它可以转化为 AC+CB，根据两点之间，线段最短，我们可以知道 ABAC+BC，所以线段 AB与直线 l图 2 图 3 图 4 图 5 的交点 C 可使 AC+BC 的和最小。追问 1：证明 AC+BC 最短时，为什么要在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合），证明 AC+BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于 AC+BC，就说明 AC+BC 最小 追问 2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？借助轴对称，通过将同侧点转化为异侧点，最后利用“两点之间，线段最短”解决问题。2.5 方法小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？通过轴对称将同侧点转化为异侧点 数学问题 实际问题 通过轴对称转化同侧点为异侧点 作出符合条件的点